初中数学浙教版九年级下册1.1 锐角三角函数巩固练习

2021-2022学年浙教版数学九下1.1 锐角三角函数同步练习

一、单选题

1．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，tan∠DAC＝ ，DH⊥AB于H，则点D到AB边距离等于（　　） 

A．4 B．5 C． D．

2．在Rt中，，则的值为（　　）

A． B． C． D．

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，则sinA的值为（　　）

A． B． C． D．

4．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知的顶点位于正方形网格的格点上，且，则满足条件的是（　　）

A． B．

C． D．

5．计算的值等于（　　）

A． B．1 C．3 D．

6．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝（　　）

A． B． C． D．

7．在中，∠，，则的值为（　　）

A． B． C． D．

8．点关于y轴对称的点的坐标是（　　）

A． B． C． D．

9．在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值为（　　）

A． B． C．2 D．

10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则sinA的值是（　　）

A． B． C． D．1

11．如图，已知 是 的外接圆， 是 的直径，连结 .若 ， ，则 的值为（　　） 

A． B． C． D．

12．Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，cosA=，则AC的长为（　　）

A． B． C． D．5

二、填空题

13．计算： × ﹣sin45°＝　     　. 

14．如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一点，CD⊥AB于点D，若AB=10，CD=4，则sin∠BCD的值为　     　．

15．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将 绕着点A逆时针旋转得到 ，则tan ′的值为　     　． 

16．在中，，，则　     　．

17．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是　     　

18．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为　     　．

19．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为　     　.

三、综合题

20．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．

（1）以点O为位似中心，在点O的异侧将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，请画出△OA1B1．

（2）按照（1）的变换后，cos∠OA1B1＝　     　．

（3）设点P（a，b）为△OAB内部一点，按照（1）的变换后，点P在△OA1B1内部的对应点P1的坐标为　            　．

21．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝．

（1）求BC；

（2）求sinA．

22．如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．

（1）求证：∠BAE=∠DAF；

（2）已知AE=4，AF=6，tan∠BAE=，求CF的长．

23．如图，第一象限内的点A、B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且tan∠ACB=

求：

（1）反比例函数的解析式；

（2）点C的坐标；

（3）sin∠ABC的值.

24．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象经过A，B，C三点.

（1）求A，C两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值.

25．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D，连结BD交AC于点F.

（1）求证：BD＝CD.

（2）若∠BAC＝60°，BC＝3，当AF将△ABD的面积分为1：2两部分时，求△ADF与△BCF的面积比值.

（3）将C点关于AD的对称点记为点C'，当BC'＝ BD时，写出AD与半径r的数量关系，并说明理由.

26．如图1，四边形 内接于 ， 为直径， 上存在点E，满足 ，连结 并延长交 的延长线于点F， 与 交于点G.

（1）若 ，请用含 的代数式表列 .

（2）如图2，连结 .求证； .

（3）如图3，在（2）的条件下，连结 ， .

①若 ，求 的周长.

②求 的最小值.

27．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2 ，tan∠CAB＝ ，P为AC上一点，PD⊥AB交AB于点E，AD⊥AC交PD于点D，连结BD，CD，CD交AB于点Q. 

（1）若CD⊥BC，求证：△AED∽△QCB；

（2）若AB平分∠CBD，求BQ的长；

（3）连结PQ并延长交BD于点M.当PM平行于四边形ADBC中的某一边时，直接写出 的值. 

答案

1．C

2．D

3．D

4．B

5．C

6．B

7．C

8．C

9．A

10．A

11．B

12．B

13．

14．

15．

16．30°

17．2

18．4

19．

20．（1）解：以点O为位似中心，在点O的异侧将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，

∵A、B两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．

∴A1、B1两点的坐标分别为（-3×2， 1×2）、（-2×2，-1×2）．即（-6，2），（-4，-2），

在平面直角坐标系中描点A1（-6，2），B1（-4，-2），

顺次连结OA1，A1B1，B1O，

∴△OA1B1为所求位似图形；

（2）

（3）（-2a,-2b）

21．（1）解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝．

，

（2）解：sinA=．

22．（1）证明：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠B=∠D，AB=CD，

∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，

∴∠AEB=90°，∠AFD=90°

∴∠B+∠BAE=90°，∠DAF+∠D=90°

∴∠BAE=∠DAF；

（2）解：∵tan∠BAE，AE=4，

∴BE=3，

∴在△ABE中，，

∴

∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，∠AEB=∠AFD=90°，∠BAE=∠DAF，

∴△ABE∽△ADF

∴，

∴，

∴FC==．

23．（1）解：设所求的函数解析式为：(k≠0），将点A的坐标为（2，4） 代入得k=8，所以所求的反比例函数的解析式为：;

