初中湘教版2.5.2矩形的判定课后练习题

2.5.2  矩形的判定

要点感知1     三个角是__________角的四边形是矩形.

预习练习1-1   在四边形ABCD中，若∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD是__________形.

要点感知2     对角线__________的平行四边形是矩形.

预习练习2-1   如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，应添加的条件是_______(只填一个).

知识点1  三个角是直角的四边形是矩形

1.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是(    )

  A.测量对角线是否相互平分

  B.测量两组对边是否分别相等

  C.测量一组对角是否为直角

  D.测量四边形的其中三个角是否都为直角

2.如图，从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为__________(只填写拼图板的代码).

3.已知：如图，□ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H.试说明四边形EFGH为矩形.

知识点2  对角线相等的平行四边形是矩形

4.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是(    )

  A.AB=BC               B.AC⊥BD             C.AC=BD             D.∠1=∠2

第4题图                 第5题图                  第6题图

5.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是(    )

  A.①②③               B.②③④              C.②⑤⑥              D.④⑤⑥

6.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为__________度时，四边形ABFE为矩形.

7.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，∠1=∠2.求证：四边形ABCD是矩形.

8.在□ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的条件是(    )

  A.AB=AD             B.OA=OB              C.AC=BD              D.DC⊥BC

9.下列关于矩形的说法，正确的是(    )

  A.对角线相等的四边形是矩形

  B.对角线互相平分的四边形是矩形

  C.矩形的对角线互相垂直且平分

  D.矩形的对角线相等且互相平分

10.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是(    )

  A.AB∥DC         B.AC=BD            C.AC⊥BD           D.AB=DC

第10题图                 第11题图             第12题图

11.如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是(    )

  A.2                  B.3                 C.4                 D.4

12.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__________(添加一个条件即可).

13.如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE，求证:四边形BCDE是矩形.

14.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE.

  (1)求证：△BOE≌△DOF；

  (2)若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论.

15.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角角平分线于点F.

  (1)求证：OE=OF；

  (2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；

  (3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.

参考答案

要点感知1   直

预习练习1-1  矩

要点感知2   相等

预习练习2-1  答案不唯一，如∠BAD=90°或AC=BD等

1.D    2.①②③④

3.∵四边形ABCD是平行四边形，

  ∴BC∥AD，AB∥CD.

  ∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ABC=180°.

  又□ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H.

  ∴∠BAF+∠ABF=90°，∠GBC+∠GCB=90°.

  ∴∠GFE=∠AFB=90°，∠G=90°.

  同理可证∠GHE=90°，∠E=90°.

  ∴四边形EFGH为矩形.

4.C  5.C    6.60

7.证明：∵∠1=∠2，

∴BO=CO，即2BO=2CO.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO，BO=OD.

∴AC=2CO，BD=2BO.

∴AC=BD.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是矩形.

8.A  9.D  10.C  11.A    12.答案不唯一，如：∠ABC=90°或AC=BD

13.证明：∵AC＝AB，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，

∴∠BAD-∠CAB＝∠CAE-∠CAB，即∠CAD=∠BAE.

∴△ADC≌△AEB（SAS）.

∴DC＝BE.

又∵DE＝BC，

∴四边形BCDE是平行四边形.

连接BD，CE.

∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，

∴△ABD≌△ACE(SAS).

∴BD＝CE.

∴四边形BCDE是矩形.

14.(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA=OC.

∵AE=CF，∴OE=OF.

∵DF∥BE，∴∠OEB=∠OFD.

又∵∠EOB=∠FOD，

∴△BOE≌△DOF.

  (2)∵△BOE≌△DOF，∴OD=OB.

∵OA=OC，

∴四边形ABCD是平行四边形.

∵OD=AC，OD=BD，

∴AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形.

15.(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，

∴∠ACF=∠FCD=∠CFO.

∴OF=OC，

同理可证：OC=OE，

∴OE=OF.

  (2)由(1)知：OF=OC，OC=OE，

∴∠OCF=∠OFC，∠OCE=∠OEC.

∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC，

而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°，

∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°，

∴EF===13.

∴OC=EF=.

  (3)当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形.

  理由：由(1)知OE=OF，当点O移动到AC中点时有OA=OC，

∴四边形AECF为平行四边形.

又∵∠ECF=90°，

∴四边形AECF为矩形.