初中数学第十一章 因式分解综合与测试课时训练

冀教版七年级数学下册第十一章 因式分解章节训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知，，求代数式的值为（       ）

A．18 B．28 C．50 D．60

2、因式分解a2b﹣2ab＋b正确的是（       ）

A．b（a2﹣2a） B．ab（a﹣2） C．b（a2﹣2a＋1） D．b（a﹣1）2

3、已知a2－2a－1＝0，则a4－2a3－2a＋1等于（     ）

A．0 B．1 C．2 D．3

4、如果x2+kx﹣10＝（x﹣5）（x+2），则k应为（　　）

A．﹣3 B．3 C．7 D．﹣7

5、把多项式因式分解得，则常数，的值分别为（       ）

A．， B．，

C．， D．，

6、下列从左到右的变形，是分解因式的是（　　）

A．xy2（x﹣1）=x2y2﹣xy2 B．2a2+4a=2a（a+2）

C．（a+3）（a﹣3）=a2﹣9 D．x2+x﹣5=（x﹣2）（x+3）+1

7、下列分解因式正确的是（       ）

A． B．

C． D．

8、下列变形，属因式分解的是（       ）

A． B．

C． D．

9、下列各式中，不能因式分解的是（　　）

A．4x2﹣4x+1 B．x2﹣4y2

C．x3﹣2x2y+xy2 D．x2+y2+x2y2

10、把代数式分解因式，正确的结果是（       ）

A．-ab（ab+3b） B．-ab（ab+3b-1）

C．-ab（ab-3b+1） D．-ab（ab-b-1）

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、因式定理：对于多项式，若，则是的一个因式，并且可以通过添减单项式从中分离出来．例如，由于，所以是的一个因式．于是．则______．

2、因式分解：______．

3、观察下列因式分解中的规律：①；②；③；④；利用上述系数特点分解因式__________．

4、分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝___．

5、分解因式：9a﹣＝______________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、观察下列因式分解的过程：

①

②

③

……

根据上述因式分解的方法，尝试将下列各式进行因式分解：

（1）；

（2）．

2、在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”．1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”．

(1)请根据以上方法判断31568_____（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，求所有符合条件的N的值．

(2)证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．

3、材料1：对于任意一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数，重新排列各个数位上的数字可得到一个最大数和一个最小数，规定．

例如，．

材料2：对于一个各个数位上的数字均不相等的三位自然数，若的十位数字分别小于的百位数字与个位数字，则称为凹数．例如，因为，，所以是凹数．

(1)填空：       ；

(2)判断是否是凹数，并说明理由；

(3)若三位自然数（其中，，，、、均为整数）是凹数，且的百位数字大于个位数字，，求满足条件的所有三位自然数的值．

4、阅读题在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式x3﹣x2因式分解的结果为x2（x﹣1），当x＝5时，x2＝25，x﹣1＝04，此时可以得到数字密码2504或0425；如多项式x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝10时，x﹣1＝09，x+1＝11，x+2＝12，此时可以得到数字密码091112．

(1)根据上述方法，当x＝12，y＝5时，求多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码；（写出三个）

(2)若一个直角三角形的周长12，斜边长为5，其中两条直角边分别为x，y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到密码；（只需一个即可）

(3)若多项式x2+（m﹣3n）x﹣6n因式分解后，利用本题的方法，当x＝25时可以得到一个密码2821，求m、n的值．

5、因式分解：（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【解析】

【分析】

先利用提公因式法和完全平方公式对所求代数式因式分解，再整体代入求值即可．

【详解】

解：

=

=，

当，时，

原式=2×32=2×9=18，

故选：A．

【点睛】

本题考查代数式求值、因式分解、完全平方公式，熟记公式，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．

2、D

【解析】

【分析】

先提取公因式，再用完全平方公式分解因式即可.

