专题36 反比例函数选择题

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专题36 反比例函数选择题
1．如图，l1是反比例函数y＝在第一象限内的图象，且经过点A（1，2）．l1关于x轴对称的图象为l2，那么l2的函数表达式为（　　）

A．y＝（x＜0） B．y＝（x＞0） C．y＝﹣（x＜0） D．y＝﹣（x＞0）
解：A（1，2）关于x轴的对称点为（1，﹣2）．
所以l2的解析式为：y＝﹣，
因为l1是反比例函数y＝在第一象限内的图象，
所以x＞0．
故选：D．
2．已知反比例函数y＝（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则y1﹣y2的值是（　　）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定
解：∵函数值的大小不定，若x1、x2同号，则y1﹣y2＜0；
若x1、x2异号，则y1﹣y2＞0．
故选：D．
3．方程x2+3x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+3的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程x3+2x﹣1＝0的实根x0所在的范围是（　　）
A． B． C． D．
解：方程x3+2x﹣1＝0，
∴x2+2＝，
∴它的根可视为y＝x2+2和的图象交点的横坐标，
当x＝时，y＝x2+2＝2，y＝＝4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当x＝时，y＝x2+2＝2，y＝＝3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当x＝时，y＝x2+2＝2，y＝＝2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当x＝1时，y＝x2+2＝3，y＝＝1，此时抛物线的图象在反比例函数上方．
故方程x3+2x﹣1＝0的实根x所在范围为：＜x＜．
故选：C．

4．如图，直线y＝与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y＝向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点B，若OA＝3BC，则k的值为（　　）

A．3 B．6 C． D．
解：过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，

∵∠OAB＝30°，
∴OA＝OB，
设点B坐标为（a，），点A的坐标为（b，），
则OE＝﹣a，BE＝，OF＝b，AF＝，
∵∠BOE+∠OBE＝90°，∠AOF+∠BOE＝90°，
∴∠OBE＝∠AOF，
又∵∠BEO＝∠OFA＝90°，
∴△BOE∽△OAF，
∴＝＝，即＝＝，
解得：m＝﹣ab，n＝，
故可得：m＝﹣3n．
故选：A．
5．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是（　　）

A．m＝﹣3n B．m＝﹣n C．m＝﹣n D．m＝n
解：过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，

∵∠OAB＝30°，
∴OA＝OB，
设点B坐标为（a，），点A的坐标为（b，），
则OE＝﹣a，BE＝，OF＝b，AF＝，
∵∠BOE+∠OBE＝90°，∠AOF+∠BOE＝90°，
∴∠OBE＝∠AOF，
又∵∠BEO＝∠OFA＝90°，
∴△BOE∽△OAF，
∴＝＝，即＝＝，
解得：m＝﹣ab，n＝，
故可得：m＝﹣3n．
故选：A．
6．如图，直线l与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于A，B两点，交x轴于点C，若AB：BC＝（m﹣1）：1（m＞1），则△OAB的面积（用m表示）为（　　）

A． B． C． D．
解：作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，如图，
∵BE∥AD，
∴△CAD∽△CBE，
∴CB：CA＝BE：AD，
∵AB：BC＝（m﹣1）：1（m＞1），
∴AC：BC＝m：1，
∴AD：BE＝m：1，
设B点坐标为（a，），则A点的纵坐标为，
∵点A在y＝上，
把y＝代入得＝，
解得x＝，
∴A点坐标为（，），
S△OAB＝S△AOD+S梯形ADEB﹣S△BOE
＝S梯形ADEB
＝（+）（a﹣）
＝（m+1）（1﹣）
＝．
故选：B．

7．如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于A、B两点，若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（　　）

A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8
解：∵点C（1，2），BC∥y轴，AC∥x轴，
∴当x＝1时，y＝﹣1+6＝5，
当y＝2时，﹣x+6＝2，解得x＝4，
∴点A、B的坐标分别为A（4，2），B（1，5），
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝1×2＝2最小，
设反比例函数与线段AB相交于点（x，﹣x+6）时k值最大，
则k＝x（﹣x+6）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，
∵1≤x≤4，
∴当x＝3时，k值最大，
此时交点坐标为（3，3），
因此，k的取值范围是2≤k≤9．
故选：A．
8．如图，直线y＝6﹣x交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F．则AF•BE＝（　　）

