高考数学(理数)二轮专题复习：16《概率与统计》专题练习（教师版）

这是一份高考数学(理数)二轮专题复习：16《概率与统计》专题练习（教师版），共6页。试卷主要包含了某年级举办团知识竞赛等内容，欢迎下载使用。

1．某年级举办团知识竞赛．A，B，C，D四个班报名人数如下：
年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从10道关于团知识的题目中随机抽取4道作答，全部答对的同学获得一份奖品．
(1)求各班参加竞赛的人数；
(2)若B班每位参加竞赛的同学对每道题目答对的概率均为p，求B班恰好有2名同学获得奖品的概率；
(3)若这10道题目中，小张同学只有2道答不对，记小张答对的题目数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
2．某省高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等制划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70,85)内，记为B等；分数在[60,70)内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1，乙校的样本中等级为C，D的所有数据茎叶图如图2.

图­1 图­2
(1)求图1中x的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；
(2)在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
3．某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电．图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X(单位：万立方米)的频率分布直方图(不完整)，已知X∈[0,120)，历年中日泄流量在区间[30,60)的年平均天数为156，一年按364天计．
(1)请把频率分布直方图补充完整；
(2)该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如60≤X<90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润为4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据，问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？
4．某商店根据以往某种玩具的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)估计日销售量的众数；
(2)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(3)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．
5．已知一个口袋有m个白球，n个黑球(m，n∈N*，n≥2)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图Z7­5所示的编号为1,2,3，…，m＋n的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉(k＝1,2,3，…，m＋n).
(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明E(X)6．近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升．伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来．如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量70后、80后中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从70后和80后的员工中随机调查了100名，得到数据如下表：
(1)根据调查的数据，是否有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；
(2)该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的70后、80后员工参加.70后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为x；80后员工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为y，求x参考数据：
eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(参考公式：K2＝\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n))
eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(\(\s\up7( ),\s\d5( ))＝a＋b＋c＋d))
专题六 概率与统计
1．解：(1)A，B，C，D四个班参加竞赛的人数分别为：
eq \f(45,150)×10＝3，eq \f(60,150)×10＝4，eq \f(30,150)×10＝2，eq \f(15,150)×10＝1.
(2)根据题意，B班中每名参加竞赛的同学获得奖品的概率为Ceq \\al(4,4)p4＝p4，
所以B班中恰好有2名同学获得奖品的概率为Ceq \\al(2,4)(p4)2(1－p4)2＝6p8(1－p4)2.
(3)由题意，得X取值为2,3,4，且服从超几何分布．
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,8)C\\al(2,2),C\\al(4,10))＝eq \f(2,15)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,8)C\\al(1,2),C\\al(4,10))＝eq \f(8,15)，
P(X＝4)＝eq \f(C\\al(4,8)C\\al(0,2),C\\al(4,10))＝eq \f(1,3).
所以X的分布列为：
所以E(X)＝2×eq \f(2,15)＋3×eq \f(8,15)＋4×eq \f(1,3)＝eq \f(16,5).
2．解：(1)由题意，可知10x＋0.012×10＋0.056×10＋0.018×10＋0.010×10＝1，
解得x＝0.004.
所以甲学校的合格率为(1－10×0.004)×100%＝96%.
而乙学校的合格率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,50)))×100%＝96%.
即甲、乙两校的合格率相同，均为96%.
(2)样本中甲校C等级的学生人数为0.012×10×50＝6，而乙校C等级的学生人数为4.
∴随机抽取3人中，甲校学生人数X的可能取值为0,1,2,3.
∴P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,10))＝eq \f(1,30)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,6)C\\al(2,4),C\\al(3,10))＝eq \f(3,10)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,6)C\\al(1,4),C\\al(3,10))＝eq \f(1,2)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,6),C\\al(3,10))＝eq \f(1,6).
故X的分布列为：
数学期望E(X)＝0×eq \f(1,30)＋1×eq \f(3,10)＋2×eq \f(1,2)＋3×eq \f(1,6)＝eq \f(9,5).
3．解：(1)在区间[30,60)的频率为eq \f(156,364)＝eq \f(3,7)，
eq \f(频率,组距)＝eq \f(3,7×30)＝eq \f(1,70)，
设在区间[0,30)上，eq \f(频率,组距)＝a，
