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高考数学(理数)二轮专题复习：06《不等式》课时练习（5课时教师版）
展开这是一份高考数学(理数)二轮专题复习：06《不等式》课时练习（5课时教师版），共21页。试卷主要包含了已知下列不等式，记方程①，设a，b为正实数等内容，欢迎下载使用。
1．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式正确的个数是( )
①eq \f(1,a)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知x，y∈R，且x>y>0，则( )
A.eq \f(1,x)－eq \f(1,y)>0 B．sin x－sin y>0 C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))y<0 D．ln x＋ln y>0
3．已知下列不等式：①x2＋3>2x；②a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R＋)；③a2＋b2≥2(a－b－1)．其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( )
A．对任意的a，b，e1
C．对任意的a，b，e1>e2
D．当a>b时，e1>e2；当a
A．方程①有实根，且②有实根
B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根
D．方程①无实根，且②无实根
6．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则eq \f(c,a)的取值范围为__________．
7．A杯中有浓度为a的盐水x g，B杯中有浓度为b的盐水y g，其中A杯中的盐水更咸一些．若将A，B两杯盐水混合在一起，其浓度可用不等式表示为______________．
8．用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空．则有汽车________辆．
9．设a，b为正实数．现有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b＜1；
②若eq \f(1,b)－eq \f(1,a)＝1，则a－b＜1；
③若|eq \r(a)－eq \r(b)|＝1，则|a－b|＜1；
④若|a3－b3|＝1，则|a－b|＜1.
其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号)
10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
11．已知a＞0，b＞0，求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,b))) SKIPIF 1 < 0 ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a))) SKIPIF 1 < 0 ≥a SKIPIF 1 < 0 ＋b SKIPIF 1 < 0 .
12．已知α∈(0，π)，比较2sin 2α与eq \f(sin α,1－cs α)的大小．
第2讲 一元二次不等式及其解法
1．若关于x的不等式ax－b>0的解集是(－∞，1)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(－1,3)
C．(1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
2．如果kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，那么实数k的取值范围是( )
A．－1≤k≤0 B．－1≤k<0 C．－1
A．[－1,1] B．[－2,2] C．[－2,1] D．[－1,2]
4．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞) C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
5．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，则a＋b＝( )
A．－3 B．1 C．－1 D．3
6．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，则不等式f(x＋2)<3的解集是_________．
7．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是________．
8．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，2))，对于系数a，b，c，有如下结论：①a<0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＞0；⑤a－b＋c＞0.其中正确的结论的序号是________．
9．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝eq \f(fx,x)(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
10．设f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＝eq \f(7,2)，问是否存在a，b，c∈R，使得不等式x2＋eq \f(1,2)≤f(x)≤2x2＋2x＋eq \f(3,2)对一切实数x都成立？证明你的结论．
第3讲 基本不等式
1．下列命题正确的是( )
A．函数y＝x＋eq \f(1,x)的最小值为2
B．函数y＝eq \f(x2＋3,\r(x2＋2))的最小值为2
C．函数y＝2－3x－eq \f(4,x)(x＞0)的最小值为2－4 eq \r(3)
D．函数y＝2－3x－eq \f(4,x)(x＞0)的最大值为2－4 eq \r(3)
2．若函数f(x)＝x＋eq \f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取得最小值，则a＝( )
A．1＋eq \r(2) B．1＋eq \r(3) C．3 D．4
3．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq \f(z,xy)取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )
A．0 B.eq \f(9,8) C．2 D.eq \f(9,4)
4．若lg4(3a＋4b)＝lg2eq \r(ab)，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 eq \r(3) B．7＋2 eq \r(3) C．6＋4 eq \r(3) D．7＋4 eq \r(3)
5．若实数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，则ab的最小值为( )
A.eq \r(2) B．2 C．2 eq \r(2) D．4
6．设f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f(eq \r(ab))，q＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))，r＝eq \f(1,2)[f(a)＋f(b)]，则下列关系式正确的是( )
A．q＝r＜p B．q＝r＞p C．p＝r＜q D．p＝r＞q
7．已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为( )
A．8 B．4 C．2 D．0
8．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________．
9．(1)设x＞－1，则函数y＝eq \f(x＋5x＋2,x＋1)的最小值为________．
(2)已知x＜eq \f(5,4)，则f(x)＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最大值为________；
