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浙江省湖州市吴兴区2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份浙江省湖州市吴兴区2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列四个数学符号中，是轴对称图形的是（ ）
A．≌B．⊥C．≠D．≥
2．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3，5，8B．3，3，6C．10，8，7D．1，2，4
3．（3分）在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，﹣3）向下平移3个单位，所得点的坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣6）
4．（3分）将不等式组x＞1x≥2的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．边长相等的两个等边三角形全等
B．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
C．周长相等的两个三角形全等
D．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等
6．（3分）已知点A（1，y1）和点B（2，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上，且y1＜y2，则k的值可能是（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，BD平分∠ABC交AC于点D，则∠CDB等于（ ）
A．65°B．70°C．75°D．85°
8．（3分）若一次函数y＝kx+b（k，b都是常数）的图象经过第一、二、三象限，则一次函数y＝bx﹣k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点G，连接AG．若△AFG的周长为9，则BC的长为（ ）
A．6B．112C．5D．92
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标（6，0），B点坐标（3，﹣3），动点P从A点出发，沿x轴正方向运动，连接BP，以BP为直角边向下作等腰直角三角形BPC，∠PBC＝90°，连接OC，当OC＝10时，点P的坐标为（ ）
A．（7，0）B．（8，0）C．（9，0）D．（10，0）
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）不等式2x＞8的解集是 ．
12．（4分）若点P（2，3）关于y轴的对称点是点P'（﹣2，a），则a＝ ．
13．（4分）如图，∠1＝∠2，要使△ABC≌△BAD，还需添加一个条件是 .（只需写出一种情况）
14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2的图象分别交x轴、y轴于点A和点B．若点C的坐标为（﹣1，m），且△AOC是等腰三角形，则m＝ ．
15．（4分）习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．小张在数学活动课上用正方形纸片制作成图1的“七巧板”，设计拼成了图2的水杉树树冠．如果已知图1中正方形纸片的边长为2cm，则图2中水杉树树冠的高（即点A到线段BC的距离）是 cm．
16．（4分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，AG是底边BC上的高．在AG的延长线上有一个动点D，连接CD，作∠CDE＝150°，交AB的延长线于点E，∠CDE的角平分线交AB边于点F，则在点D运动的过程中，线段EF的最小值为 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）解下列不等式组，并把解集表示在数轴上．
2x−1≤x+12(1−x)＜3x+7．
18．（6分）已知y是关于x的一次函数，且当x＝﹣4时，y＝1；当x＝2时，y＝﹣2．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）当y＝﹣3时，求自变量x的值．
19．（6分）如图，∠ABD＝∠CBE，BA＝BD，BC＝BE，且点C恰好落在DE边上．
（1）求证：△ABC≌△DBE；
（2）若∠ACB＝70°，求∠CBE的度数．
20．（8分）在由边长为1的小正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系．已知格点△ABC（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）如图．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）在y轴上有一个动点P，直接写出PB+PC的最小值．
21．（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线，已知∠BAC＝100°．
（1）若∠DAE＝20°，求∠C的度数；
（2）设∠DAE＝α（0°＜α＜40°），用含有α的代数式表示∠C的大小．
22．（10分）依靠国家强有力的政策引导和全国人民的共同努力，我国的新冠疫情态势得到了有效控制．但当前疫情发展形势依旧严峻，常态化防控工作仍然不能松懈．为了打赢这场没有硝烟的战争，某公司积极响应国家号召，采购了口罩、防护服、消毒剂等医疗物资若干箱，进行物资援助．该公司计划租用某货运公司的A、B型两种货车共6辆完成物资运送，它们的载货量和租金如表：
设租用A型货车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含有x的式子填写下表：
（2）若保证租车费用不超过4550元，求x的最大值；
（3）若该公司援助防疫物资共200箱，设这批物资的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出最少运费为多少元？
23．（10分）图象对于探究函数性质有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探究．
画函数y1＝3|x|的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
在同一平面直角坐标系中，经历同样的过程画出函数y2＝3|x﹣2|的图象如图所示．
（1）观察发现：两个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形，且图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化．所以可以将函数y1的图象向右平移2个单位得到y2的图象，则此时函数y2的图象的最低点A的坐标为 ．
（2）探索思考：将函数y2＝3|x﹣2|的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数y3＝3|x﹣2|+2，请在网格图中画出函数y3的图象，并求出当x≥4时，函数y3的最小值．
（3）拓展应用：将函数y3的图象继续平移得到函数y4＝3|x﹣m|+2的图象，其最低点为点P．
①用m表示最低点P的坐标为 ；
②当﹣1≤x≤2时，函数y4有最小值为5，求此时m的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=43x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于C，且△ABC的面积为56．点D为线段AB的中点，点E为y轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DF．
（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；
（2）在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标；
