高考数学(理数)二轮专题复习：08《立体几何》课时练习（7课时学生版）

这是一份高考数学(理数)二轮专题复习：08《立体几何》课时练习（7课时学生版），共20页。

1．将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图，则该几何体的侧(左)视图为( )

A B C D
2．一个几何体的正视图和侧视图都是面积为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是( )

A B C D
3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为( )
A．6 cm B．8 cm C．(2＋4 eq \r(2))cm D．(2＋2 eq \r(3))cm
4．一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( )
A．3π B．4π C．2π＋4 D．3π＋4

5．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图X8­1­4(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.
6．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0))，绘制该四面体三视图时， 按照如下图X8­1­5所示的方向画正视图，则得到左视图可以为( )

A B C D
7．某几何体的三视图如图(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A.eq \f(π,2)＋1 B.eq \f(π,2)＋3 C.eq \f(3π,2)＋1 D.eq \f(3π,2)＋3
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为( )
A．136π B．34π C．25π D．18π
9．由一个长方体和两个eq \f(1,4)圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．
10．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P­ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．
11．如图所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图.
(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．
12．图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.
(1)如图所示的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正视图和侧视图；
(2)求四棱锥B­CEPD的体积；
(3)求证：BE∥平面PDA.


第2讲 空间几何体的表面积和体积
1．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.eq \f(2 \r(2)π,3) B.eq \f(4 \r(2)π,3) C．2 eq \r(2)π D．4 eq \r(2)π
2．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图.若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( )
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
4．某工件的三视图如图，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(材料利用率＝\f(新工件的体积,原工件的体积)))( )
A.eq \f(8,9π) B.eq \f(8,27π) C.eq \f(24\r(2)－13,π) D.eq \f(8\r(2)－13,π)
5．已知某三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的体积________．
6．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．
7．某几何体的三视图如图(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.
8．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比值为2π，则其母线与轴的夹角的大小为______．
9．已知△ABC的顶点都在球O的球面上，AB＝6，BC＝8，AC＝10，三棱锥O­ABC的体积为40 eq \r(3)，则该球的表面积等于________．
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
A．18＋36 eq \r(5) B．54＋18 eq \r(5) C．90 D．81
11．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
12．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
(1)求证AC⊥HD′；
(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝eq \f(5,4)，OD′＝2 eq \r(2)，求五棱锥D′ABCFE的体积．
第3讲 点、直线、平面之间的位置关系

1．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A．l至少与l1，l2中的一条相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l与l1，l2都不相交
2．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
3．若P是两条异面直线l，m外的任意一点．则( )
A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l.m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面
4．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则( )
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
5．如图所示的是正方体的平面展开图，在这个正方体中．
①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°；④CN与AF垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是( )
A．①②③ B．②④ C．③ D．③④
6．直三棱柱ABC­A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(\r(3),6) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(3),3)
8．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最小值为60°.
其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)
9．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝eq \f(π,2)，AB＝2，AC＝2 eq \r(3)，PA＝2.求：
(1)三棱锥P­ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
第4讲 直线、平面平行的判定与性质

