57.椭圆（面积最值问题2） 2022届高三数学一轮复习大题练

一轮复习大题专练57—椭圆（面积最值问题2）

1．已知椭圆上的点到焦点的最大距离为3，最小距离为1

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆右焦点，作直线与椭圆交于，两点，不为长轴顶点），过点，分别作直线的垂线，垂足依次为，，且直线，相交于点．

①证明：为定点；

②求面积的最大值．

（1）解：设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得，，

则，

故椭圆的标准方程为；

（2）①证明：由（1）可知，，

当直线斜率不存在时，直线的方程为，

所以，

解得，

所以直线，相交于点；

当直线的斜率存在且不为零时，设，，，，

则，，

直线的方程为，

联立方程，可得，

化简可得，

所以，

又直线的方程为，

直线的方程为，

当直线与相交时，联立作差可得，

，

解得且，

将代入，

化简可得

，

即直线与相交于点．

综上所述，为定点．

②当直线的斜率不存在时，可知；

当直线斜率存在且不为零时，由①可得，

．

综上所述，面积的最大值为．

2．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线斜率为0时，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求四边形面积的最小值．

解：（Ⅰ）由题意知，，则，

因为，所以，则，，

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，

由题意知；

②当两弦斜率均存在且不为0时，设，，，，

且设直线的方程为，

则直线的方程为．

将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得，

所以，

所以．

同理，．

所以

，

因为当且仅当时取等号，

所以．

综上可得四边形面积的最小值．

3．设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过原点的动直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线交于，两点，求面积的最大值．

解：（1）根据对称性知，与 互相平分，则四边形 为平行四边形，

则，又，结合椭圆定义知，

，故，

由离心率，故，

椭圆方程为．

（2）设，，，， 的直线方程为，

联立椭圆方程与直线方程，化简得，

则，

则 的面积为：

，

令，，

则上式，

函数 在时，单调递增，则上式在，即时取得最大值，

且最大值为．

4．已知椭圆的左焦点为，过的直线交椭圆于，两点，的中点坐标为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆相交于，两点，且在轴上有一点，当面积最大时，求实数的值．

解：（1）设，，，，可得，，

两式相减得，

将，代入上式，

即，①

因为直线过点，线段的中点，，

所以，

代入①得，，

又，即，

所以，，

所以椭圆的方程为．

（2）由直线的方程为，则到直线的距离，

由，整理得，

由判别式△，解得，

设，，，，

则，，

由弦长公式可得，

所以，

当且仅当时取等号，

即面积最大时，实数的值为．

5．已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于，两点，线段的中点是．

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点的直线与线段相交（不含端点）且交椭圆于，两点，求四边形面积的最大值．

解：（1）直线与轴交于点，

所以椭圆右焦点的坐标为，故，

因为线段的中点是，

设，，，，

则，且，

又，

作差可得，

则，得

又，，所以，，

因此椭圆的方程为．

（2）由（1）联立，解得或，

不妨令，易知直线的斜率存在，

设直线，代入，得，

解得或，

设，，，，则，

则，

因为到直线的距离分别是，

由于直线与线段（不含端点）相交，所以，即，

所以，

四边形的面积，

令，，则，

所以，

当，即时，，

因此四边形面积的最大值为．

6．已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为，且其离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，已知，是椭圆上的两点，且满足，求面积的最大值．

解：（1）由椭圆的定义得，，

又离心率，，则，

椭圆的标准方程为；

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

代入椭圆方程得，

设，，，，

则，，

由，得，

又，，，

，

即，

即，

或．

原点到直线的距离为，

当时，，

此时

．

当且仅当，即时等号成立．

当时，，

此时．

当直线的斜率不存在时，设，，，，

由，得，又，

解得，，

不妨取，，可得．

综上，面积的最大值为．