（3）设点E的坐标为（0，m）；
①用m表示点F的坐标；
②在点E运动的过程中，若△DEF始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的m的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）下列四个数学符号中，是轴对称图形的是（ ）
A．≌B．⊥C．≠D．≥
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
2．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3，5，8B．3，3，6C．10，8，7D．1，2，4
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得，
A.3+5＝8，不能组成三角形，不符合题意；
B.3+3＝6，不能够组成三角形，不符合题意；
C.7+8＞10，能够组成三角形，符合题意；
D.1+2＜4，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，﹣3）向下平移3个单位，所得点的坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣6）
【分析】根据平移规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可得．
【解答】解：平移后点A的坐标为（﹣1，﹣3﹣3），即A（﹣1，﹣6），
故选：D．
4．（3分）将不等式组x＞1x≥2的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：不等式组x＞1x≥2的解集为x≥2，
在数轴上表示为：
故选：A．
5．（3分）下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．边长相等的两个等边三角形全等
B．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
C．周长相等的两个三角形全等
D．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等
【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定方法对A进行判断；根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定方法对B进行判断；根据全等三角形的判定方法对C进行判断；根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定方法对D进行判断．
【解答】解：A．边长相等的两个等边三角形全等为真命题，所以A选项不符合题意；
B．斜边相等的两个等腰直角三角形全等为真命题，所以B选项不符合题意；
C．周长相等的两个三角形不一定全等，所以周长相等的两个三角形全等为假命题，所以C选项符合题意；
D．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等为真命题，所以D选项不符合题意．
故选：C．
6．（3分）已知点A（1，y1）和点B（2，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上，且y1＜y2，则k的值可能是（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
【分析】由1＜2且y1＜y2，可得出y随x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k＞0，再对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵点A（1，y1）和点B（2，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上，1＜2，且y1＜y2，
∴y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k的值可能是2．
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，BD平分∠ABC交AC于点D，则∠CDB等于（ ）
A．65°B．70°C．75°D．85°
【分析】利用等腰三角形的性质求出∠ABC，再利用角平分线的定义求出∠CBD，可得结论．
【解答】解：∵AC＝AB，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=12∠ABC＝35°，
∴∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣70°﹣35°＝75°，
故选：C．
8．（3分）若一次函数y＝kx+b（k，b都是常数）的图象经过第一、二、三象限，则一次函数y＝bx﹣k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数y＝kx+b（k，b都是常数）的图象经过第一、二、三象限和一次函数的性质可以得到k、b的正负情况，从而可以得到一次函数y＝bx﹣k的图象经过哪几个象限．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k，b都是常数）的图象经过第一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，
∴一次函数y＝bx﹣k的图象经过第一、三、四象限，
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点G，连接AG．若△AFG的周长为9，则BC的长为（ ）
A．6B．112C．5D．92
【分析】由作图过程可得AF＝AG，ED是AB的垂直平分线，然后证明△AFG是等边三角形，进而可以解决问题．
【解答】解：由作图过程可知：AF＝AG，ED是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴AF＝BF＝AG，
∴△AFG是等边三角形，
∵∠ACB＝90°，
∴FC＝GC=12FG，
∵△AFG的周长为9，
∴FG＝3，
∴FC=12FG=32，
∴BC＝BF+FC＝3+32=92．
故选：D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标（6，0），B点坐标（3，﹣3），动点P从A点出发，沿x轴正方向运动，连接BP，以BP为直角边向下作等腰直角三角形BPC，∠PBC＝90°，连接OC，当OC＝10时，点P的坐标为（ ）
A．（7，0）B．（8，0）C．（9，0）D．（10，0）
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点B作BD⊥OA于点D，延长DB交CE于点F，证明△PDB≌△BFC（AAS），由全等三角形的性质得出DP＝BF，BD＝CF＝3，由勾股定理求出OE的长，则可得出答案．
【解答】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点B作BD⊥OA于点D，延长DB交CE于点F，
∵B（3，﹣3），A（6，0），
∴OD＝DA＝BD＝3，
∵△PBC为等腰直角三角形，
∴PB＝BC，∠PBC＝90°，
∵∠PBD+∠CBF＝90°，∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠PBD＝∠BCF，
∴△PDB≌△BFC（AAS），
∴DP＝BF，BD＝CF＝3，
∴CE＝EF+CF＝6，
∵OC＝10，
∴EO=OC2−CE2=102−62=8，
∴DF＝8，
∴BF＝5，
∴DP＝5，
∴OP＝DP+OD＝8，
∴P（8，0）．
故选：B．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）不等式2x＞8的解集是 x＞4 ．
【分析】不等式两边除以2即可得到解集．
【解答】解：不等式2x＞8，
解得：x＞4；
故答案为：x＞4．