【详解】

解：a2b﹣2ab+b

＝b（a2﹣2a+1）

＝b（a﹣1）2．

故选：D．

【点睛】

本题考查的是因式分解，掌握“提公因式与公式法分解因式”是解本题的关键. 注意分解因式要彻底．

3、C

【解析】

【分析】

由a2﹣2a﹣1＝0，得出a2﹣2a＝1，逐步分解代入求得答案即可．

【详解】

解：∵a2﹣2a﹣1＝0，

∴a2﹣2a＝1，

∴a4﹣2a3﹣2a+1

＝a2（a2﹣2a）﹣2a+1

＝a2﹣2a+1

＝1+1

＝2．

故选：C．

【点睛】

此题考查因式分解的实际运用，分组分解和整体代入是解决问题的关键．

4、A

【解析】

【分析】

根据多项式乘以多项式把等号右边展开，即可得答案．

【详解】

解：（x-5）（x+2）=x2-3x-10，

则k=-3，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了因式分解，关键是掌握x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．

5、A

【解析】

【分析】

根据因式分解是恒等式，展开比较系数即可．

【详解】

∵=，

∴=，

∴n-2=5，m=-2n，

∴n=7，m=-14，

故选A．

【点睛】

本题考查了因式分解，正确理解因式分解的恒等性是解题的关键．

6、B

【解析】

【分析】

根据因式分解的意义对各选项进行逐一分析即可．

【详解】

解：、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误，不符合题意；

、符合因式分解的意义，是因式分解，故本选项正确，符合题意；

、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误，不符合题意；

、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误，不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查的是因式分解的意义，解题的关键是把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．

7、C

【解析】

【分析】

根据因式分解的方法逐个判断即可．

【详解】

解：A. ，原选项错误，不符合题意；

B. ，原选项错误，不符合题意；

C. ，正确，符合题意；

D. ，原选项错误，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用提取公因式法和公式法进行因式分解．

8、A

【解析】

【分析】

依据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式判断即可．

【详解】

解：A、是因式分解，故此选项符合题意；

B、分解错误，故此选项不符合题意；

C、右边不是几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；

D、分解错误，故此选项不符合题意；

故选：A．

【点睛】

本题主要考查的是因式分解的意义，掌握因式分解的定义是解题的关键．

9、D

【解析】

【分析】

直接利用公式法以及提取公因式分解因式进而判断即可．

【详解】

解：A、4x2﹣4x+1＝（2x−1）2，故本选项不合题意；

B、x2﹣4y2＝（x＋2y）（x-2y），故本选项不合题意；

C、x3﹣2x2y+xy2=x（x-y）2，故本选项不合题意；

D、x2+y2+x2y2不能因式分解，故本选项符合题意；

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了提取公因法以及公式法分解因式，正确应用公式法分解因式是解题关键．

10、B

【解析】

【分析】

根据提公因式法因式分解，先提出，即可求得答案

【详解】

解：

故选B

【点睛】

本题考查了提公因式法因式分解，掌握提公因式法因式分解是解题的关键．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

将添减单项式后分解因式即可得到答案．

【详解】

解：

=

=

=

故答案为：．

【点睛】

此题考查了多项式的分解因式，正确添减单项式利用分组分解法分解因式是解题的关键．

2、

【解析】

【分析】

先提取公因式，再利用平方差公式计算即可得出答案．

【详解】

解：．

【点睛】

本题考查的是因式分解，比较简单，需要熟练掌握因式分解的方法以及步骤．

3、

【解析】

【分析】

利用十字相乘法分解因式即可．

【详解】

解：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是明确二次项系数为1的十字相乘法公式：．

4、

【解析】

【分析】

先提取公因式a，再利用完全平方公式因式分解．

【详解】

解：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查综合利用提公因式法和公式法因式分解．一般有公因式先提取公因式，再看是否能用公式法因式分解．

5、a（3+a）（3﹣a）

【解析】

【分析】

先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

【详解】

解：9a﹣，

＝a （9﹣），

＝a（3+a）（3﹣a）．

【点睛】

本题考查了因式分解,熟练掌握先提后选用公式的解题思路是解题的关键．

三、解答题

1、（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据题中的方法，适当加减适合的数，再提取公因式，将各式分解即可；

（2）根据题中的方法分解因式即可．

【详解】

解：（1）；

（2）．

【点睛】

本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式进行因式分解．

2、 (1)是，所有符合条件的N的值为5326，5662

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）分别得出31568的“顺数”与“逆数”，求差，计算能否被17整除即可判断；设“最佳拍档数”N的十位数字为x，百位数字为y，可用x、y表示出N，根据“顺数”与“逆数”的定义可表示出“顺数”与“逆数”的差为90（66﹣x﹣10y），根据“最佳拍档数”的定义可得90（66﹣x﹣10y）能被17整除，即可得出符合题意x、y的值，即可得答案；

