36.数列（结构不良型2） 2022届高三数学一轮复习大题练

一轮复习大题专练36—数列（结构不良型2）

13603210371@zz.com；学号：198393771．在①，，成等比数列②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并做出解答．

已知是公差不为零的等差数列，为其前项和，，______，是等比数列，，，公比．

（1）求数列，的通项公式；

（2）数列和的所有项分别构成集合，，将的元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求．

解：（1）选①，因为是公差不为0的等差数列，设公差为，

由，，成等比数列可得，由于，所以，

又，所以，解得，，所以．

选②，因为，，所以，，可得，，

所以．

选③，因为，所以，

因为，所以，即有，

所以．

因为是等比数列，由，，，

得，，解得，，

所以．

（2），，

所以的前80项中，数列的项最多有5项，

其中，为公共项，

又，

所以的前80项是由的前77项及，，构成．

．

2．在①，；②；③，是与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．

已知为等差数列的前项和，若____．

（1）求；

（2）记，求数列的前项和．

解：（1）选择条件①：设等差数列的公差为，

则解得

，；

选择条件②：，

当时，

即，

当时，，也适合上式，

，；

选择条件③：设等差数列的公差为，

则，

解得，，或，，不合题意，舍去，

，；

（2）由（1）可知，，

．

3．设等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，其满足，，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若 ____，求数列的前项和．

在①，②，③这三个条件中任一个补充在第（2）问中；并对其求解．

解：（1）由题意，设等差数列的公差为，则

，，，

设正项等比数列的公比为，则

，，

由题意，可得

，

化简，可得，

整理，得，

解得（舍去），，

，

，，

，，

（2）方案一：选条件①

，

则

，

方案二：选条件②

，

，

，

两式相减，可得

，

，

方案三：选条件③

，

．

4．在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并作出解答．

问题：已知数列的前项和，等比数列的前项和为，，且______，判断是否存在唯一的，使得，且．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

解：因为数列的前项和，

当时，，

当时，，

经检验，当时也适合上式，

故数列的通项公式为，

所以，

若选①：

因为，所以，，

又，所以，

则等比数列的公比为，

故数列是递增的等比数列，且，

故不存在，使得，且．

若选②：

因为，所以，

故，则等比数列的公比为，

故数列的通项公式为，

所以数列是递减的等比数列，

当时，使得，

所以存在唯一的，使得，且．

若选③：

因为，所以，

设等比数列的公比为，

则，解得，

所以数列是摆动的等比数列，且，

当时，使得，

当时，使得，

故不存在唯一的，使得，且．

5．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．

问题：设是数列的前项和，且，______，求的通项公式，并判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．

解：选①

因为，，所以是首项为4，公比为的等比数列．

所以．

当为奇数时，，

因为随着的增大而减小，所以此时的最大值为；

当为偶数时，，且，

综上，存在最大值，且最大值为4．

选②

解法1：因为，，所以是首项为4，公差为的等差数列．

所以，

由于，得，所以存在最大值，且最大值为或，

因为，所以的最大值为50．

选③

因为，所以，

所以，，，，

所以，

由于，

所以，

当时，，故不存在最大值．

6．已知首项为，公比为的等比数列前项和为，若_____，是否存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列？若存在，求；若不存在，请说明理由．

从（1）；（2）这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

解：选择（1），

，为等比数列，

即，

假设存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列，则，

，即，

，观察可知左边为奇数，右边为偶数，即不存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列．

选择（2），可知，

，

，可得，解得，

，

数列各项的绝对值相等，且相邻两项的符号相反的等比数列，

任意三个不同的正奇数或任意三个不同的正偶数，，，都满足，

当为正奇数时，，

当为正偶数时，，

．

7．在①，的等差中项是3，②，的等比中项是，③．

这三个条件中任选择两个，补充在下面问题中并解答．如果选多种方案解答，按第一种方案计分．

已知正项等比数列满足 _____，____．

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前项积为，求数列的前项和．

解：（1）设正项等比数列的公比为，，

选①②，则，

解得，，所以；

选①③，则，

解得，，所以；

选②③，则，

解得，，所以；

（2）由题意，可得，

所以，

则

．