A．8 B．6 C．4 D．
解：过点E作EC⊥OB于C，过点F作FD⊥OA于D，
∵直线y＝6﹣x交x轴、y轴于A、B两点，
∴A（6，0），B（0，6），
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∴BC＝CE，AD＝DF，
∵PM⊥OA，PN⊥OB，
∴四边形CEPN与MDFP是矩形，
∴CE＝PN，DF＝PM，
∵P是反比例函数图象上的一点，
∴PN•PM＝4，
∴CE•DF＝4，
在Rt△BCE中，BE＝＝CE，
在Rt△ADF中，AF＝＝DF，
∴AF•BE＝CE•DF＝2CE•DF＝8．
故选：A．

9．如图，反比例函数（k＞0）与一次函数的图象相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB交y轴与C，当|x1﹣x2|＝2且AC＝2BC时，k、b的值分别为（　　）

A．k＝，b＝2 B．k＝，b＝1 C．k＝，b＝ D．k＝，b＝
解：∵AC＝2BC，
∴A点的横坐标的绝对值是B点横坐标绝对值的两倍．
∵点A、点B都在一次函数的图象上，
∴可设B（m，m+b），则A（﹣2m，﹣m+b）．
∵|x1﹣x2|＝2，
∴m﹣（﹣2m）＝2，
∴m＝．
又∵点A、点B都在反比例函数（k＞0）的图象上，
∴（+b）＝（﹣）（﹣+b），
∴b＝；
∴k＝（+）＝．
故选：D．
10．已知抛物线y＝x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，则一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
解：∵抛物线y＝x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，
∴△＝4﹣4（k+1）＞0，
解得k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一二四象限，
反比例函数y＝的图象在第二四象限，
故选：D．
11．如图，两个反比例函数y＝和y＝﹣的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为（　　）

A．3 B．4 C． D．5
解：如图所示，过点A作AM⊥y轴，过点B作BM⊥x轴，
∵由题意得，，
∴，，
∴矩形PDOC∽矩形PBMA，
∴＝，
∵P在y＝上，
∴S矩形PDOC＝1，
∴S矩形PBMA＝9，
∴S△PAB＝＝，
故选：C．

12．如图所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（　　）

A．（，0） B．（1，0） C．（，0） D．（，0）
解：∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数y＝得：y1＝2，y2＝，
∴A（，2），B（2，），
∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y＝kx+b，
把A、B的坐标代入得：，
解得：k＝﹣1，b＝，
∴直线AB的解析式是y＝﹣x+，
当y＝0时，x＝，
即P（，0），
故选：D．

13．如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（　　）

A．（4，） B．（，3） C．（5，） D．（，）
解：∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2），
∴2＝，
∴k＝6，
∴反比例函数y＝，
∵OB经过原点O，
∴设OB的解析式为y＝mx，
∵OB经过点D（3，2），
则2＝3m，
∴m＝，
∴OB的解析式为y＝x，
∵反比例函数y＝经过点C，
∴设C（a，），且a＞0，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，
∴点B的纵坐标为，
∵OB的解析式为y＝x，
∴B（，），
∴BC＝﹣a，
∴S△OBC＝××（﹣a），
∴2×××（﹣a）＝，
解得：a＝2或a＝﹣2（舍去），
∴B（，3），
故选：B．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　）

A． B．8 C．10 D．
解：过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，
∴∠BHC＝90°，
∵点D（﹣2，3），AD＝5，
∴DE＝3，
∴AE＝＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°，
∴∠CBH＝∠DCH，
∵∠DCP+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°，
∠CPD＝∠APO，
∴∠DCP＝∠DAE，
∴∠CBH＝∠DAE，
∵∠AED＝∠BHC＝90°，
∴△ADE≌△BCH（AAS），
∴BH＝AE＝4，
∵OE＝2，
∴OA＝2，
∴AF＝2，
∵∠APO+∠PAO＝∠BAF+∠PAO＝90°，
∴∠APO＝∠BAF，
∴△APO∽△BAF，
∴，
∴＝，
∴BF＝，
∴B（4，），
∴k＝，
故选：D．

15．如图，是反比例函数y＝（x＞0）图象，阴影部分表示它与横纵坐标轴正半轴围成的区域，在该区域内（不包括边界）的整数点个数是k，则抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣2向上平移k个单位后形成的图象是（　　）

