第二章 再练一课(范围：§1～§6)学案

这是一份第二章 再练一课(范围：§1～§6)学案，共7页。
再练一课(范围：§1～§6)一、单项选择题1．函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为(　　)A．10  B．5  C．－1  D．－答案　D解析　∵f(x)＝x3＋4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4，∴f′(1)＝7，即切线的斜率为7，又f(1)＝10，故切点坐标为(1,10)，∴切线的方程为y－10＝7(x－1)，当y＝0时，x＝－，∴切线在x轴上的截距为－，故选D.2．函数y＝4x2＋的单调递增区间为(　　)A．(0，＋∞)   B.C．(－∞，－1)   D.答案　B解析　由y＝4x2＋，得y′＝8x－(x≠0)，令y′>0，即8x－>0，解得x>，∴函数y＝4x2＋的单调递增区间为.3．函数y＝xex的最小值是(　　)A．－1   B．－eC．－   D．不存在答案　C解析　因为y＝xex，所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.当x>－1时，y′>0；当x<－1时，y′<0，所以当x＝－1时，函数取得最小值，且ymin＝－.4．函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　)A．ln(2x＋5)－   B．ln(2x＋5)＋C．2xln(2x＋5)   D.答案　B解析　∵y＝xln(2x＋5)，∴y′＝ln(2x＋5)＋.5．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极大值答案　C解析　当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，显然f′(1)＝0，且在x＝1附近的左侧f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取得极小值．6．已知定义在上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且对于任意的x∈，都有f′(x)sin x<f(x)cos x，则(　　)A.f >f    B．f >f(1)C.f <f    D.f <f 答案　A解析　令g(x)＝，则g′(x)＝，由已知得g′(x)<0在上恒成立，∴g(x)在上单调递减，∴g>g，即>，∴f >f .二、多项选择题7.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)B．函数f(x)有极大值f(－2)C．函数f(x)有极小值f(2)D．函数f(x)有极小值f(－2)答案　BC解析　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．8．已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，则(　　)A．实数k＝－1B．函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)C．函数f(x)的单调递增区间为(0,1)D．函数f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)答案　CD解析　f′(x)＝(x>0)．又由题意知f′(1)＝＝0，所以k＝1.f′(x)＝(x>0)．设h(x)＝－ln x－1(x>0)，则h′(x)＝－－<0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减．由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0，所以f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，所以f′(x)<0.所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．三、填空题9．若函数为y＝sin4x－cos4x，则y′＝________.答案　2sin 2x解析　∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＝－cos 2x，∴y′＝(－cos 2x)′＝－(－sin 2x)·(2x)′＝2sin 2x.10．已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，则实数a的值为________．答案　解析　因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，所以f′(1)＝2a－2，所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解得a＝.11．已知g(x)＝＋x2＋2aln x在[1,2]上单调递减，则实数a的取值范围为________．答案　解析　g′(x)＝－＋2x＋，由已知得g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，可得a≤－x2在[1,2]上恒成立．又当x∈[1,2]时，min＝－4＝－.∴a≤－.12．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，f(x)的导数f′(x)<，则不等式f(x2)<＋的解集为____________．答案　{x|x<－1或x>1}解析　设F(x)＝f(x)－x，∴F′(x)＝f′(x)－，∵f′(x)<，∴F′(x)＝f′(x)－<0，即函数F(x)在R上单调递减．∵f(x2)<＋，∴f(x2)－<f(1)－，∴F(x2)<F(1)，而函数F(x)在R上单调递减，∴x2>1，即不等式的解集为{x|x<－1或x>1}．四、解答题13．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值．解　f′(x)＝1－＝，①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a，当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．14．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．解　(1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，即a>－有解．设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可．而G(x)＝2－1，所以G(x)min＝－1.所以a>－1.又因为a≠0，所以a的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，所以当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立．由(1)知G(x)＝－，所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1，因为x∈[1,4]，所以∈，所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－，又因为a≠0，所以a的取值范围是∪(0，＋∞)．15．已知函数f(x)＝(a>0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．解　(1)f′(x)＝＝.令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因为ex>0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)的符号相同．又因为a>0，所以当－3<x<0时，g(x)>0，即f′(x)>0，当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝.因为f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，而f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)，所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.