12．（4分）若点P（2，3）关于y轴的对称点是点P'（﹣2，a），则a＝ 3 ．
【分析】直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出a的值．
【解答】解：点P（2，3）关于y轴的对称点是点P′（﹣2，a），
则a＝3．
故答案为：3．
13．（4分）如图，∠1＝∠2，要使△ABC≌△BAD，还需添加一个条件是 BC＝AD或∠C＝∠D或∠CAB＝∠DBA或∠CAD＝∠DBC .（只需写出一种情况）
【分析】由于∠1＝∠2，加上公共边AB，则根据全等三角形的判定方法可添加条件．
【解答】解：∵∠1＝∠2，AB＝BA，
∴当添加BC＝AD时，可根据“SAS”判断△ABC≌△BAD；
当添加∠C＝∠D时，可根据“AAS”判断△ABC≌△BAD；
当添加∠CAB＝∠DBA时，可根据“ASA”判断△ABC≌△BAD；
当添加∠CAD＝∠DBC时，则∠C＝∠D或∠CAB＝∠DBA，可根据“AAS”或“SAS”判断△ABC≌△BAD．
故答案为：BC＝AD或∠C＝∠D或∠CAB＝∠DBA或∠CAD＝∠DBC．
14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2的图象分别交x轴、y轴于点A和点B．若点C的坐标为（﹣1，m），且△AOC是等腰三角形，则m＝ 1或﹣1 ．
【分析】利用坐标轴上点的特点求出点A的坐标点A的坐标为（﹣1，0），可得AC⊥x轴，∠CAO＝90°，则△AOC是等腰直角三角形，分两种情况，即可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝2x+2的图象交x轴于点A，
y＝0时，0＝2x+2，
∴x＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
∵点C的坐标为（﹣1，m），
∴AC⊥x轴，∠CAO＝90°，OA＝1，
①点C在点A上方时，OA＝AC＝1，
∴点C的坐标为（﹣1，1），
∴m＝1，
②点C在点A下方时，OA＝AC＝1，
∴点C的坐标为（﹣1，﹣1），
∴m＝﹣1，
综上，m＝1或﹣1．
故答案为：1或﹣1．
15．（4分）习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．小张在数学活动课上用正方形纸片制作成图1的“七巧板”，设计拼成了图2的水杉树树冠．如果已知图1中正方形纸片的边长为2cm，则图2中水杉树树冠的高（即点A到线段BC的距离）是 （2+1） cm．
【分析】过A作AE⊥MN于E，根据等腰直角三角形的性质得到AE=12MN＝1（cm），HF＝BF=22BE=2（cm），于是得到结论．
【解答】解：如图，过A作AE⊥MN于E，
∵MN＝BE＝2cm，
∴AE=12MN＝1（cm），HF＝BF=22BE=2（cm），
∴图2中水杉树树冠的高＝AH+EF＝（2+1）cm，
故答案为：（2+1）．
16．（4分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，AG是底边BC上的高．在AG的延长线上有一个动点D，连接CD，作∠CDE＝150°，交AB的延长线于点E，∠CDE的角平分线交AB边于点F，则在点D运动的过程中，线段EF的最小值为 2 ．
【分析】如过点D作DM⊥AB于E，作DN⊥AC于N．连接CF．先证明△MDE≌△NDC，推出ED＝CD，再证明△EDF≌△CDF，推出EF＝CF，当CF⊥AB时，CF最短，此时EF最短．在Rt△CAF中，∠BAC＝30°，即可计算出CF的值．
【解答】解：如图．过点D作DM⊥AB于E，作DN⊥AC于N．连接CF．
∵AB＝AC，AG是底边BC上的高，
∴AD∠BAC，
∴DM＝DN，
∵，∠BAC＝30°，DM⊥AB，作DN⊥AC，
∴∠MDN＝180°﹣30°＝150°，
∵∠CDE＝150°，
∴MDN＝∠CDE＝150，
∴∠MDE＝∠NDC，
∴△MDE≌△NDC（ASA），
∴ED＝CD，
∵DF是∠CDE的角平分线，
∴∠EDF＝∠CDF，
∵DF＝DF，
∴△EDF≌△CDF（SAS），
∴EF＝CF，
当CF⊥AB时，CF最短，此时EF最短．
在Rt△CAF中，∠BAC＝30°，
∴CF=12AC=12×4=2．
即线段EF的最小值为2．
故答案为：2．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）解下列不等式组，并把解集表示在数轴上．
2x−1≤x+12(1−x)＜3x+7．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：2x−1≤x+1①2(1−x)＜3x+7②，
由①得：x≤2，
由②得：x＞﹣1，
∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
数轴表示如图所示：
．
18．（6分）已知y是关于x的一次函数，且当x＝﹣4时，y＝1；当x＝2时，y＝﹣2．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）当y＝﹣3时，求自变量x的值．
【分析】（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0）．把x、y的值分别代入函数解析式，利用待定系数法即可求得k、b的值；
（2）把x＝﹣3代入函数解析式来求得相应的y的值；
【解答】（1）设y＝kx+b，将x＝﹣4，y＝1；x＝2，y＝﹣2代入，得：−4k+b=12k+b=−2，
得：k=−12b=−1，
∴一次函数的表达式为y=−12x−1；
（2）令y＝﹣3，则−3=−12x−1，
解得：x＝4，
∴自变量x的值为4．
19．（6分）如图，∠ABD＝∠CBE，BA＝BD，BC＝BE，且点C恰好落在DE边上．
（1）求证：△ABC≌△DBE；
（2）若∠ACB＝70°，求∠CBE的度数．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DBE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠E＝70°，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，
即∠ABC＝∠DBE，
在△ABC和△DBE中
AB=BD∠ABC=∠DBEBC=BE，
∴△ABC≌△DBE（SAS）；
（2）解：由（1）可知：△ABC≌△DBE
∴∠ACB＝∠E＝70°，
∵BC＝BE，
∴∠BCE＝∠E＝70°，
∴∠CBE＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
20．（8分）在由边长为1的小正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系．已知格点△ABC（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）如图．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）在y轴上有一个动点P，直接写出PB+PC的最小值．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）根据网格利用割补法即可求△A1B1C1的面积；
（3）BC1交y轴于点P即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
A1（5，2）、B1（2，1）、C1（3，4）；
（2）S＝4；
（3）PB+PC的最小值为5．
21．（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线，已知∠BAC＝100°．
（1）若∠DAE＝20°，求∠C的度数；
（2）设∠DAE＝α（0°＜α＜40°），用含有α的代数式表示∠C的大小．
【分析】（1）由题意可求得∠AED＝70°，再由角平分线的定义可得∠EAC＝50°，即可求∠C的度数；
（2）仿照（1）的解答过程进行求解即可．
【解答】解：（1）∵在Rt△ADE中，∠DAE＝20°，
∴∠AED＝90°﹣20°＝70°，
又∵∠BAC＝100°，AE是角平分线，
