冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试习题

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九年级数学下册第三十章二次函数难点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（ ）

A． B． C． D．或
2、抛物线的顶点为（ ）
A． B． C． D．
3、将关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线经过三点、、，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4、函数向左平移个单位后其图象恰好经过坐标原点，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．或3
5、若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
6、若函数，则当函数y=15时，自变量的值是（ ）
A． B．5 C．或5 D．5或
7、已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．无法确定
8、将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A． B． C． D．
9、如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④一元二次方程的两根分别为；⑤若为方程的两个根，则且．其中正确的结论个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10、抛物线y=ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示:
x
…
-3
-2
-1
0
1
…
y
…
-6
0
4
6
6
…
给出下列说法：
①抛物线与y轴的交点为(0，6)；
②抛物线的对称轴在y轴的右侧；
③抛物线的开口向下；
④抛物线与x轴有且只有1个公共点．
以上说法正确是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、把二次函数的图象关于轴对称后得到的图象的函数关系式为_________．
2、如图，院子里有块直角三角形空地ABC，∠C＝90°．直角边AC＝3m、BC＝4m，现准备修一个如图所示的矩形DEFG的养鱼池，当矩形DEFG面积最大时，EF的长为 _____．

3、在平面直角坐标系中，设点P是抛物线的顶点，则点P到直线的距离的最大值为________．
4、已知抛物线与轴交于A、B两点，对称轴与抛物线交于C，与轴交于点D，圆C的半径为1.8，G为圆C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为_________．

5、已知二次函数，当自变量x分别取1、4、5时，对应的函数值分别为，，，则，，的大小关系是________（用“＜”号连接）．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、某政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可看作一次函数：，已知当销售单价定为25元时，李明每月获得利润为1250元．
(1)求的值；
(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润是多少？
（注：利润=（销售单价-进价）×销售量）
2、如图，一名垒球运动员进行投球训练，站在点O开始投球，球出手的高度是2米，球运动的轨迹是抛物线，当球达到最高点E时，水平距离EG=20米，与地面的高度EF=6米，掷出的球恰好落在训练墙AB上B点的位置，AB=3米．

(1)求抛物线的函数关系式；
(2)求点O到训练墙AB的距离OA的长度．
3、已知如图，二次函数的图像与x轴相交于点A、B两点，与y轴相交于点C，连接AC、BC，，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点E，当取得最小值时，E点坐标为________；此时AE与BC的位置关系是________，________；
(3)抛物线对称轴右侧的函数图像上是否存在点M，满足，若存在求M点的横坐标；若不存在，请说明理由；
(4)若抛物线上一动点Q，当时，直接写出Q点坐标________．
4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于B，C两点（C在B的左侧），与y轴交于点A，已知，．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点Q是线段AC下方抛物线上一点，过点Q作QD垂直AC交AC于点D，求DQ的最大值及此时点Q的坐标；
(3)点E是线段AB上一点，且；将抛物线沿射线AB的方向平移，当抛物线恰好经过点E时，停止运动，已知点M是平移后抛物线对称轴上的动点，N是平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．
5、习近平总书记曾强调“利用互联网拓宽销售渠道，多渠道解决农产品卖难问题.” 2021年黑龙江省粮食生产再获丰收，某村通过直播带货对产出的生态米进行销售．每袋成本为40元，物价部门规定每袋售价不得高于55元．市场调查发现，若每袋以45元的价格销售，平均每天销售105袋，而销售价每涨价1元，平均每天就可以少售出3袋．
(1)求该电商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/袋）之间的函数关系式；
(2)若每日销售利润达到900元，售价为多少元？
(3)当每袋大米的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
根据函数图象写出y=1对应的自变量x的值,再根据判断范围即可．
【详解】
由图可知，使得时
使成立的x的取值范围是或
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式，准确识图是解题的关键．
2、B
【解析】
【分析】
根据抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k可得顶点坐标是（h，k）．
【详解】
解：∵y=2（x-1）2+3，
∴抛物线的顶点坐标为（1，3），
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
3、C
【解析】
【分析】
根据题意求得平移后的二次函数的对称轴以及开口方向，根据三个点与对称轴的距离大小判断函数值的大小即可
【详解】
解：∵关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线解析式为，
∴新抛物线的对称轴为，开口方向向上，则当抛物线上的点距离对称轴越远，其纵坐标越大，即函数值越大，
平移后的抛物线经过三点、、，