10．(1)已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥m恒成立，则m的最大值等于( )
A．10 B．9 C．8 D．7
(2)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
第4讲 简单的线性规划
1．)若x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤3，,x＋y≥2,y≤x，))，则x＋2y的最大值为( )
A．1 B．3 C．5 D．9
2．设x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y－6≤0，,x≥0，,y≥0，))则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－3,0] B．[－3,2] C．[0,2] D．[0,3]
3．已知实数x，y满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x≤3，,2x－3y≤6，,3x＋4y≤12，))则z＝eq \f(x＋y－2,x＋1)的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－4，\f(7,16))) B．[－4,1] C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(7,16))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))
4．设x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥a，,x－y≤－1，))且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3 C．－5或3 D．5或－3
5．设二元一次不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－19≥0，,x－y－8≤0，,x＋2y－14≤0))所表示的平面区域为M，则使函数y＝lgax(a>0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是( )
A．[1,3] B．[2，eq \r(10)] C．[2,9] D．[eq \r(10)，9]
6．x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0.))若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A.eq \f(1,2)或－1 B．2或eq \f(1,2) C．2或1 D．2或－1
7．在平面直角坐标系中，不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,x＋y≤0，,x－y－4≤0))表示的平面区域的面积是________．
8．已知实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋4≥0，,2x＋y－2≥0，,3x－y－3≤0，))则x2＋y2的取值范围是________．
9．变量x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1.))
(1)设z＝eq \f(y,x)，求z的最小值；
(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；
(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．
10．已知函数g(x)＝x2＋(a＋1)x＋a＋b＋1，两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率．求eq \f(b,a)的取值范围．
第5讲 不等式的应用
1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析：每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x的函数关系为y＝－(x－6)2＋11(x∈N*)，要使每辆客车运营的年平均利润最大，则每辆客车营运的最佳年数为( )
A．3年 B．4年 C．5年 D．6年
2．设z＝4x·2y，变量x，y满足条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4y≤－3，,3x＋5y≤25，,x≥1，))则z的最小值为( )
A．2 B．4 C．8 D．16
3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，若将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则楼房应建为( )
A．10层 B．15层 C．20层 D．30层
4．已知在等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
5．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩(1亩≈666.7平方米)，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )
A．50,0 B．30,20 C．20,30 D．0,50
6．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31 200元 B．36 000元 C．36 800元 D．38 400元
7．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x的值是__________．
8．某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其关系式为F＝eq \f(76 000v,v2＋18v＋20l).
(1)如果不限定车型，l＝6.05，那么最大车流量为______辆/时；
(2)如果限定车型，l＝5，那么最大车流量比(1)中的最大车流量增加______辆/时．
9．经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(单位：升)与速度x(单位：千米/时)(50≤x≤120)的关系可近似表示为：y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,75)x2－130x＋4900，x∈[50，80，,12－\f(x,60)，x∈[80，120].))
(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？
(2)已知A，B两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
10．电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？
第六章 不等式
第1讲 不等式的概念与性质
1．A 解析：①a＝1，b＝－1，eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)不成立；
②a＝1，b＝－1，a2＞b2 不成立；
③c＝0，ac4＞bc4 不成立；
④因为c2＋1＞0，a＞b，所以eq \f(a,c2＋1)＞eq \f(b,c2＋1)成立．
2．C 解析：由x>y>0，得eq \f(1,x)
3．D 解析：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，∴x2＋3>2x.∵a3＋b3－a2b－ab2＝(a－b)(a2－b2)＝(a＋b)(a－b)2≥0，∴a3＋b3≥a2b＋ab2.∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)．
4．B 解析：e1＝eq \r(1＋\f(b2,a2))，e2＝eq \r(1＋\f(b＋m2,a＋m2)).不妨令e1
又a>b>c，所以a>－(a＋c)>c，且a>0，c<0.