1．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
2．若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β
C．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n
D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β
3．如图，已知l是过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是( )
A．D1B1∥l B．BD∥平面AD1B1
C．l∥平面A1D1B1 D．l⊥B1C1
4．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列说法正确的是( )
A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ B．若α⊥β，m∥β，则m⊥α
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m∥α，n∥α，则m∥n
6．如图(1)，在透明塑料制成的长方体ABCD­A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③棱A1D1始终与水面EFGH平行；
④当容器倾斜至如图(2)时，BE·BF是定值．
其中正确说法的序号是____________．
7．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件____________时，有MN∥平面B1BDD1.
8．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题．可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．
9．如图，四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD, ∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为2 eq \r(7)，求四棱锥P­ABCD的体积．
10．如图，四棱锥P­ABCD中，BC∥AD，BC＝1，AD＝3，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD.
(1)求证：AC⊥PD；
(2)在线段PA上是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，求eq \f(PE,PA)的值；若不存在，请说明理由．
第5讲 直线、平面垂直的判定与性质
1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，( )
A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
2．已知直线m，n与平面α，β，γ满足α⊥β，α∩β＝m，n⊥α，n⊂γ，则下列判断一定正确的是( )
A．m∥γ，α⊥γ B．n∥β，α⊥γ C．β∥γ，α⊥γ D．m⊥n，α⊥γ
3．如图，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC
4．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在四面体A­EFH中必有( )
A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面
5．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为( )
A.eq \f(\r(3),4) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(3 \r(3),4) D.eq \r(3)
6．如图在三棱锥P­ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法错误的是( )
A．当AE⊥PB时，△AEF一定为直角三角形
B．当AF⊥PC时，△AEF一定为直角三角形
C．当EF∥平面ABC时，△AEF一定为直角三角形
D．当PC⊥平面AEF时，△AEF一定为直角三角形
7．如图，已知正四面体D­ABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP＝PB，eq \f(BQ,QC)＝eq \f(CR,RA)＝2，分别记二面角D­PR­Q，D­PQ­R，D­QR­P的平面角为α，β，γ，则( )
A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α
8．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
(1)如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
(2)如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
(3)如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.
(4)如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有______．(填写所有正确命题的编号)
9．如图，三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.
10．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，且四边形BB1C1C是菱形，∠BCC1＝60°.
(1)求证：AC1⊥B1C；
(2)若AC⊥AB1，三棱锥A­BB1C的体积为eq \f(\r(6),3)，求△ABC的面积．
第6讲 空间坐标系与空间向量
1．下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是( )
A.eq \(OM,\s\up6(→))＝3eq \(OA,\s\up6(→))－2eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))
B.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,5)eq \(OC,\s\up6(→))
C.eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0
D.eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0
2．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA,\s\up6(→))1＝c，则下列向量与eq \(BM,\s\up6(→))相等的向量是( )
A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c C．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c D.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(1,4) B．－eq \f(1,4) C.eq \f(\r(3),4) D．－eq \f(\r(3),4)
4．如图，三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．
5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MC1,\s\up6(→))，点N为B1B的中点，则|MN|＝( )
A.eq \f(\r(21),6)a B.eq \f(\r(6),6)a C.eq \f(\r(15),6)a D.eq \f(\r(15),3)a
6．如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cs 〈eq \(DP,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\r(3),3)，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为( )
A．(1,1,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(3,2))) D．(1,1,2)
7．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________．
8．如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝eq \r(5)，∠ADC＝90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________．
9．如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))；
(2)EG的长；
(3)异面直线AG与CE所成角的余弦值．
10．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.
(1)证明：AC＝AB1；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A­A1B1­C1的余弦值．
第7讲 空间中角与距离的计算
1．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，若E，F分别是BC，DD1的中点，则B1到平面ABF的距离为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(\r(5),3) D.eq \f(2 \r(5),5)
2．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，若BC⊥AC，∠BAC＝eq \f(π,3)，AC＝4，AA1＝4，M为AA1的中点，P为BM的中点，Q在线段CA1上，A1Q＝3QC.则异面直线PQ与AC所成角的正弦值为( )
A.eq \f(\r(39),13) B.eq \f(2\r(13),13) C.eq \f(2\r(39),13) D.eq \f(\r(13),13)
3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正切值是( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(6),3)
4．若正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(\r(5),5)
5．已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq \r(3)，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为________．
6．如图正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2 eq \r(2)，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为____________．
7．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是 SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)设P是 SKIPIF 1 < 0 上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E­AG­C的大小．
8．如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACFE为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB＝BD＝2，AE＝eq \r(3)，∠EAD＝∠EAB.
(1)证明：平面ACFE⊥平面ABCD；
(2)若AE与平面ABCD所成角为60°，求二面角B­EF­D的余弦值．
9．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝eq \f(5,4)，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到 △D′EF的位置，OD′＝eq \r(10).
(1)证明：D′H⊥平面ABCD；
(2)求二面角B­D′A­C的正弦值．