第二章 习题课　函数零点问题学案

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习题课　函数零点问题学习目标　结合函数图象利用导数研究函数的零点问题．一、利用导数研究函数的零点个数例1　给定函数f(x)＝ex－x.(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域；(2)画出函数f(x)的大致图象；(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1,2]上的根的个数．解　(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．当x＝0时，f(x)的极小值f(0)＝1，也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，＋∞)．(2)由(1)可知，函数的最小值为1.函数的图象经过特殊点f(－1)＝eq \f(1,e)＋1，f(2)＝e2－2，f(0)＝1，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞；当x→－∞时，指数函数y＝ex越来越小，趋向于0，因此函数f(x)图象上的点逐渐趋向于直线y＝－x，根据上述信息，画出函数f(x)的大致图象如图所示．(3)截取函数f(x)在区间[－1,2]上的图象如图所示．由图象知，当f(0)1，则f(e1－a)＝eq \f(1－e1－a,e1－a)0；当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3k),3)，\f(\r(3k),3)))时，f′(x)0.故f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3k),3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3k),3)，＋∞))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3k),3)，\f(\r(3k),3)))上单调递减．(2)由(1)知，当k≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，f(x)不可能有三个零点．当k>0时，x＝－eq \f(\r(3k),3)为f(x)的极大值点，x＝eq \f(\r(3k),3)为f(x)的极小值点．若f(x)有三个零点，只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k>0，,f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3k),3)))0，))解得0