所以1>－eq \f(a＋c,a)>eq \f(c,a)，即1>－1－eq \f(c,a)>eq \f(c,a).
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2c,a)<－1，,\f(c,a)>－2，))解得－2
由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8x－1＜4x＋20，,8x＞4x＋20，,x∈N*.))
解得5＜x＜7，且x∈N*.故只有x＝6才满足要求．
9．①④ 解析：①中，∵a2－b2＝1，∴a－b＝eq \f(1,a＋b).
∵a＞0，b＞0，又a2＝b2＋1＞1，
∴a＞1.从而eq \f(1,a＋b)＜1，即a－b＜1.
∴①正确．
②中，取a＝5，b＝eq \f(5,6)，验证知②错误．
③中，取a＝4，b＝1，验证知③错误．
④∵a，b是正实数，不妨设a＞b>0，
∴a3－b3＝(a－b)(a2＋b2＋ab)．
∴a－b＝eq \f(a3－b3,a2＋ab＋b2)＝eq \f(1,a2＋ab＋b2).
∵a3＝1＋b3＞1，∴a2＞1.∴a2＋ab＋b2＞1.
∴0＜eq \f(1,a2＋ab＋b2)＜1.
∴0
坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元．
则y1＝x＋eq \f(3,4)x·(n－1)＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)nx，y2＝eq \f(4,5)nx.
因为y1－y2＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)nx－eq \f(4,5)nx
＝eq \f(1,4)x－eq \f(1,20)nx＝eq \f(1,4)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(n,5))).
当n＝5时，y1＝y2；
当n>5时，y1
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
11．证明：方法一，左边－右边＝eq \f(\r(a)3＋\r(b)3,\r(ab))－(eq \r(a)＋eq \r(b))
＝eq \f(\r(a)＋\r(b)a－\r(ab)＋b－\r(ab)\r(a)＋\r(b),\r(ab))
＝eq \f(\r(a)＋\r(b)a－2 \r(ab)＋b,\r(ab))＝eq \f(\r(a)＋\r(b)\r(a)－\r(b)2,\r(ab))≥0.
∴原不等式成立．
方法二，左边>0，右边>0.
eq \f(左边,右边)＝eq \f(\r(a)＋\r(b)a－\r(ab)＋b,\r(ab)\r(a)＋\r(b))
＝eq \f(a－\r(ab)＋b,\r(ab))≥eq \f(2 \r(ab)－\r(ab),\r(ab))＝1.
∴原不等式成立．
12．解：2sin 2α－eq \f(sin α,1－cs α)＝eq \f(4sin αcs α1－cs α－sin α,1－cs α)
＝eq \f(sin α,1－cs α)(－4cs2α＋4cs α－1)＝－eq \f(sin α,1－cs α)(2cs α－1)2.
∵α∈(0，π)，∴sin α＞0,1－cs α＞0，(2cs α－1)2≥0.
∴－eq \f(sin α,1－cs α)(2cs α－1)2≤0，即2sin 2α－eq \f(sin α,1－cs α)≤0.
∴2sin 2α≤eq \f(sin α,1－cs α)，当且仅当α＝eq \f(π,3)时取等号．
第2讲 一元二次不等式及其解法
1．B 解析：由题意关于x的不等式ax－b>0的解集是(－∞，1)，可得eq \f(b,a)＝1，且a<0.则(ax＋b)(x－3)>0可变形为(x－3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,a)))<0，即得(x－3)(x＋1)<0.所以－1
4．A 解析：不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max.令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)
6．{x|－5
图D115
关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f2≤0，,f1＞0))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f2＝4－12＋a≤0，,f1＝1－6＋a＞0，))
解得5
8．①②③④ 解析：∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，2))，∴a<0；－eq \f(1,3)，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，－eq \f(1,3)＋2＝－eq \f(b,a)>0，∴b>0；f(0)＝c>0，f(1)＝a＋b＋c>0，f(－1)＝a－b＋c<0.故正确结论的序号为①②③④.