（2）解:过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，

又∵tan∠ACB=，

∴AF=3，

∴EF=AE-AF=4-3=1，

∴点C的坐标为（0，1）；

（3）解：∵点C的坐标为（0，1），BC∥x轴，

∴点B的纵坐标为1，

∵ 当y=1时，在由1=可得x=8，

∴点B的坐标为（8，1），

∴BF=BC﹣CF=6，

∴AB=，

∴sin∠ABC=.

24．（1）解：∵B的坐标为（﹣2，0），

∴OB＝2，

∴OA＝OC＝4OB＝8，

故点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）；

（2）解：由（1）知，抛物线的表达式可写为：y＝a（x+2）（x﹣8）＝a（x2﹣6x﹣16），

把C（0，﹣8）代入得：﹣16a＝﹣8，

解得：a＝，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣8；

（3）解：∵直线CA过点C，

∴设其函数表达式为：y＝kx﹣8，

将点A坐标代入上式并解得：k＝1，

故直线CA的表达式为：y＝x﹣8，

过点P作y轴的平行线交AC于点H，

∵OA＝OC＝8，

∴∠OAC＝∠OCA＝45°，

∵PH∥y轴，

∴∠PHD＝∠OCA＝45°，

设点P（a，a2﹣3a﹣8），则点H（a，a﹣8），

∴PD＝HPsin∠PHD＝（a﹣8﹣a2+3a+8）＝= ，

∴当a＝4时，其最大值为4，此时点P（4，﹣12）.

25．（1）证明：∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，

∴∠EAD=∠CAD，

∵∠CAD=∠CBD，

∴∠EAD=∠CBD，

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠EAD=∠BCD，

∴∠CBD=∠BCD，

∴BD＝CD；

（2）解：∵∠BAC＝60°，

∴∠BDC=60°，

∵BD＝CD，

∴ 是等边三角形，

∴BD=BC＝3，

∵AF将△ABD的面积分为1：2两部分，

∴BF=2，DF=1或BF=1，DF=2，

当BF=2，DF=1时，过点C作CM⊥BD，则BM=1.5，MF=0.5，CM= ，

∴CF= ，

∵∠ADF=∠BCF，∠AFD=∠BFC，

∴ ，

∴△ADF与△BCF的面积比值= ，

当BF=1，DF=2时，如图，

同理可得：CN= ，NF=0.5，CF= ，

∴△ADF与△BCF的面积比值= ，

综上所述：△ADF与△BCF的面积比值为 或 ；

（3）解：∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，C点关于AD的对称点记为点C'，

∴点C'在AE的延长线上，连接C'D，过点D作DM⊥B C'，连接AO，DO，如图所示，

∴BD=CD=C'D，BM= BC'，

∵BC'＝ BD，

∴BM= BD，即：cos∠ABD= ，

∴∠ABD=30°，

∴∠AOD=60°，

∴ 是等边三角形，

∴AD=AO=r.

26．（1）解：∵ 为 的直径，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ .

（2）证明：∵ 为 的直径，

∴ ，∠BAD=90°，

∴ ，∠ABE=∠DBC

∵∠AGB=90°-∠ABE，∠BDC=90°-∠DBC
∴ ，

∵ ，

∴ .

又∵ ，

∴ ，

∴ ；

（3）解：①如图，连结 .

∵ 为 的直径，

∴ .

在 中， ， ，

∴ .

∵ ，

∴ ，

即 ，

∴ .

∵ ，

∴ .

∵在 中， ，

∴ ，

∴ .

∵在 中， ，

∴ .

在 中， ，

∴ ，

∴ 的周长为 .

②如图，过点C作 于H.

∵ ，

∴ .

∵ ，

∴ .

∴ ，

∵ ，

∴ .

∵ ，

∴ .

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ .

设 ，

∴ ，

∴ .

在 中， ，

∴ ，

当 时， 的最小值为3，

∴ 的最小值为 .

27．（1）证明：∵ ， 

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

（2）解：如图，过点 作 于 ， 

∵ ，

∴设 ，则 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ 平分 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

（3）解： 或 .