（2）设三位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，可表示出“顺数”与“逆数”的差，可判断差能否被30整除；同理可判断四位正整数“顺数”与“逆数”的差能否被30整除，综上即可得答案．

(1)

（1）31568的“顺数”为361568，31568的“逆数”为315668，

（361568-315668）÷17＝2700；

∴31568是“最佳拍档数”，

设“最佳拍档数”N的十位数字为x，百位数字为y，

N＝5000+100y+10x+8﹣x＝100y+9x+5008，

∵N是四位“最佳拍档数”，

∴50000+6000+100y+10x+3﹣x﹣[50000+1000y+100x+60+8﹣x]，

＝6000+100y+9x+2﹣1000y﹣100x﹣68+x，

＝5940﹣90x﹣900y，

＝90（66﹣x﹣10y），

∴66﹣x﹣10y能被17整除，

①x＝2，y＝3时，能被17整除；

∴十位数字为2，百位数

②x＝6，y＝6时，能被17整除；

综上，所有符合条件的N的值为5326，5662

故答案为：是

(2)

（2）设三位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，

它的“顺数”：1000z+600+10y+x，

它的“逆数”：1000z+100y+60+x，

∴（1000z+600+10y+x）﹣（1000z+100y+60+x）

＝540﹣90y

＝90（6﹣y），

∴任意三位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，

设四位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，千位数字为a，

∴（10000a+6000+100z+10y+x）﹣（10000a+1000z+100y+60+x）

＝5940﹣900z﹣90y

＝90（66﹣10z﹣y），

∴任意四位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，

∴任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．

【点睛】

本题考查“顺数”、“逆数”与“最佳拍档数”的定义及应用，熟练掌握几位数的表示方法，理解新定义，正确分解因式是解题关键．

3、 (1)7

(2)是凹数，理由见解析

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据提供的新定义运算法则进行运算即可；

（2）根据凹数的定义进行判断即可；

（3）由是凹数，结合已知条件可得 再求解 代入，从而可求解： 得到 结合为正整数，从而可得答案.

(1)

解：

故答案为：7

(2)

解：因为的十位数字是3，

而

所以是凹数.

(3)

解： 是凹数，

而

，

整理得： 即

解得：

为正整数，则或或

所以满足条件的所有三位自然数为：

【点睛】

本题考查的是新定义运算，有理数的混合运算，乘法分配律分应用，利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，理解新定义，逐步运算得到解下一步的条件是解本题的关键.

4、 (1)120717；121707，171207．

(2)1225

(3)m=5，n=2

【解析】

【分析】

（1）首先把x3-xy2分解因式，然后求出当x=12，y=5时，x-y、x+y的值各是多少，写出可以形成的三个数字密码即可．

（2）由题意得：，求出xy的值是多少，再根据x3y+xy3=xy（x2+y2），求出可得的数字密码为多少即可．

（3）首先根据密码为2821，可得：当x=25时，x2+（m﹣3n）x﹣6n=（x+3）（x-4），据此求出m、n的值各是多少即可．

(1)

x3-xy2=x（x-y）（x+y），

当x=12，y=5时，x-y=07，x+y=17，

可得数字密码是120717；也可以是121707，171207．

(2)

由题意得：，

解得xy=12，

而x3y+xy3=xy（x2+y2），

∴可得数字密码为1225．

(3)

∵密码为2821，

∴当x=25时，

∴x2+（m﹣3n）x﹣6n=（x+3）（x-4），

即：x2+（m-3n）x-6n=x2-x-12，

∴，

解得．

【点睛】

此题主要考查了因式分解的应用，以及用“因式分解”法产生的密码的方法，要熟练掌握．

5、（x﹣2）（x+4）（x+1）2

【解析】

【分析】

将x2+2x视为整体，利用十字相乘法因式分解，再结合因式分解与完全平方公式解题．

【详解】

解：原式＝（x2+2x﹣8）（x2+2x+1）＝（x﹣2）（x+4）（x+1）2．

【点睛】

本题考查因式分解，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．