9．解：(1)依题意，得y＝eq \f(fx,x)＝eq \f(x2－4x＋1,x)＝x＋eq \f(1,x)－4.
因为x>0，所以x＋eq \f(1,x)≥2，
当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时，等号成立，
所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝eq \f(fx,x)的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使得“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g0≤0，,g2≤0.))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0－0－1≤0，,4－4a－1≤0.))
解得a≥eq \f(3,4).故a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞)).
10．解：由f(1)＝eq \f(7,2)，得a＋b＋c＝eq \f(7,2).
令x2＋eq \f(1,2)＝2x2＋2x＋eq \f(3,2)⇒x＝－1.
由f(x)≤2x2＋2x＋eq \f(3,2)推得f(－1)≤eq \f(3,2).
由f(x)≥x2＋eq \f(1,2)推得f(－1)≥eq \f(3,2).∴f(－1)＝eq \f(3,2).
∴a－b＋c＝eq \f(3,2).故a＋c＝eq \f(5,2)，且b＝1.
∴f(x)＝ax2＋x＋eq \f(5,2)－a.
依题意ax2＋x＋eq \f(5,2)－a≥x2＋eq \f(1,2)对一切x∈R都成立，∴a≠1，且Δ＝1－4(a－1)(2－a)≤0.
由a－1>0，得a＝eq \f(3,2).∴f(x)＝eq \f(3,2)x2＋x＋1.
证明如下：
∵eq \f(3,2)x2＋x＋1－2x2－2x－eq \f(3,2)
＝－eq \f(1,2)x2－x－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)(x＋1)2≤0.
∴eq \f(3,2)x2＋x＋1≤2x2＋2x＋eq \f(3,2)对x∈R都成立．
∴存在实数a＝eq \f(3,2)，b＝1，c＝1，使得不等式x2＋eq \f(1,2)≤f(x)≤2x2＋2x＋eq \f(3,2)对一切x∈R都成立．
第3讲 算术平均数与几何平均数
1．D 解析：y＝x＋eq \f(1,x)的定义域为{x|x≠0}，当x＞0时，有最小值2，当x＜0时，有最大值－2.故A项不正确；
y＝eq \f(x2＋3,\r(x2＋2))＝eq \r(x2＋2)＋eq \f(1,\r(x2＋2))≥2，
∵eq \r(x2＋2)≥eq \r(2)，∴取不到“＝”．故B项不正确；
∵当x＞0时，3x＋eq \f(4,x)≥2·eq \r(3x·\f(4,x))＝4 eq \r(3)，
当且仅当3x＝eq \f(4,x)，即x＝eq \f(2 \r(3),3)时取“＝”．
∴y＝2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(4,x)))有最大值2－4 eq \r(3).故C项不正确，D项正确．
2．C 解析：∵x＞2，∴f(x)＝x＋eq \f(1,x－2)＝(x－2)＋eq \f(1,x－2)＋2≥2 eq \r(x－2·\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)，即x＝3时取等号．
3．C 解析：z＝x2－3xy＋4y2，
eq \f(z,xy)＝eq \f(x2－3xy＋4y2,xy)≥eq \f(2x·2y－3xy,xy)＝eq \f(xy,xy)＝1.
当且仅当x＝2y时，eq \f(z,xy)取最小值，此时z＝2y2.
x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y2－2y)＝－2(y－1)2＋2，最大值为2.故选C.
4．D 解析：由题意知，ab>0，且3a＋4b>0，所以a>0，b>0.又lg4(3a＋4b)＝lg2eq \r(ab)，所以3a＋4b＝ab.所以eq \f(4,a)＋eq \f(3,b)＝1.所以a＋b＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a)＋\f(3,b)))＝7＋eq \f(4b,a)＋eq \f(3a,b)≥7＋2 eq \r(\f(4b,a)·\f(3a,b))＝7＋4 eq \r(3).当且仅当eq \f(4b,a)＝eq \f(3a,b)，即a＝4＋2 eq \r(3)，b＝3＋2 eq \r(3)时，等号成立．故选D.
