56.椭圆（面积最值问题1） 2022届高三数学一轮复习大题练

一轮复习大题专练56—椭圆（面积最值问题1）

1．已知椭圆的一个焦点是直线所过的定点，且短轴长为4．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值．

解：（1）设椭圆的方程：，

由直线恒过点，所以，由，，

所以，

所以；

（2）由在椭圆内部，故直线与椭圆必有两个不同的交点，

由题意可知，当直线垂直于轴时，显然部成立，设直线的方程为，，，，，

则，消去，整理得，

则，，

所以，

所以，

令，，

由在单调递增，

所以，

所以，当且仅当时，取“”，

所以面积的最大值．

2．已知动点在椭圆上，，为椭圆的左、右焦点．过点作轴的垂线，垂足为，点满足，且点的轨迹是过点的圆．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点，分别作平行直线和，设交椭圆于点，，交椭圆于点，，求四边形的面积的最大值．

解：（1）设点，，，

则点，，，，

，，，

点，在椭圆上，

，即为点的轨迹方程．

又点的轨迹是过的圆，

，解得，

所以椭圆的方程为．

（2）由题意，可设的方程为，

联立方程，得．

设，，，，

则△，且，

所以，

同理，

又与的距离为，

所以，四边形的面积为，

令，则，

且，

当且仅当，即时等号成立．

所以，四边形的面积最大值为．

3．已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一点到焦点距离的最小值与最大值之比为，过且垂直于长轴的椭圆的弦长为3．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线与椭圆相交的交点、与右焦点所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．

解：（1）到焦点的最大值和最小值分别为：，，

由题意可得，①

且垂直于长轴的椭圆的弦长为②，

又③，

由①②③可得，，，

所以椭圆的标准方程为：；

（2）由（1）可得左焦点，

假设存在这样的直线，由于直线的斜率不为0，设直线的方程为：，

设，，，，

联立整理可得：，

可得：，，

所以，

令，

可得：，所以，时单调递减，所以时，最大为，

所以的最大值为：，

所以，

设的内切圆的半径为，

因为的周长为，

，

所以，的最大值为，这时内切圆的半径最大．且，

即存在这样的内切圆的面积的最大值为．

4．如图所示，、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点，当点在椭圆的上顶点时，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线与椭圆的另一交点为，过作直线的垂线，与圆交于、两点，求四边形面积的最大值．

解：（1）由题意设，则由余弦定理可得：①，

，，②，

由①②得，，于是，

椭圆的标准方程是：；

（2）当直线的斜率不存在时，，，

则四边形的面积是，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，、，，

将与联立并消去，

整理得，△恒成立，

则，，

则，

由于直线与直线垂直，且经过点，直线的方程为，

点到直线的距离为，

，

则四边形的面积：，

由于，，

于是（当时取得最大值），

综上可知，四边形面积的最大值为．

5．已知椭圆的左、右焦点分别是，和，，点在椭圆上，且△的周长是．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知、、为椭圆上三点，若有，求的面积．

解：（1）因为△的周长是，且，

所以，所以，解得，

又，所以，

故椭圆的方程为；

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

设，，，，，，

联立，可得，

则，又，所以，

又，

所以，

将点，代入椭圆方程，可得，

化简，可得，

又点到直线的距离为，

所以，

因为，则点为的重心，

所以；

当直线的斜率不存在时，根据坐标关系，

可得直线的方程为，此时，

因为点为的重心，

所以．

综上所述，的面积为．

6．设椭圆上的任意一点动点，上顶点为．

（1）当上顶点坐标为，离心率时，求的最大值；

（2）过点作圆的两条切线，切点分别为和，直线与轴和轴的交点分别为和，求面积的最小值．

解：（1）因为上顶点坐标为，离心率，

则，解得，

所以椭圆的方程为，

设，

则，

故当时，的最大值为；

（2）设，，，，，，

由题意可知斜率存在，且不为0，所以，

则直线和的方程分别为，，

因为点在和上，

所以有，，

则，两点的坐标满足方程，

所以直线的方程为，

可得和，

所以，

因为，，

所以，

故，当且仅当时取“”，

故面积的最小值为．