∴∠EAC＝50°，
∴∠C＝∠AED﹣∠EAC＝70°﹣50°＝20°；
（2）∵在Rt△ADE中，∠DAE＝α，
∴∠AED＝90°﹣α，
又∵∠BAC＝100°，AE是角平分线，
∴∠EAC＝50°，
∴∠C＝∠AED﹣∠EAC＝（90°﹣α）﹣50°＝40°﹣α．
22．（10分）依靠国家强有力的政策引导和全国人民的共同努力，我国的新冠疫情态势得到了有效控制．但当前疫情发展形势依旧严峻，常态化防控工作仍然不能松懈．为了打赢这场没有硝烟的战争，某公司积极响应国家号召，采购了口罩、防护服、消毒剂等医疗物资若干箱，进行物资援助．该公司计划租用某货运公司的A、B型两种货车共6辆完成物资运送，它们的载货量和租金如表：
设租用A型货车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含有x的式子填写下表：
（2）若保证租车费用不超过4550元，求x的最大值；
（3）若该公司援助防疫物资共200箱，设这批物资的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出最少运费为多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以将表格补充完整；
（2）根据题意，可以列出相应的不等式组，从而可以求得x的取值范围；
（3）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式，并求出最少运费．
【解答】解：（1）由题意可得，
故答案为：6﹣x，30（6﹣x），550（6﹣x）；
（2）由题意可知：800x+550（6﹣x）≤4550，
解得x≤5，
∴x的最大值是5；
（3）由题意可得，
y＝800x+550（6﹣x）＝250x+3300，
∴y随x的增大而增大，
∵45x+30（6﹣x）≥200，
解得x≥43，
又∵x为整数，
∴当x＝2时，y取得最小值，此时y＝3800，
答：y与x之间的函数关系式是y＝250x+3300，最少运费为3800元．
23．（10分）图象对于探究函数性质有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探究．
画函数y1＝3|x|的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
在同一平面直角坐标系中，经历同样的过程画出函数y2＝3|x﹣2|的图象如图所示．
（1）观察发现：两个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形，且图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化．所以可以将函数y1的图象向右平移2个单位得到y2的图象，则此时函数y2的图象的最低点A的坐标为 （2，0） ．
（2）探索思考：将函数y2＝3|x﹣2|的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数y3＝3|x﹣2|+2，请在网格图中画出函数y3的图象，并求出当x≥4时，函数y3的最小值．
（3）拓展应用：将函数y3的图象继续平移得到函数y4＝3|x﹣m|+2的图象，其最低点为点P．
①用m表示最低点P的坐标为 （m，2） ；
②当﹣1≤x≤2时，函数y4有最小值为5，求此时m的值．
【分析】（1）由图象可得A（2，0）；
（2）通过观察图象可得；
（3）①观察图象可知最低点P的坐标；②分三种情况讨论求得即可．
【解答】解：（1）由图象可得A（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）将函数y2＝3|x﹣2|的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数y3＝3|x﹣2|+2，如图：
当x≥4时，y3取到最小值，最小值为8；
（3）拓展应用：将函数y3的图象继续平移得到y4＝3|x﹣m|+2，其最低点为点P．
①最低点P的坐标为（m，2），
故答案为（m，2）；
②若m＜﹣1，
当x＝﹣1时，y4有最小值5，
∴3×|﹣1﹣m|+2＝5
∴m＝0（舍），或m＝﹣2
若﹣1≤m≤2，
当x＝m时，y4有最小值2，不符合题意，舍去．
若m＞2，
当x＝2时，y4有最小值5，
∴3×|2﹣m|+2＝5
∴m＝1（舍），或m＝3
综上所述，m＝﹣2或m＝3．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=43x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于C，且△ABC的面积为56．点D为线段AB的中点，点E为y轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DF．
（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；
（2）在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标；
（3）设点E的坐标为（0，m）；
①用m表示点F的坐标；
②在点E运动的过程中，若△DEF始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的m的取值范围．
【分析】（1）分别求出B、A的坐标，利用三角形面积可求C点坐标，再由待定系数法求直线BC的解析式即可；
（2）由三角形面积求出DE的长，再由两点间距离公式求E点坐标即可；
（3）①通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质，求F点坐标即可；
②分别讨论F点在△ABC边界处时m的值，即可确定m的范围．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝8，
∴B（0，8），
令y＝0，则x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点D为线段AB的中点，
∴D（﹣3，4），
∵△ABC的面积为56，
∴12×8×AC＝56，
∴AC＝14，
∴C（8，0），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，
∴b=88k+b=0，
∴k=−1b=8，
∴y＝﹣x+8；
（2）设E（0，y），
∵线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，
∴DE＝EF，∠DEF＝90°，
∵△DEF的面积为5，
∴12DE2＝5，
∴DE=10，
∴10=9+(y−4)2，
∴y＝3或y＝5，
∴E（0，3）或E（0，5）；
（3）①如图1，过点E作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH交于点G，过点F作FH⊥GH交于点H，
∵∠GED+∠HEF＝90°，∠GED+∠GDE＝90°，
∴∠GDE＝∠HEF，
∵DE＝EF，
∴△GDE≌△HEF（AAS），
∴GE＝HF，GD＝EH，
∴HF＝3，DG＝m﹣4＝EH，
∴F点纵坐标m﹣3，横纵标m﹣4，
∴F（m﹣4，m﹣3）；
②如图2，当F点在x轴上时，DE⊥y轴，
此时m﹣3＝0，
∴m＝3；
当F在直线BC上时，
此时m﹣3＝﹣（m﹣4）+8，
∴m=152；
∴3≤m≤152时，△DEF始终在△ABC的内部（包括边界）．
A
B
载货量（箱/辆）
45
30
租金（元/辆）
800
550
车辆数（辆）
载货量（箱）
租金（元）
A
x
45x
800x
B
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y1＝3|x|
…
9
6
3
0
3
6
9
…
A
B
载货量（箱/辆）
45
30
租金（元/辆）
800
550
车辆数（辆）
载货量（箱）
租金（元）
A
x
45x
800x
B
6﹣x
30（6﹣x）
550（6﹣x）
车辆数（辆）
载货量（箱）
租金（元）
A
x
45x
800x
B
6﹣x
30（6﹣x）