5．C 解析：∵eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，∴a＞0，b＞0.∵eq \r(ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2 eq \r(\f(1,a)·\f(2,b))＝2 eq \r(\f(2,ab))，∴ab≥2 eq \r(2)(当且仅当b＝2a时取等号)，∴ab的最小值为2 eq \r(2).故选C.
6．C 解析：p＝f(eq \r(ab))＝lneq \r(ab)＝eq \f(1,2)ln(ab)，q＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))＝ln eq \f(a＋b,2)，r＝eq \f(1,2)[f(a)＋f(b)]＝eq \f(1,2)ln(ab)．
因为eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)，由f(x)＝ln x在区间(0，＋∞)内是增函数，可知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))＞f(eq \r(ab))，所以q＞p＝r.故选C.
7．A 解析：方法一，由x＋2y－xy＝0，得eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1，且x>0，y>0.∴x＋2y＝(x＋2y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝eq \f(4y,x)＋eq \f(x,y)＋4≥4＋4＝8(当且仅当x＝4，y＝2等号成立)．
方法二，由x＋2y＝xy＝eq \f(1,2)x·2y≤eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2y,2)))2＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2y))2,8)，∴x＋2y≥8(当且仅当x＝2y时取等号)．
8．3 解析：由x2＋2xy－3＝0，得y＝eq \f(3－x2,2x)＝eq \f(3,2x)－eq \f(1,2)x.
则2x＋y＝2x＋eq \f(3,2x)－eq \f(1,2)x＝eq \f(3x,2)＋eq \f(3,2x)≥2 eq \r(\f(3x,2)·\f(3,2x))＝3，当且仅当x＝1时，等号成立．所以(2x＋y)min＝3.
9．(1)9 (2)1
解析：(1)因为x＞－1，所以x＋1＞0，
所以y＝eq \f(x＋5x＋2,x＋1)＝eq \f(x2＋7x＋10,x＋1)
＝eq \f(x＋12＋5x＋1＋4,x＋1)＝(x＋1)＋eq \f(4,x＋1)＋5
≥2 eq \r(x＋1·\f(4,x＋1))＋5＝9.当且仅当x＋1＝eq \f(4,x＋1)，
即x＝1时等号成立．故函数y＝eq \f(x＋5x＋2,x＋1)的最小值为9.
(2)因为x＜eq \f(5,4)，所以5－4x＞0.则f(x)＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝eq \f(1,5－4x)，即x＝1时，等号成立．
故f(x)＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最大值为1.
10．(1)B (2)6
解析：eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(22a＋b,a)＋eq \f(2a＋b,b)＝4＋eq \f(2b,a)＋eq \f(2a,b)＋1＝5＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥5＋2×2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝9.
当且仅当a＝b＝eq \f(1,3)时取等号．∵eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥m，∴m≤9，即m的最大值等于9.故选B.
(2)由已知，得x＝eq \f(9－3y,1＋y).
方法一，(消元法)
∵x>0，y>0，∴0
当且仅当eq \f(12,1＋y)＝3y＋3，即y＝1，x＝3时，取等号，故(x＋3y)min＝6.
方法二，∵x>0，y>0，
9－(x＋3y)＝xy＝eq \f(1,3)x·(3y)≤eq \f(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋3y,2)))2，
当且仅当x＝3y时等号成立．
设x＋3y＝t>0，则t2＋12t－108≥0.
∴(t－6)(t＋18)≥0.
又t>0，∴t≥6.
故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.
第4讲 简单的线性规划
1．D 解析：如图D116，画出可行域．
图D116
z＝x＋2y表示斜率为－eq \f(1,2)的一组平行线，当过点C(3，3)时，目标函数取得最大值zmax＝3＋2×3＝9.
2．B 解析：将点(0,0)，(2,0)，(0,3)代入z＝x－y解得0,2，－3.所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．故选B.