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,70)＋\f(1,105)＋\f(1,210)))×30＝1.
解得a＝eq \f(1,210).
补充频率分布直方图如图D186.
图D186
(2)记水电站日利润为Y元．由(1)知：不能运行发电机的概率为eq \f(1,7)，恰好运行1台发电机的概率为eq \f(3,7)，恰好运行2台发电机的概率为eq \f(2,7)，恰好运行3台发电机的概率为eq \f(1,7).
①若安装1台发电机，则Y的值为－500,4000，其分布列为：
E(Y)＝－500×eq \f(1,7)＋4000×eq \f(6,7)＝eq \f(23 500,7)；
②若安装2台发电机，则Y的值为－1000,3500,8000，其分布列为
E(Y)＝－1000×eq \f(1,7)＋3500×eq \f(3,7)＋8000×eq \f(3,7)＝eq \f(33 500,7)；
③若安装3台发电机，则Y的值为－1500,3000,7500,12 000，其分布列为
E(Y)＝－1500×eq \f(1,7)＋3000×eq \f(3,7)＋7500×eq \f(2,7)＋12 000×eq \f(1,7)＝eq \f(34 500,7).
∵eq \f(34 500,7)>eq \f(33 500,7)>eq \f(23 500,7)，
∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．
4．解：(1)依据日销售量的频率分布直方图可得众数为eq \f(100＋150,2)＝125.
(2)记事件A1“日销售量不低于100个”， 事件A2“日销售量低于50个”，事件B“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．
则P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6,
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(3)X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)×(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)×0.6×(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)×0.62×(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)×0.63＝0.216.
X的分布列为：
因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，
方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
5．(1)解：编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p＝eq \f(C\\al(n－1,m＋n－1),C\\al(n,m＋n))＝eq \f(n,m＋n).
(2)证明：随机变量X的概率分布为：
随机变量X的期望为：
E(X)＝ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,C\\al(n,m＋n)) SKIPIF 1 < 0 eq \f(k－1！,n－1！k－n！).
所以E(X)＝eq \f(1,n－1C\\al(n,m＋n))(1＋Ceq \\al(n－2,n－1)＋Ceq \\al(n－2,n)＋…＋Ceq \\al(n－2,m＋n－2))
＝eq \f(1,n－1C\\al(n,m＋n))(Ceq \\al(n－1,n－1)＋Ceq \\al(n－2,n－1)＋Ceq \\al(n－2,n)＋…＋Ceq \\al(n－2,m＋n－2))
＝eq \f(1,n－1C\\al(n,m＋n))(Ceq \\al(n－1,n)＋Ceq \\al(n－2,n)＋…＋Ceq \\al(n－2,m＋n－2))
＝…＝eq \f(1,n－1C\\al(n,m＋n))(Ceq \\al(n－1,m＋n－2)＋Ceq \\al(n－2,m＋n－2))
＝eq \f(C\\al(n－1,m＋n－1),n－1C\\al(n,m＋n))＝eq \f(n,m＋nn－1).
所以E(X)6．解：(1)K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq \f(100×20×20－40×202,60×40×60×40)
＝eq \f(400×400×100,5 760 000)≈2.778>2.706，
所以有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”．
(2)“x且P(x＝0，y＝1)＝eq \f(C\\al(0,3)C\\al(3,3),C\\al(3,6))×eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,2),C\\al(3,6))＝eq \f(4,400)，
P(x＝0，y＝2)＝eq \f(C\\al(0,3)C\\al(3,3),C\\al(3,6))×eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),C\\al(3,6))＝eq \f(12,400)，
P(x＝0，y＝3)＝eq \f(C\\al(0,3)C\\al(3,3),C\\al(3,6))×eq \f(C\\al(3,4)C\\al(0,2),C\\al(3,6))＝eq \f(4,400)，
P(x＝1，y＝2)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,3),C\\al(3,6))×eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),C\\al(3,6))＝eq \f(108,400)，
P(x＝1，y＝3)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,3),C\\al(3,6))×eq \f(C\\al(3,4)C\\al(0,2),C\\al(3,6))＝eq \f(36,400)，
P(x＝2，y＝3)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,3),C\\al(3,6))×eq \f(C\\al(3,4)C\\al(0,2),C\\al(3,6))＝eq \f(36,400).
所以P(x班别
A
B
C
D
人数
45
60
30
15
1
2
3
…
m＋n
愿意被外派
不愿意被外派
合计
70后
20
20
40
80后
40
20
60
合计
60
40
100
P(K2>k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
X
2
3
4
P
eq \f(2,15)
eq \f(8,15)
eq \f(1,3)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,30)
eq \f(3,10)
eq \f(1,2)
eq \f(1,6)
Y
－500
4000
P
eq \f(1,7)
eq \f(6,7)
Y
－1000
3500
8000
P
eq \f(1,7)
eq \f(3,7)
eq \f(3,7)
Y
－1500
3000
7500
12 000
P
eq \f(1,7)
eq \f(3,7)
eq \f(2,7)
eq \f(1,7)
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
X
eq \f(1,n)
eq \f(1,n＋1)
eq \f(1,n＋2)
…
eq \f(1,k)
…
eq \f(1,m＋n)
P
eq \f(C\\al(n－1,n－1),C\\al(n,m＋n))
eq \f(C\\al(n－1,n),C\\al(n,m＋n))
eq \f(C\\al(n－1,n＋1),C\\al(n,m＋n))
…
eq \f(C\\al(n－1,k－1),C\\al(n,m＋n))
…
eq \f(C\\al(n－1,n＋m－1),C\\al(n,m＋n))