64.椭圆（探索性问题） 2022届高三数学一轮复习大题练

这是一份64.椭圆（探索性问题） 2022届高三数学一轮复习大题练，共8页。试卷主要包含了已知椭圆的离心率为，且过点等内容，欢迎下载使用。
一轮复习大题专练64—椭圆（探索性问题）1．已知椭圆的离心率为，长轴端点和短轴端点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上异于椭圆端点的任意一点，过点且平行于的直线与椭圆相交于，两点（点为坐标原点），是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为．（2）因为是椭圆上异于椭圆端点的任意一点，且，故直线的斜率存在，设过点的直线，设，，，，由，得，所以所以，所以，由联立直线与椭圆的方程，所以，所以，又因为，所以，所以，解得，所以存在实数，使得成立，且．2．已知椭圆的右焦点为，椭圆上的点到的距离的最大值和最小值分别为和．（1）求椭圆的标准方程；（2）若圆的切线与椭圆交于，两点，是否存在正数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意可得，，解得，，则，所以椭圆方程为；（2）假设存在正数，使得，、当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，可得，，因为，则有，解得，又直线为圆的切线，所以；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，，联立，可得，则△，所以，且，所以，因为，则，所以，整理可得，则，所以，因为直线为圆的切线，故原点到的距离为，所以存在正数，使得．3．已知椭圆的左、右顶点分别为、，离心率为，长轴长为4，动点在上且位于轴上方，直线，与直线分别交于，两点．（1）求的最小值；（2）当最小时，在椭圆上可以找出点使的面积为，试确定点的个数．解：（1）因为椭圆的离心率为，长轴长为4，则，解得，，所以，故椭圆的方程为，设直线的斜率为，则直线为，令，则，所以，设，，，，联立方程组，可得，所以，则，故，故点，因为点，所以，则直线的方程为，所以当时，，故，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为；（2）当时，则，因为，所以，设点到直线的距离为，因为的面积为，则，解得，则点为平行于且与距离为的直线与椭圆的交点，因为直线的方程为，设直线的方程为，故，解得，所以直线存在两种情况，联立方程组，可得，则△，当时，，所以时，直线与椭圆有两个交点；当时，，所以时，直线与椭圆有两个交点．综上所述，直线与椭圆有四个交点，即点有四个．4．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点（不同于点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否存在定值，使当变化时总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为椭圆的离心率为，则①，又过点，所以，解得，由①可得，所以椭圆的标准方程为；（2）由（1）可知，点，设，，，，联立方程组，可得，所以，所以，，因为，所以，整理可得，，所以，化简整理可得，，解得或，若，则过点，则，与点重合，不符合题意，所以，故存在定值，使当变化时总成立．5．在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，且其两个焦点与短轴顶点相连形成的四边形为正方形．过点，且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设的中点为，试判断是否存在实数，使得为定值．若存在，求出的值，并求出该定值；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意可知，，且，又因为，解得，所以椭圆的方程为；（2）存在实数，使得为定值．理由如下：因为是的中点，故，由题意可知，直线的斜率不为0，设的方程：，，，与椭圆的方程联立，，消去，整理得，设，，，，则，，因为，所以，，则，所以，若对任意，为定值，则或，因为，所以，此时，．存在实数，使得为定值，且定值为0．