53.立体几何（二面角2） 2022届高三数学一轮复习大题练

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（1）证明：底面；
（2）当点在边上移动，使二面角为时，求二面角的余弦值．
（1）证明：因为侧面底面，且侧面底面，因为，所以面，
所以，同理，侧面底面，且侧面底面，因为，所以面，所以，所以底面．
（2）因为底面，点是的中点，且，所以．
因为侧面，且，所以侧面，所以，
所以侧面，所以为二面角所成的角，
当时，，因为，，三线两两垂直，分别以
，，为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，0，，，0，，，1，，，2，，，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，得，，则；
设平面的法向量为，
由，即，令，得，，所以，
设二面角为，则．
2．如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且．
（1）证明：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．
（1）证明：如图，连接，与的交点记为点，
，，，所以，，所以，
因为，所以，所以，即，又因为，且，所以平面，
因为平面，所以，因为在中，，所以，又因为，所以平面；
（2）存在，点为靠近点的三等分点，理由如下：
如图，以为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则，0，、，0，、，4，、，0，、，2，、，4，，
，设设，即点，0，，则，，
设平面的法向量，则由即，
取，则，
易知，平面的一个法向量为，0，，因为二面角的余弦值为，
即，整理可得，解得（舍或，
故线段上存在一点，使得二面角的余弦值为，此时点为靠近点的三等分点．
3．如图，在平行四边形中，，为的中点，且，现将平行四边形沿折叠成四棱锥．
（1）已知为的中点，求证：；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值．
（1）证明：取的中点，连接，，，
，，为等边三角形，即为等边三角形，
，
设，则，，
，即，
，分别为，的中点，，，
又，、平面，
平面，
平面，．
（2）解：由（1）知，，
平面平面，平面平面，平面，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，0，，，0，，，，，
，0，，，，，，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，，0，，
同理可得，平面的法向量为，，，
，，
由图知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
4．如图，在五面体中，四边形为矩形，为等边三角形，且平面平面，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在四边形的中心，且．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角（锐角）的余弦值．
（1）证明：连接，取，的中点分别为，，连接，，，易得为四边形的中心，
所以平面，
设，因为和平面所成的角为，所以，因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，，
所以平面，，则，，
所以四边形是平行四边形，所以．
因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：
在平面中，作，
如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建系，
则，
又因为平面平面，所以是平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
因为，
所以，解得，
所以平面的法向量为．
记平面与平面所成的角为，
所以，
所以平面与平面所成角（锐角）的余弦值为．
5．如图，三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧面底面，且侧面为菱形，．
（1）求二面角所成角的正弦值．
（2），分别是棱，的中点，又．求经过，，三点的平面截三棱柱的截面的周长．
（1）解：为的中点，连接，侧面为菱形，，
△为正三角形，，
侧面底面，侧面底面，侧面，
底面，
底面为正三角形，为的中点，，
以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
底面是边长为4的正三角形，
，0，，，，，，，2，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
由得，令，得，
，
又易只为平面的一个法向量．
．
所以二面角所成角的正弦值为．
（2）连接，，，，分别是棱，的中点，，
又因为，，经过，，三点的平面截三棱柱的截面即为平面，
其中，在△中，因为三棱柱的底面是边长为4的正三角形，
侧面为菱形，，
由余弦定理得，
取的中点，连接，四边形为平行四边形，，
又因为侧面为菱形，，△为两个全等的等边三角形，
连接，，又因为，，
又因为侧面底面，且侧面底面，平面，
又平面，，
又因为，，
即，所以截面的周长为：．
6．如图①所示，平面五边形中，四边形为直角梯形，且，若，，是以为斜边的等腰直角三角形，现将沿折起，连接，得如图②的几何体．
（1）若点是的中点，求证：平面；
（2）若，在棱上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
（1）证明：取的中点为，连接，，因为是的中点，，所以是的中位线，所以
且，所以为平行四边形，所以，因为面，面，所以平面．
（2）解：取的中点为，连接，，其中，，由可得，显然平面，
故以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，，，，1，，设存在点，，，则由可得：，
即，，，易知面的法向量可取，而，，
．设面的一个法向量为，则
，即，于是可取一个法向量为，
则，所以，所以为的中点，
故存在点为的中点．