3．B 解析：作出不等式组表示的平面区域(如图D117)，因为z＝eq \f(x＋y－2,x＋1)＝eq \f(y－3,x＋1)＋1表示平面区域内的点与点(－1，3)之间连线的斜率k与1的和．由图知，当x＝0，y＝－2时，k取得最小值kmin＝eq \f(－2－3,0＋1)＝－5；当x＝0，y＝3时，k取得最大值kmax＝eq \f(3－3,0＋1)＝0.所以z∈[－4，1]．故选B.
图D117
4．B 解析：根据题中约束条件可画出可行域如图D118.两直线交点坐标为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－1,2)，\f(a＋1,2))).又由z＝x＋ay知，当a＝0时，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，z的最小值为－eq \f(1,2)，不合题意；当a≥1时，y＝－eq \f(1,a)x＋eq \f(z,a)过点A时，z有最小值，即z＝eq \f(a－1,2)＋a×eq \f(a＋1,2)＝eq \f(a2＋2a－1,2)＝7，解得a＝3或a＝－5(舍去)；当a<1时，z无最小值．故选B.
图D118
5．C 解析：区域M是一个三角形区域，三个顶点的坐标分别是(8,3)，(10,2)，(9,1)，结合图形检验，可知：当a∈[2,9]时，符合题目要求．
6．D 解析：如图D119，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.
图D119
7．1 解析：不等式组表示的区域如图D120所示的阴影部分，
图D120
由x＝1，x＋y＝0，得A(1，－1)；
由x＝1，x－y－4＝0，得B(1，－3)；
由x＋y＝0，x－y－4＝0，得C(2，－2)．
∴|AB|＝2.∴S△ABC＝eq \f(1,2)×2×1＝1.
8.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，13)) 解析：由图D121知，原点到直线2x＋y－2＝0的距离平方为x2＋y2的最小值，为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1( \f(2,\r(5))))2＝eq \f(4,5)；原点到点(2,3)距离平方为x2＋y2的最大值，为13.因此x2＋y2的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，13)).
图D121
9．解：由约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1，))作出(x，y)的可行域如图D122所示的阴影部分．
图D122
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,3x＋5y－25＝0，))解得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(22,5))).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,x－4y＋3＝0，))解得C(1,1)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y－25＝0，))解得B(5,2)．
(1)∵z＝eq \f(y,x)＝eq \f(y－0,x－0)，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝eq \f(2,5).
(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．
结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，
dmin＝|OC|＝eq \r(2)，dmax＝|OB|＝eq \r(29).
故z的取值范围是[2,29]．
(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．
结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，
dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝eq \r(－3－52＋2－22)＝8.
故z的取值范围是[16,64]．
10．解：g(x)＝x2＋(a＋1)x＋a＋b＋1，
两个零点为方程x2＋(a＋1)x＋a＋b＋1＝0的两根，且一根大于1，另一根大于0且小于1，
由根的分布画图，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g0>0，,g1<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋1>0，,2a＋b＋3<0.))
作出可行域如图D123.
图D123
而eq \f(b,a)＝eq \f(b－0,a－0)表示可行域中的点(a，b)与原点连线的斜率k，直线OA的斜率k1＝－eq \f(1,2)，直线2a＋b＋3＝0的斜率k2＝－2.所以k∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))，即eq \f(b,a)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2))).
第5讲 不等式的应用
1．C 解析：eq \f(y,x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))＋12≤－2 eq \r(x×\f(25,x))＋12，当且仅当x＝eq \f(25,x)，即x＝5时取等号．
2．C 解析：作出不等式组对应的平面区域，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4y＝－3，,x＝1))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))设A(1,1)，由图可知，直线2x＋y＝m经过点A时，m取最小值，同时z＝4x·2y＝22x＋y取得最小值．所以zmin＝22×1＋1＝23＝8.故选C.