550（6﹣x）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y1＝3|x|
…
9
6
3
0
3
6
9
…
1．（3分）下列四个数学符号中，是轴对称图形的是（ ）
A．≌B．⊥C．≠D．≥
2．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3，5，8B．3，3，6C．10，8，7D．1，2，4
3．（3分）在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，﹣3）向下平移3个单位，所得点的坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣6）
4．（3分）将不等式组x＞1x≥2的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．边长相等的两个等边三角形全等
B．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
C．周长相等的两个三角形全等
D．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等
6．（3分）已知点A（1，y1）和点B（2，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上，且y1＜y2，则k的值可能是（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，BD平分∠ABC交AC于点D，则∠CDB等于（ ）
A．65°B．70°C．75°D．85°
8．（3分）若一次函数y＝kx+b（k，b都是常数）的图象经过第一、二、三象限，则一次函数y＝bx﹣k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点G，连接AG．若△AFG的周长为9，则BC的长为（ ）
A．6B．112C．5D．92
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标（6，0），B点坐标（3，﹣3），动点P从A点出发，沿x轴正方向运动，连接BP，以BP为直角边向下作等腰直角三角形BPC，∠PBC＝90°，连接OC，当OC＝10时，点P的坐标为（ ）
A．（7，0）B．（8，0）C．（9，0）D．（10，0）
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）不等式2x＞8的解集是 ．
12．（4分）若点P（2，3）关于y轴的对称点是点P'（﹣2，a），则a＝ ．
13．（4分）如图，∠1＝∠2，要使△ABC≌△BAD，还需添加一个条件是 .（只需写出一种情况）
14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2的图象分别交x轴、y轴于点A和点B．若点C的坐标为（﹣1，m），且△AOC是等腰三角形，则m＝ ．
15．（4分）习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．小张在数学活动课上用正方形纸片制作成图1的“七巧板”，设计拼成了图2的水杉树树冠．如果已知图1中正方形纸片的边长为2cm，则图2中水杉树树冠的高（即点A到线段BC的距离）是 cm．
16．（4分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，AG是底边BC上的高．在AG的延长线上有一个动点D，连接CD，作∠CDE＝150°，交AB的延长线于点E，∠CDE的角平分线交AB边于点F，则在点D运动的过程中，线段EF的最小值为 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）解下列不等式组，并把解集表示在数轴上．
2x−1≤x+12(1−x)＜3x+7．
18．（6分）已知y是关于x的一次函数，且当x＝﹣4时，y＝1；当x＝2时，y＝﹣2．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）当y＝﹣3时，求自变量x的值．
19．（6分）如图，∠ABD＝∠CBE，BA＝BD，BC＝BE，且点C恰好落在DE边上．
（1）求证：△ABC≌△DBE；
（2）若∠ACB＝70°，求∠CBE的度数．
20．（8分）在由边长为1的小正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系．已知格点△ABC（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）如图．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）在y轴上有一个动点P，直接写出PB+PC的最小值．
21．（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线，已知∠BAC＝100°．
（1）若∠DAE＝20°，求∠C的度数；
（2）设∠DAE＝α（0°＜α＜40°），用含有α的代数式表示∠C的大小．
22．（10分）依靠国家强有力的政策引导和全国人民的共同努力，我国的新冠疫情态势得到了有效控制．但当前疫情发展形势依旧严峻，常态化防控工作仍然不能松懈．为了打赢这场没有硝烟的战争，某公司积极响应国家号召，采购了口罩、防护服、消毒剂等医疗物资若干箱，进行物资援助．该公司计划租用某货运公司的A、B型两种货车共6辆完成物资运送，它们的载货量和租金如表：
设租用A型货车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含有x的式子填写下表：
（2）若保证租车费用不超过4550元，求x的最大值；
（3）若该公司援助防疫物资共200箱，设这批物资的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出最少运费为多少元？
23．（10分）图象对于探究函数性质有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探究．
画函数y1＝3|x|的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
在同一平面直角坐标系中，经历同样的过程画出函数y2＝3|x﹣2|的图象如图所示．
（1）观察发现：两个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形，且图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化．所以可以将函数y1的图象向右平移2个单位得到y2的图象，则此时函数y2的图象的最低点A的坐标为 ．
（2）探索思考：将函数y2＝3|x﹣2|的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数y3＝3|x﹣2|+2，请在网格图中画出函数y3的图象，并求出当x≥4时，函数y3的最小值．
（3）拓展应用：将函数y3的图象继续平移得到函数y4＝3|x﹣m|+2的图象，其最低点为点P．
①用m表示最低点P的坐标为 ；
②当﹣1≤x≤2时，函数y4有最小值为5，求此时m的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=43x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于C，且△ABC的面积为56．点D为线段AB的中点，点E为y轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DF．
（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；
（2）在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标；
（3）设点E的坐标为（0，m）；
①用m表示点F的坐标；