A． B．
C． D．
解：如图，反比例函数y＝（x＞0）图象与坐标轴围成的区域内（不包括边界）的整数点个数是5个，即k＝5，

∴抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣2向上平移5个单位后可得：y＝﹣（x﹣2）2+3，即y＝﹣x2+4x﹣1，
∴形成的图象是A选项．
故选：A．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，将过点D的双曲线y＝（x＜0）沿y轴对折，得到双曲线y＝（x＞0），则k2的值是（　　）

A．3 B．4 C．6 D．8
解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则∠AED＝∠AOB＝90°
在y＝3x+3中，令x＝0，得y＝3，∴B（0，3），
令y＝0，得0＝3x+3，解得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°
∴∠BAO+∠ABO＝∠BAO+∠DAE＝90°
∴∠ABO＝∠DAE
在△ABO和△DAE中

∴△ABO≌△DAE（AAS）
∴DE＝OA＝1，AE＝OB＝3
∴OE＝OA+AE＝1+3＝4
∴D（﹣4，1）
把D（﹣4，1）代入y＝中，得1＝
∴k1＝﹣4
∴y＝﹣（x＜0）；
∵双曲线y＝（x＜0）沿y轴对折，得到双曲线y＝（x＞0），
即双曲线y＝（x＜0）与双曲线y＝（x＞0）关于y轴对称，
∴k2＝4．
故选：B．

17．如图，四边形OABC为平行四边形，A在x轴上，且∠AOC＝60°，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内过点C，且与AB交于点E．若E为AB的中点，且S△OCE＝8，则OC的长为（　　）

A．8 B．4 C． D．
解：过点C作CD⊥x轴于点D，过点E作EF⊥x轴于点F，如图：

∵四边形OABC为平行四边形，
∴OC＝AB，OC∥AB，
∴∠EAF＝∠AOC＝60°，
在Rt△COD中，∵∠DOC＝60°，
∴∠DOC＝30°，
设OD＝t，则CD＝t，OC＝AB＝2t，
在Rt△EAF中，∵∠EAF＝60°，AE＝AB＝t，
∴AF＝，EF＝AF＝t，
∵点C与点E都在反比例函数y＝的图象上，
∴OD×CD＝OF×EF，
∴OF＝＝2t，
∴OA＝2t﹣＝t，
∴S四边形OABC＝2S△OCE，
∴t×t＝2×8，
∴解得：t＝（舍负），
∴OC＝．
故选：D．
18．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在y轴上，点D（4，4），cos∠BCD＝，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过平行四边形对角线的交点E，则k的值为（　　）

A．14 B．7 C．8 D．
解：如图，过点B作BG⊥CD于点G，

∵D（4，4），
∴DC＝OC＝BG＝4，
∵cos∠BCD＝＝，
∴设CG＝3x，则BC＝5x，BG＝4，
根据勾股定理，得x＝1，
∴CG＝OB＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，
∴OA＝OB+AB＝7，
过点E作EF⊥x轴于点F，
∴EF∥AO，
∵平行四边形对角线的交点E，
∴AE＝CE，EF∥AO，
∴OF＝CF，
∴EF是三角形AOC的中位线，
∴EF＝OA＝，
OF＝OC＝2，
∴k＝EF•OF＝7，
故选：B．
19．如图，A（a，b）、B（﹣a，﹣b）是反比例函数y＝的图象上的两点，分别过点A、B作y轴的平行线，与反比例函数y＝的图象交于点C、D．若四边形ACBD的面积是4，则m、n满足等式（　　）

A．m+n＝4 B．n﹣m＝4 C．m+n＝2 D．n﹣m＝2
解：连接AB，OC，如图，

∵A（a，b）、B（﹣a，﹣b）关于原点对称，且是反比例函数y＝的图象上的两点，
∴点O在线段AB上，且OA＝OB，
∵A（a，b）是反比例函数y＝的图象上的点，
∴b＝，
∵AC∥y轴，
∴点C的坐标为（a，），
∴AC＝|﹣|，
同理可得BD＝|﹣|，
∴AC＝BD，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∴S△AOC＝S△AOB＝S平行四边形ACBD＝1，
∴AC|a|＝1，
∴（﹣）•（﹣a）＝1，
整理得：n﹣m＝2．
故选：D．
20．如图，点A、B在函数y＝（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，且点A在点B的左侧过点A作AM⊥x轴，垂足为M，过点B作BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C，连结AB、MN．若△CMN和△ABC的面积分别为1和4，则k的值为（　　）

