70.抛物线4（面积最值问题1） 2022届高三数学一轮复习大题练

一轮复习大题专练70—抛物线4（面积最值问题1）

1．已知抛物线，过点的直线交抛物线于，，且为坐标原点）．

（1）求抛物线的方程；

（2）过作与直线垂直的直线交抛物线于、，求四边形面积的最小值．

1．解：（1）设直线为，，，，，

联立方程，消去得：，

，，

，

由得：，

，解得，

抛物线的方程为．

（2）由（1）得，，

，

，，

，

令，

则，

故当时，四边形面积有最小值．

2．已知抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，且的中点的纵坐标为2．

（1）求的方程；

（2）已知，，若在线段上，，是抛物线的两条切线，切点为，，求面积的最大值．

2．解：（1）设点，，，，则，．

直线的斜率为1，，

把、的坐标代入抛物线方程，可得，两式作差得，，

即，，即，得．

抛物线的方程为；

（2），，在线段上，，且．

设，，，，则切线，的斜率存在，

设直线的方程为，与抛物线联立，

可得．

，即，则，

切线的方程为，即；

同理可得切线的方程为．

又点在切线、上，，得直线的方程为，

即．

联立，得，

．

又点到直线的距离，

．

，，，则．

即面积的最大值为．

3．已知曲线上任意一点到点的距离与到直线距离之比为，在曲线上取、两点，使得线段的中点在圆上．

（1）求曲线的方程；

（2）若为坐标原点，求面积的最大值．

3．解：（1）设曲线上任一点，

则，

化简得的方程；

（2）当轴时，位于轴上，且，

由可得，

所以，

当不垂直轴时，设的方程为，与椭圆交于，，，，

由得，

所以，

从而，

由在圆上，可得，

因为，

设到直线的距离为，则，

所以，

故，当且仅当时，即时，等号成立，

所以，当且仅当时，等号成立，

故面积的最大值为2．

4．如图，已知抛物线，斜率为1的直线与抛物线交于两个不同的点，，过，分别作抛物线的切线，交于点．

（Ⅰ）求点的横坐标；

（Ⅱ）已知为抛物线的焦点，连接，，，记面积为，面积为，记面积为，求的最小值．

4．解：（Ⅰ）直线的斜率为1，故可设直线的方程为，

设，，，，，，

联立直线与抛物线的方程可得：

，化简可得，

由已知方程有两个不同的解，

方程判别式△，即，

，，

，，

切线的方程为，又，

切线的方程为，①

同理切线的方程为：，②

①②可得，

，

，，

点的横坐标为2．

（Ⅱ）直线的方程为，点的坐标为，，，

设点到直线的距离，点到直线的距离，

则，，

又，同理，

设点到直线的距离，

则，

又，，

，

，

设，则，，

设，则，

令可得，

当时，，当时时，，

，

的最小值为．

5．已知点，直线，的斜率之积为，设点的轨迹为曲线．

（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；

（Ⅱ）若抛物线与曲线交于点，，设，求面积最大时的值．

5．解：（Ⅰ）设，

因为直线，的斜率之积为，且点，

则，

化简可得，

故曲线的轨迹方程为；

（Ⅱ）不妨设抛物线和曲线在第一象限内的交点为，

则，

因为点满足，

所以，

令，

则，

令，解得，

当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

所以当时，取得最大值，此时，

故抛物线过点，

所以，解得．

6．已知抛物线，直线经过点，并与抛物线交于，两点．

（1）证明，在轴上存在一个定点，使得；

（2）若直线，分别交轴与，两点，设的面积为，的面积为，求的最小值．

6．（1）证明：设，，，，，直线的方程为，

联立方程组，整理得，可得，，

由，可得，即，

因为，可得，

整理得，即，

又因为，，所以，

当时，此时直线方程为，此时，关于轴对称，显然；

当时，解得，此时点，能使得，

综上可得，在轴上存在一点，使得．

（2）解：由，

又由，则，

又由直线的方程为，令，可得，

同理可得，所以，

两式相加可得，即，

当直线的斜率不存在时，此时，可得，且，

此时；

当直线的斜率存在时，此时，

则

，

又由，整理得，可得，

代入上式，可得，

所以，

令，可得，

令，则，所以，

又因为函数在上为单调递增函数，

所以，

综上可得，面积的最小值为．