②在点E运动的过程中，若△DEF始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的m的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）下列四个数学符号中，是轴对称图形的是（ ）
A．≌B．⊥C．≠D．≥
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
2．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3，5，8B．3，3，6C．10，8，7D．1，2，4
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得，
A.3+5＝8，不能组成三角形，不符合题意；
B.3+3＝6，不能够组成三角形，不符合题意；
C.7+8＞10，能够组成三角形，符合题意；
D.1+2＜4，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，﹣3）向下平移3个单位，所得点的坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣6）
【分析】根据平移规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可得．
【解答】解：平移后点A的坐标为（﹣1，﹣3﹣3），即A（﹣1，﹣6），
故选：D．
4．（3分）将不等式组x＞1x≥2的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：不等式组x＞1x≥2的解集为x≥2，
在数轴上表示为：
故选：A．
5．（3分）下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．边长相等的两个等边三角形全等
B．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
C．周长相等的两个三角形全等
D．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等
【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定方法对A进行判断；根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定方法对B进行判断；根据全等三角形的判定方法对C进行判断；根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定方法对D进行判断．
【解答】解：A．边长相等的两个等边三角形全等为真命题，所以A选项不符合题意；
B．斜边相等的两个等腰直角三角形全等为真命题，所以B选项不符合题意；
C．周长相等的两个三角形不一定全等，所以周长相等的两个三角形全等为假命题，所以C选项符合题意；
D．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等为真命题，所以D选项不符合题意．
故选：C．
6．（3分）已知点A（1，y1）和点B（2，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上，且y1＜y2，则k的值可能是（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
【分析】由1＜2且y1＜y2，可得出y随x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k＞0，再对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵点A（1，y1）和点B（2，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上，1＜2，且y1＜y2，
∴y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k的值可能是2．
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，BD平分∠ABC交AC于点D，则∠CDB等于（ ）
A．65°B．70°C．75°D．85°
【分析】利用等腰三角形的性质求出∠ABC，再利用角平分线的定义求出∠CBD，可得结论．
【解答】解：∵AC＝AB，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=12∠ABC＝35°，
∴∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣70°﹣35°＝75°，
故选：C．
8．（3分）若一次函数y＝kx+b（k，b都是常数）的图象经过第一、二、三象限，则一次函数y＝bx﹣k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数y＝kx+b（k，b都是常数）的图象经过第一、二、三象限和一次函数的性质可以得到k、b的正负情况，从而可以得到一次函数y＝bx﹣k的图象经过哪几个象限．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k，b都是常数）的图象经过第一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，
∴一次函数y＝bx﹣k的图象经过第一、三、四象限，
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点G，连接AG．若△AFG的周长为9，则BC的长为（ ）
A．6B．112C．5D．92
【分析】由作图过程可得AF＝AG，ED是AB的垂直平分线，然后证明△AFG是等边三角形，进而可以解决问题．
【解答】解：由作图过程可知：AF＝AG，ED是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴AF＝BF＝AG，
∴△AFG是等边三角形，
∵∠ACB＝90°，
∴FC＝GC=12FG，
∵△AFG的周长为9，
∴FG＝3，
∴FC=12FG=32，
∴BC＝BF+FC＝3+32=92．
故选：D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标（6，0），B点坐标（3，﹣3），动点P从A点出发，沿x轴正方向运动，连接BP，以BP为直角边向下作等腰直角三角形BPC，∠PBC＝90°，连接OC，当OC＝10时，点P的坐标为（ ）
A．（7，0）B．（8，0）C．（9，0）D．（10，0）
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点B作BD⊥OA于点D，延长DB交CE于点F，证明△PDB≌△BFC（AAS），由全等三角形的性质得出DP＝BF，BD＝CF＝3，由勾股定理求出OE的长，则可得出答案．
【解答】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点B作BD⊥OA于点D，延长DB交CE于点F，
∵B（3，﹣3），A（6，0），
∴OD＝DA＝BD＝3，
∵△PBC为等腰直角三角形，
∴PB＝BC，∠PBC＝90°，
∵∠PBD+∠CBF＝90°，∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠PBD＝∠BCF，
∴△PDB≌△BFC（AAS），
∴DP＝BF，BD＝CF＝3，
∴CE＝EF+CF＝6，
∵OC＝10，
∴EO=OC2−CE2=102−62=8，
∴DF＝8，
∴BF＝5，
∴DP＝5，
∴OP＝DP+OD＝8，
∴P（8，0）．
故选：B．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）不等式2x＞8的解集是 x＞4 ．
【分析】不等式两边除以2即可得到解集．
【解答】解：不等式2x＞8，
解得：x＞4；
故答案为：x＞4．
12．（4分）若点P（2，3）关于y轴的对称点是点P'（﹣2，a），则a＝ 3 ．
【分析】直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出a的值．
