江苏省江阴二中要塞中学等四校2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含答案）

江苏省江阴二中、要塞中学等四校2020-2021学年高二数学上学期期中试题

一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.命题的否定是(    )

A．        B．

C．          D．

2.现有这么一列数：1，，，，（），，，…，按照规律，（）中的数应为（    ）.

A．          B．           C．          D．

3.设等比数列的前项和为，若，则（    ）

A．        B．          C．        D．

4.设，则“”是“”的（     ）

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件   C．充要条件   D.既不充分也不必要条件

5.设等差数列的前项和为，若，则等于(   )

A．        B．            C．           D．

6.已知正数，满足，则的最小值是(    ).

A．18           B．16             C．8             D．10

7.过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（      ）

A．   B．   C．   D．

8.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为(     )

A．          B．

C．          D．

二．选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.设，则下列不等式中正确的是(　  　)

A．          B.           C.        D.

10. 下列四个函数中，最小值为的是(　 　 )

A．      B． 

C．                    D．

11.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项，若，，则下列说法正确的是（       ）

A． B．数列是等比数列

C． D．数列是公差为2的等差数列

12.等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是(      )

A． B．

C．当时最小 D．时的最小值为

三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.设，则函数的最大值为______．

14. 若关于的不等式的解集为，则     

15.我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则立冬的日影子长为________尺.

16.若数列满足，则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是________．

四.解答题：本大题共6题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）

17.已知，若是的充分条件，求实数的取值范围．

18.在等差数列中，已知．

(1)求数列的通项公式；

(2)若________，求数列的前项和．

在①，②这两个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19. 已知函数．

(1)解关于的不等式；

(2)当时,不等式在上恒成立,求实数的取值范围．

20. 椭圆的左焦点为，右焦点为，焦距为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8.

(1)求椭圆的方程；       (2)若轴，求的面积．

21.如图所示，为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，要求，的长度大于米，且比长米，为了稳固广告牌，要求越短越好，设，

（1）求关于的表达式；    （2）当为何值时，最短并求最短值.

22.设数列的前项和为,已知,,

(1)证明:为等比数列,求出的通项公式

(2)若,求的前项和

(3)在（2）的条件下判断是否存在正整数使得成立?若存在，求出所有值；若不存在说明理由.

2020-2021学年第一学期高二期中考试

数学学科答案

一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、  B           2、  D        3 、C       4 、A

5、  B　          6 、A         7、C       8、 D

二．选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9、ABC　     10、AD　

11.ABC        12、BD

三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13、        14、1    15、      16、100.

四.解答题：本大题共6题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）

17.（10分）已知p：A＝{x|x2－2x－3≤0}，q：B＝{x||x－m|>3}，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

解：由题意得A＝{x|－1≤x≤3 }，（2分）

B＝{x|x<m－3或x>m＋3 }（4分）

因为p是q的充分条件，所以A⊆B，（6分）

所以m－3>3或m＋3<－1，

解得m>6或m<－4，        （9分）

即实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(6，＋∞)．（10分）

18.（12分）在等差数列中，已知．

(1)求数列的通项公式；

(2)若________，求数列的前n项和．

在①，②这两个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【解析】(1)由题意得，，解得．(3分)

∴．(5分)

(2)选条件①：∵，（8分)

∴.(12分)

选条件②：∵，，

∴，(7分)

当n为偶数时，

；(9分)

当n为奇数时，n－1为偶数，

．（11分）

∴.(12分)

19、（12分）已知函数f(x)＝x2－(c＋1)x＋c(c∈R)．

(1)解关于x的不等式f(x)<0；

 (2)当时,不等式在上恒成立,求实数的取值范围．

【解析】(1)∵f(x)<0∴x2－(c＋1)x＋c＝(x－1)(x－c)<0,（2分）

①当c<1时,c<x<1,（3分）

②当c＝1时,(x－1)2<0,∴x∈⌀,（4分）

③当c>1时,1<x<c,（5分）

综上,当c<1时,不等式的解集为{c<x<1},

当c＝1时,不等式的解集为⌀,

当c>1时,不等式的解集为{1<x<c}．（6分）

(2)当c＝－2时,

化为

对一切x∈(0,2)恒成立,

（8分）

设                  ( 9分)     

          (11分 )

              (12分)

20、（12分）椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，焦距为2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.

(1)求椭圆E的方程；(2)若AB⊥x轴，求△ABF2的面积．

解：(1)由题意知，4a＝8，所以a＝2，（3分）

由焦距为2，所以c＝1，所以b2＝22－1＝3，（5分）

所以椭圆E的方程为＋＝1.（6分）

(2)设直线AB的方程为x＝-1，

由＋＝1，x＝-1，得y2＝，

解得y1＝，y2＝-，（10分）

所以S△ABF2＝c·|y1－y2|＝3（12分）

21、（12分）如图所示，为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，设BC＝x(x＞1)，AC＝t(t＞0)，

（1）求t关于x的表达式；（2）当BC为何值时，AC最短并求最短值.

解：（1）由题意得AB＝AC－0.5＝t－0.5，（2分）

在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 60°，即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx，（4分）

化简并整理得t＝(x＞1)，（6分）

（2）t＝x－1＋＋2≥2＋（10分）

，（11分）

此时t取最小值2＋.

答：当BC=米时 ，AC最短，最短值2＋米.（12分）

22.（12分）设数列的前n项和为,已知,,

(1)证明:为等比数列,求出的通项公式

(2)若,求的前n项和

(3)在（2）的条件下判断是否存在正整数n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在说明理由.

【答案】(1)∵

∴，因为，所以可推出．

故，即为等比数列．（2分）

∵，公比为2

∴，即，∵，当时，，也满足此式，∴；（4分）

(2) 因为，

∴，两式相减得:

即（8分）

(3)代入，得．所以，即（9分）

令，

∴为单调递减数列

又，

因为为单调递减数列，所以（11分）

所以不存在正整数n使得成立．（12分）