高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数优秀练习
展开1.下列函数属于幂函数的是( D )
A.y=xx
B.y=3x eq \f(1,2)
C.y=x eq \f(1,2) +1
D.y=x- eq \r(2)
【解析】 由幂函数的定义,幂函数满足三个条件:①自变量的系数为1;②底数为自变量;③指数为常数.故选D.
2.若函数f(x)=(2m+3)xm2-3是幂函数,则实数m的值为( A )
A.-1 B.0
C.1 D.2
【解析】 依题意有2m+3=1,得m=-1.
3.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3, \f(\r(3),3))) ,则f(4)的值为( C )
A. eq \f(1,4) B. eq \f(1,3)
C. eq \f(1,2) D.2
【解析】 依题意有 eq \f(\r(3),3) =3α,所以α=- eq \f(1,2) ,所以f(x)=x- eq \f(1,2) ,所以f(4)=4- eq \f(1,2) = eq \f(1,2) .
4.下列函数中既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是( B )
A.y= eq \r(x)
B.y=|x|
C.y=x+ eq \f(1,x)
D.y=-x2
【解析】 选项A中的函数不具备奇偶性;选项C中的函数为奇函数;选项D中的函数是偶函数,但是在区间(0,+∞)上单调递减;选项B中的函数是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增.
5.函数y=x eq \f(2,3) 图象的大致形状是( D )
A. B. C. D.
【解析】 因为y=x eq \f(2,3) 是偶函数,且在第一象限内图象沿x轴递增,所以选项D正确.
6. eq \a\vs4\al(【多选题】) 已知幂函数f(x)=xn,n∈{-2,-1,1,3}的图象关于y轴对称,则下列说法正确的是( BD )
A.f(-2)>f(1)
B.f(-2)
D.若|a|>|b|>0,则f(a)
7.已知2.4α>2.5α,则α的取值范围是__(-∞,0)__.
【解析】 因为0<2.4<2.5,而2.4α>2.5α,所以y=xα在(0,+∞)上单调递减.故α<0.
8.由幂函数的图象可知,使x3-x2>0成立的x的取值范围是__(1,+∞)__.
【解析】 在同一坐标系中作出y=x3及y=x2的图象(图略),可得不等式成立的x的取值范围是(1,+∞).
9.若函数f(x)= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,2),x>0,,-2,x=0,,(x+3)\f(1,2),x<0,)) 则f{f[f(0)]}=__1__.
【解析】 因为f(0)=-2,f(-2)=1,f(1)=1,
所以f{f[f(0)]}=1.
10.已知幂函数f(x)=(k-2)xα的图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(\r(2),2))) ,则k=__3__,α=__ eq \f(1,2) __.
【解析】 因为函数是幂函数,所以k=3.又因为其图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(\r(2),2))) ,所以 eq \f(\r(2),2) = eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(α) ,解得α= eq \f(1,2) .
11.已知幂函数f(x)=xm-3(m∈N*)为奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,则m=__2__.
【解析】 因为f(x)=xm-3在(0,+∞)上单调递减,所以m-3<0,所以m<3.又因为m∈N*,所以m=1或2.又因为f(x)=xm-3是奇函数,所以m-3是奇数,所以m=2.
三、解答题
12.已知幂函数f(x)=x9-3m(m∈N*)的图象关于原点对称,且在R上函数值随x的增大而增大.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求满足f(a+1)+f(3a-4)<0的a的取值范围.
解:(1)由题可知,函数在R上单调递增,
∴9-3m>0,解得m<3.
又m∈N*,∴m=1或2.
又函数图象关于原点对称,
∴9-3m为奇数,故m=2,∴f(x)=x3.
(2)∵f(a+1)+f(3a-4)<0,
∴f(a+1)<-f(3a-4).
易知f(x)为奇函数,
∴f(a+1)
13.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)x-m-1(m∈R)为偶函数.
(1)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) 的值;
(2)若f(2a+1)=f(a),求实数a的值.
解:(1)由m2-5m+7=1,得m=2或m=3.
当m=2时,f(x)=x-3是奇函数,所以不满足题意,所以m=2舍去;当m=3时,f(x)=x-4,满足题意,
所以f(x)=x-4,所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) = eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(-4) =16.
(2)由f(x)=x-4为偶函数和f(2a+1)=f(a)可得|2a+1|=|a|,即2a+1=a或2a+1=-a,所以a=-1或a=- eq \f(1,3) .
[B级 素养养成与评价]
14.如图所示,曲线C1,C2,C3,C4是幂函数y=xα在第一象限内的图象.已知α分别取±1, eq \f(1,2) ,2四个值,则对应于曲线C1,C2,C3,C4的α的值分别为( B )
A.-1, eq \f(1,2) ,1,2
B.2,1, eq \f(1,2) ,-1
C. eq \f(1,2) ,1,2,-1
D.2,1,-1, eq \f(1,2)
【解析】 由幂函数的图象性质,得C1:y=x2;C2:y=x;C3:y=x eq \f(1,2) ;C4:y=x-1.
15.给出下面四个条件:①f(m+n)=f(m)+f(n);②f(m+n)=f(m)·f(n);③f(mn)=f(m)·f(n);④f(mn)=f(m)+f(n).如果m,n是幂函
数y=f(x)定义域内的任意两个值,那么幂函数y=f(x)一定满足的条件的序号为__③__.
【解析】 设f(x)=xa,则f(m+n)=(m+n)a,f(m)+f(n)=ma+na,f(m)·f(n)=ma·na=(mn)a,f(mn)=(mn)a,所以f(mn)=f(m)·f(n)一定成立,其他三个不一定成立,故填③.
16.已知幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则满足(a+1) eq \f(m,3) <(3-2a) eq \f(m,3) 的a的取值范围是__ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(2,3))) __.
【解析】 因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以m2-2m-3<0,解得-1
(2)对于(1)中的函数f(x),是否存在m,使得函数g(x)=f(x)-2x+m在[0,2]上的值域为[2,3]?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)由f(2)
解得-1
当k=0或1时,f(x)=x2.
(2)由已知得g(x)=x2-2x+m=(x-1)2+m-1,
当x∈[0,2]时,易求得g(x)∈[m-1,m],
由值域为[2,3],得m=3,
故存在满足条件的m,且m=3.
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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质当堂达标检测题: 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质当堂达标检测题,共4页。