【解答】解：点P（2，3）关于y轴的对称点是点P′（﹣2，a），
则a＝3．
故答案为：3．
13．（4分）如图，∠1＝∠2，要使△ABC≌△BAD，还需添加一个条件是 BC＝AD或∠C＝∠D或∠CAB＝∠DBA或∠CAD＝∠DBC .（只需写出一种情况）
【分析】由于∠1＝∠2，加上公共边AB，则根据全等三角形的判定方法可添加条件．
【解答】解：∵∠1＝∠2，AB＝BA，
∴当添加BC＝AD时，可根据“SAS”判断△ABC≌△BAD；
当添加∠C＝∠D时，可根据“AAS”判断△ABC≌△BAD；
当添加∠CAB＝∠DBA时，可根据“ASA”判断△ABC≌△BAD；
当添加∠CAD＝∠DBC时，则∠C＝∠D或∠CAB＝∠DBA，可根据“AAS”或“SAS”判断△ABC≌△BAD．
故答案为：BC＝AD或∠C＝∠D或∠CAB＝∠DBA或∠CAD＝∠DBC．
14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2的图象分别交x轴、y轴于点A和点B．若点C的坐标为（﹣1，m），且△AOC是等腰三角形，则m＝ 1或﹣1 ．
【分析】利用坐标轴上点的特点求出点A的坐标点A的坐标为（﹣1，0），可得AC⊥x轴，∠CAO＝90°，则△AOC是等腰直角三角形，分两种情况，即可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝2x+2的图象交x轴于点A，
y＝0时，0＝2x+2，
∴x＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
∵点C的坐标为（﹣1，m），
∴AC⊥x轴，∠CAO＝90°，OA＝1，
①点C在点A上方时，OA＝AC＝1，
∴点C的坐标为（﹣1，1），
∴m＝1，
②点C在点A下方时，OA＝AC＝1，
∴点C的坐标为（﹣1，﹣1），
∴m＝﹣1，
综上，m＝1或﹣1．
故答案为：1或﹣1．
15．（4分）习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．小张在数学活动课上用正方形纸片制作成图1的“七巧板”，设计拼成了图2的水杉树树冠．如果已知图1中正方形纸片的边长为2cm，则图2中水杉树树冠的高（即点A到线段BC的距离）是 （2+1） cm．
【分析】过A作AE⊥MN于E，根据等腰直角三角形的性质得到AE=12MN＝1（cm），HF＝BF=22BE=2（cm），于是得到结论．
【解答】解：如图，过A作AE⊥MN于E，
∵MN＝BE＝2cm，
∴AE=12MN＝1（cm），HF＝BF=22BE=2（cm），
∴图2中水杉树树冠的高＝AH+EF＝（2+1）cm，
故答案为：（2+1）．
16．（4分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，AG是底边BC上的高．在AG的延长线上有一个动点D，连接CD，作∠CDE＝150°，交AB的延长线于点E，∠CDE的角平分线交AB边于点F，则在点D运动的过程中，线段EF的最小值为 2 ．
【分析】如过点D作DM⊥AB于E，作DN⊥AC于N．连接CF．先证明△MDE≌△NDC，推出ED＝CD，再证明△EDF≌△CDF，推出EF＝CF，当CF⊥AB时，CF最短，此时EF最短．在Rt△CAF中，∠BAC＝30°，即可计算出CF的值．
【解答】解：如图．过点D作DM⊥AB于E，作DN⊥AC于N．连接CF．
∵AB＝AC，AG是底边BC上的高，
∴AD∠BAC，
∴DM＝DN，
∵，∠BAC＝30°，DM⊥AB，作DN⊥AC，
∴∠MDN＝180°﹣30°＝150°，
∵∠CDE＝150°，
∴MDN＝∠CDE＝150，
∴∠MDE＝∠NDC，
∴△MDE≌△NDC（ASA），
∴ED＝CD，
∵DF是∠CDE的角平分线，
∴∠EDF＝∠CDF，
∵DF＝DF，
∴△EDF≌△CDF（SAS），
∴EF＝CF，
当CF⊥AB时，CF最短，此时EF最短．
在Rt△CAF中，∠BAC＝30°，
∴CF=12AC=12×4=2．
即线段EF的最小值为2．
故答案为：2．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）解下列不等式组，并把解集表示在数轴上．
2x−1≤x+12(1−x)＜3x+7．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：2x−1≤x+1①2(1−x)＜3x+7②，
由①得：x≤2，
由②得：x＞﹣1，
∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
数轴表示如图所示：
．
18．（6分）已知y是关于x的一次函数，且当x＝﹣4时，y＝1；当x＝2时，y＝﹣2．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）当y＝﹣3时，求自变量x的值．
【分析】（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0）．把x、y的值分别代入函数解析式，利用待定系数法即可求得k、b的值；
（2）把x＝﹣3代入函数解析式来求得相应的y的值；
【解答】（1）设y＝kx+b，将x＝﹣4，y＝1；x＝2，y＝﹣2代入，得：−4k+b=12k+b=−2，
得：k=−12b=−1，
∴一次函数的表达式为y=−12x−1；
（2）令y＝﹣3，则−3=−12x−1，
解得：x＝4，
∴自变量x的值为4．
19．（6分）如图，∠ABD＝∠CBE，BA＝BD，BC＝BE，且点C恰好落在DE边上．
（1）求证：△ABC≌△DBE；
（2）若∠ACB＝70°，求∠CBE的度数．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DBE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠E＝70°，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，
即∠ABC＝∠DBE，
在△ABC和△DBE中
AB=BD∠ABC=∠DBEBC=BE，
∴△ABC≌△DBE（SAS）；
（2）解：由（1）可知：△ABC≌△DBE
∴∠ACB＝∠E＝70°，
∵BC＝BE，
∴∠BCE＝∠E＝70°，
∴∠CBE＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
20．（8分）在由边长为1的小正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系．已知格点△ABC（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）如图．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）在y轴上有一个动点P，直接写出PB+PC的最小值．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）根据网格利用割补法即可求△A1B1C1的面积；
（3）BC1交y轴于点P即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
A1（5，2）、B1（2，1）、C1（3，4）；
（2）S＝4；
（3）PB+PC的最小值为5．
21．（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线，已知∠BAC＝100°．
（1）若∠DAE＝20°，求∠C的度数；
（2）设∠DAE＝α（0°＜α＜40°），用含有α的代数式表示∠C的大小．
【分析】（1）由题意可求得∠AED＝70°，再由角平分线的定义可得∠EAC＝50°，即可求∠C的度数；
（2）仿照（1）的解答过程进行求解即可．
【解答】解：（1）∵在Rt△ADE中，∠DAE＝20°，
∴∠AED＝90°﹣20°＝70°，
又∵∠BAC＝100°，AE是角平分线，
∴∠EAC＝50°，
∴∠C＝∠AED﹣∠EAC＝70°﹣50°＝20°；
（2）∵在Rt△ADE中，∠DAE＝α，
∴∠AED＝90°﹣α，
又∵∠BAC＝100°，AE是角平分线，
∴∠EAC＝50°，