A．4 B．4 C． D．6
解：设点M（a，0），N（0，b）
∵AM⊥x轴，且点A在反比例函数y＝（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，
∴点A的坐标为（a，），
BN⊥y轴，同理可得：B（，b）
则点C（a，b）
s△CMN＝＝ab＝1
∴ab＝2
∵AC＝，BC＝
＝＝4
即，且ab＝2
（k﹣2）2＝16
解得：k＝6，k＝﹣2（舍去）
故选：D．
21．如图，点A和点B都是反比例函数在第一象限内图象上的点，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为1，连接AB，以线段AB为边的矩形ABCD的顶点D，C恰好分别落在x轴，y轴的负半轴上，连接AC，BD交于点E，若△ABC的面积为6，则k的值为（　　）

A．2 B．3 C．6 D．12
解：∵点A和点B都是反比例函数在第一象限内图象上的点，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为1
∴A（1，k）、B（k，1）
E为矩形ABCD对角线的交点，
∴E（，）
∵D，C恰好分别落在x轴，y轴的负半轴上，
设D（a，0）、C（0，b）
E为点A、C的中点
∴

a＝1﹣k，b＝1﹣k
∴D（1﹣k，0），C（0，1﹣k）
且1﹣k＜0
在等腰直角△COD中，OD＝OC＝k﹣1，由勾股定理得：
DC2＝OD2+OC2
DC2＝（k﹣1）2+（k﹣1）2
DC＝（k﹣1）
A（1，k）、D（1﹣k，0），
AD2＝（1﹣k﹣1）2+k2＝k
∴k2﹣k﹣6＝0
解得：k＝3，k＝﹣2（不符合题意，舍去）
故选：B．
22．如图，已知点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，连结OC交AB于点D，若CD＝2OD，则△BDC与△ADO的面积比为（　　）

A． B． C． D．
解：如图所示，过C作CE⊥x轴于E，
∵AB⊥x轴于点B，
∴S△AOB＝S△COE，
∴S△AOD＝S四边形BDCE，
设△BDO的面积为S，
∵CD＝2OD，
∴△BDC的面积为2S，△BOC的面积为3S，
∵BD∥CE，
∴BE＝2OB，
∴△BCE的面积为6S，
∴四边形BDCE的面积为6S+2S＝8S，
即△AOD的面积为8S，
∴△BDC与△ADO的面积比为2：8＝1：4，
故选：B．

23．如图，A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，AD，BE两垂线段交于点G．若图中阴影部分的面积为3，则△OAB的面积为（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12
解：
设FB与KA的延长线相交于点P，
HM垂直平分EK，
∵A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，
A点向x轴，y轴作垂线段分别是AD、AK
∴s矩形ODAK＝|k|＝9
同理：s矩形OFBE＝9
∵s矩形ODGE＝3
∴s矩形DFBG＝s矩形EGAK＝9﹣3＝6
∵HM垂直平分EK
∴OE＝EH＝HK
∴s矩形OFPK＝3s矩形OFBE＝3×9＝27
且s矩形AGBP＝2s△ABP＝12
即s△ABP＝6
∴s△AOB＝＝27﹣6﹣9＝12
故选：D．
24．如图，是反比例函数y1＝和y2＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲于A、B两点，若S△AOB＝3，则k2﹣k1的值是（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2
解：由反比例函数比例系数k的几何意义可知，
S△BOC＝
S△AOC＝
∵S△BOC﹣S△AOC＝S△AOB＝3
∴﹣＝3
∴k2﹣k1＝6

故选：B．
25．已知反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b的图象相交于点A（4，1），B（a，2）两点，一次函数的图象与y轴交于点C，点D在x轴上，其坐标为（1，0），则△ACD的面积为（　　）

A．12 B．9 C．6 D．5
解：∵点A（4，1）在反比例函数y＝上，

∴m＝xy＝4×1＝4，
∴y＝．
把B（a，2）代入y＝得
2＝，
∴a＝2，
∴B（2，2）．
∵把A（4，1），B（2，2）代入y＝kx+b
∴，解得，
∴一次函数的解析式为，
∵点C在直线上，
∴当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3）
过A作AE⊥x轴于E．
∴S△ACD＝S梯形AEOC﹣S△COD﹣S△DEA＝．
故选：D．