3．B 解析：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则
f(x)＝(560＋48x)＋eq \f(2160×10 000,2000x)
＝560＋48x＋eq \f(10 800,x)＝560＋48eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(225,x)))
≥560＋48×2 eq \r(x·\f(225,x))＝2000(x≥10，x∈N*)．
当且仅当x＝eq \f(225,x)，即x＝15时，f(x)取得最小值为f(15)＝2000.
4．D 解析：设公比为q.因为a2＝1＝a1q，所以S3＝a1＋1＋a1q2＝eq \f(1,q)＋q＋1.当q>0时，eq \f(1,q)＋q≥2；当q<0时，eq \f(1,q)＋q≤－2.所以S3≥3或S3≤－1.故选D.
5．B 解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，种植总利润为z万元，则目标函数z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y.作出约束条件如图D124所示的阴影部分．易求得点A(0,50)，B(30,20)，C(45,0)．平移直线x＋0.9y＝0，当直线x＋0.9y＝0经过点B(30,20)时，z取得最大值为48.故选B.
图D124 图D125
6．C 解析：设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z元，则线性约束条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤21，,y－x≤7，,36x＋60y≥900，,x，y∈N，))
目标函数为z＝1600x＋2400y.画出可行域：如图D125所示的阴影部分，可知当目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．
7．30 解析：总费用4x＋eq \f(600,x)×6＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(900,x)))≥4×2eq \r(900)＝240.当且仅当x＝eq \f(900,x)，即x＝30时等号成立．
8．(1)1900 (2)100
解析：(1)当l＝6.05时，F＝eq \f(76 000v,v2＋18v＋20l)＝eq \f(76 000,v＋\f(121,v)＋18)≤eq \f(76 000,2 \r(v·\f(121,v))＋18)＝eq \f(76 000,22＋18)＝1900，当且仅当v＝eq \f(121,v)，即v＝11时，等号成立．
(2)当l＝5时，F＝eq \f(76 000v,v2＋18v＋20l)＝eq \f(76 000,v＋\f(100,v)＋18)≤eq \f(76 000,2 \r(v·\f(100,v))＋18)＝eq \f(76 000,20＋18)＝2000，当且仅当v＝eq \f(100,v)，即v＝10时，等号成立．
此时车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/时．
9．解：(1)①当x∈[50,80)时，
y＝eq \f(1,75)(x2－130x＋4900)＝eq \f(1,75)[(x－65)2＋675]
当x＝65时，y有最小值eq \f(1,75)×675＝9.
②当x∈[80,120]时，函数单调递减，故当x＝120时，y有最小值10.
因为9<10，故当x＝65时每小时耗油量最低．
(2)设总耗油量为l，由题意，可知l＝y·eq \f(120,x).
①当x∈[50,80)时，l＝y·eq \f(120,x)＝eq \f(8,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4900,x)－130))≥eq \f(8,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 \r(x×\f(4900,x))－130))＝16.
当且仅当x＝eq \f(4900,x)，即x＝70时，l取得最小值16.
②当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(80,120))时，l＝y·eq \f(120,x)＝eq \f(1440,x)－2为减函数，当x＝120时，l取得最小值10.
因为10<16，所以当速度为120时，总耗油量最少．
10．解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(70x＋60y≤600，,5x＋5y≥30，,x≤2y，,x≥0，,y≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7x＋6y≤60，,x＋y≥6，,x－2y≤0，,x≥0，,y≥0，))
该二元一次不等式组所表示的平面区域为如图D126中的阴影部分．
图D126 图D127
(2)设总收视人次为z万，
则目标函数为z＝60x＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－eq \f(12,5)x＋eq \f(z,25)，这是斜率为－eq \f(12,5)，随z变化的一族平行直线.eq \f(z,25)为直线在y轴上的截距，当eq \f(z,25)取得最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图D127可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距eq \f(z,25)最大，即z最大．解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7x＋6y＝60，,x－2y＝0))得点M的坐标为(6,3)．
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多
项目
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
连续剧播放时长
(单位：分钟)
广告播放时长
(单位：分钟)
收视人次(单位：万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
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