∴∠C＝∠AED﹣∠EAC＝（90°﹣α）﹣50°＝40°﹣α．
22．（10分）依靠国家强有力的政策引导和全国人民的共同努力，我国的新冠疫情态势得到了有效控制．但当前疫情发展形势依旧严峻，常态化防控工作仍然不能松懈．为了打赢这场没有硝烟的战争，某公司积极响应国家号召，采购了口罩、防护服、消毒剂等医疗物资若干箱，进行物资援助．该公司计划租用某货运公司的A、B型两种货车共6辆完成物资运送，它们的载货量和租金如表：
设租用A型货车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含有x的式子填写下表：
（2）若保证租车费用不超过4550元，求x的最大值；
（3）若该公司援助防疫物资共200箱，设这批物资的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出最少运费为多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以将表格补充完整；
（2）根据题意，可以列出相应的不等式组，从而可以求得x的取值范围；
（3）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式，并求出最少运费．
【解答】解：（1）由题意可得，
故答案为：6﹣x，30（6﹣x），550（6﹣x）；
（2）由题意可知：800x+550（6﹣x）≤4550，
解得x≤5，
∴x的最大值是5；
（3）由题意可得，
y＝800x+550（6﹣x）＝250x+3300，
∴y随x的增大而增大，
∵45x+30（6﹣x）≥200，
解得x≥43，
又∵x为整数，
∴当x＝2时，y取得最小值，此时y＝3800，
答：y与x之间的函数关系式是y＝250x+3300，最少运费为3800元．
23．（10分）图象对于探究函数性质有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探究．
画函数y1＝3|x|的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
在同一平面直角坐标系中，经历同样的过程画出函数y2＝3|x﹣2|的图象如图所示．
（1）观察发现：两个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形，且图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化．所以可以将函数y1的图象向右平移2个单位得到y2的图象，则此时函数y2的图象的最低点A的坐标为 （2，0） ．
（2）探索思考：将函数y2＝3|x﹣2|的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数y3＝3|x﹣2|+2，请在网格图中画出函数y3的图象，并求出当x≥4时，函数y3的最小值．
（3）拓展应用：将函数y3的图象继续平移得到函数y4＝3|x﹣m|+2的图象，其最低点为点P．
①用m表示最低点P的坐标为 （m，2） ；
②当﹣1≤x≤2时，函数y4有最小值为5，求此时m的值．
【分析】（1）由图象可得A（2，0）；
（2）通过观察图象可得；
（3）①观察图象可知最低点P的坐标；②分三种情况讨论求得即可．
【解答】解：（1）由图象可得A（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）将函数y2＝3|x﹣2|的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数y3＝3|x﹣2|+2，如图：
当x≥4时，y3取到最小值，最小值为8；
（3）拓展应用：将函数y3的图象继续平移得到y4＝3|x﹣m|+2，其最低点为点P．
①最低点P的坐标为（m，2），
故答案为（m，2）；
②若m＜﹣1，
当x＝﹣1时，y4有最小值5，
∴3×|﹣1﹣m|+2＝5
∴m＝0（舍），或m＝﹣2
若﹣1≤m≤2，
当x＝m时，y4有最小值2，不符合题意，舍去．
若m＞2，
当x＝2时，y4有最小值5，
∴3×|2﹣m|+2＝5
∴m＝1（舍），或m＝3
综上所述，m＝﹣2或m＝3．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=43x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于C，且△ABC的面积为56．点D为线段AB的中点，点E为y轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DF．
（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；
（2）在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标；
（3）设点E的坐标为（0，m）；
①用m表示点F的坐标；
②在点E运动的过程中，若△DEF始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的m的取值范围．
【分析】（1）分别求出B、A的坐标，利用三角形面积可求C点坐标，再由待定系数法求直线BC的解析式即可；
（2）由三角形面积求出DE的长，再由两点间距离公式求E点坐标即可；
（3）①通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质，求F点坐标即可；
②分别讨论F点在△ABC边界处时m的值，即可确定m的范围．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝8，
∴B（0，8），
令y＝0，则x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点D为线段AB的中点，
∴D（﹣3，4），
∵△ABC的面积为56，
∴12×8×AC＝56，
∴AC＝14，
∴C（8，0），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，
∴b=88k+b=0，
∴k=−1b=8，
∴y＝﹣x+8；
（2）设E（0，y），
∵线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，
∴DE＝EF，∠DEF＝90°，
∵△DEF的面积为5，
∴12DE2＝5，
∴DE=10，
∴10=9+(y−4)2，
∴y＝3或y＝5，
∴E（0，3）或E（0，5）；
（3）①如图1，过点E作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH交于点G，过点F作FH⊥GH交于点H，
∵∠GED+∠HEF＝90°，∠GED+∠GDE＝90°，
∴∠GDE＝∠HEF，
∵DE＝EF，
∴△GDE≌△HEF（AAS），
∴GE＝HF，GD＝EH，
∴HF＝3，DG＝m﹣4＝EH，
∴F点纵坐标m﹣3，横纵标m﹣4，
∴F（m﹣4，m﹣3）；
②如图2，当F点在x轴上时，DE⊥y轴，
此时m﹣3＝0，
∴m＝3；
当F在直线BC上时，
此时m﹣3＝﹣（m﹣4）+8，
∴m=152；
∴3≤m≤152时，△DEF始终在△ABC的内部（包括边界）．
A
B
载货量（箱/辆）
45
30
租金（元/辆）
800
550
车辆数（辆）
载货量（箱）
租金（元）
A
x
45x
800x
B
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y1＝3|x|
…
9
6
3
0
3
6
9
…
A
B
载货量（箱/辆）
45
30
租金（元/辆）
800
550
车辆数（辆）
载货量（箱）
租金（元）
A
x
45x
800x
B
6﹣x
30（6﹣x）
550（6﹣x）
车辆数（辆）
载货量（箱）
租金（元）
A
x
45x
800x
B
6﹣x
30（6﹣x）
550（6﹣x）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y1＝3|x|
…
9
6
3
0
3
6
9
…
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