故选C
【点睛】
本题考查了二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的对称轴直线x=，图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
4、C
【解析】
【分析】
把函数解析式整理成顶点式形式，再根据向左平移横坐标减表示出平移后的抛物线解析式，再把原点的坐标代入计算即可得解．
【详解】
解：，
向左平移个单位后的函数解析式为，
函数图象经过坐标原点，
，
解得．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化求解更加简便，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5、C
【解析】
【分析】
根据两根之和公式可以求出对称轴公式．
【详解】
解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，
∴x1＋x2＝− ＝2．
∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．
6、D
【解析】
【分析】
根据题意，利用分类讨论的方法可以求得当函数y=15时，自变量x的值．
【详解】
解：当x＜3时，
令2x2-3=15，
解得x=-3；
当x≥3时，
令3x=15，
解得x=5；
由上可得，x的值是-3或5，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
7、C
【解析】
【分析】
分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；
【详解】
当a＞0时，∵对称轴为x=，
当x=1时，y有最小值为2，当x=3时，y有最大值为4a+2，
∴4a+2-2=4．
∴a=1，
当a＜0时，同理可得
y有最大值为2； y有最小值为4a+2，
∴2-(4a+2)=4，
∴a=-1，
综上，a的值为
故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．
8、B
【解析】
【分析】
由题意知，平移后的抛物线解析式为，将各选项中的横坐标代入，求出纵坐标并与各选项的纵坐标比较，纵坐标相同的即为正确答案．
【详解】
解：由题意知，平移后的抛物线解析式为
将代入解析式得，与A中点坐标不同，故不符合要求；
将代入解析式得，与B中点坐标相同，故符合要求；
将代入解析式得，与C中点坐标不同，故不符合要求；
将代入解析式得，与D中点坐标不同，故不符合要求；
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于写出平移后的二次函数解析式．
9、C
【解析】
【分析】
根据图像，确定a，b，c的符号，根据对称轴，确定b，a的关系，当x=-1时，得到a-b+c=0，确定a，c的关系，从而化简一元二次方程，求其根即可，利用平移的思想，把y=的图像向上平移1个单位即可，确定方程的根．
【详解】
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右边，
∴b＜0，
∴，
故①正确；
∵二次函数的图像与x轴交于点，
∴a-b+c=0，
根据对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
当x=-2时，y＞0即，
故②正确；
∵，

∴b= -2a，
∴3a+c=0，
∴2a+c=2a-3a= -a＜0，
故③正确；
根据题意，得，
∴，
解得，
故④错误；
∵=0，
∴，
∴y=向上平移1个单位，得y=+1，
∴为方程的两个根，且且．
故⑤正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了抛物线的图像与系数的符号，抛物线的对称性，抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的增减性，平移，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．
10、C
【解析】
【分析】
根据表中数据和抛物线的对称性，可得抛物线的对称轴是直线x=，可得到抛物线的开口向下，再根据抛物线的性质即可进行判断．
【详解】
解：根据图表，抛物线与y轴交于（0，6），故①正确；
∵抛物线经过点（0，6）和（1，6），
∴对称轴为x==>0，即抛物线的对称轴在y轴的右侧，故②正确；
当x<时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向下，故③正确，
∵抛物线经过点（-2，0），
设抛物线经过点（x，0），
∴x==，
解得：x=3，
∴抛物线经过（3，0），即抛物线与x轴有2个交点（-2，0）和（3，0），
故④错误；
综上，正确的有①②③，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数及其图象性质，解决问题的关键是注意表格数据的特点，结合二次函数性质作判断．
二、填空题
1、
【解析】
【分析】
函数的图象关于y轴对称后的顶点坐标为(-1，0)，然后根据顶点式写出解析式．
【详解】
解：的顶点坐标是(1，2)，由于(1，2)关于y轴的对称点为(-1，2)，所以得到的图象的函数解析式是；
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
2、##
【解析】
【分析】
过点作，交于点，等面积法求得，设，进而根据得出比例式，根据矩形的面积为，得到关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求得面积最大时的的值，进而求得的长．
【详解】
解：如图，过点作，交于点，

∠C＝90°．直角边AC＝3m、BC＝4m，


设，则
四边形是矩形
，




整理得
设矩形的面积为，则
当取得最大值时，，此时
故答案为：
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
3、5
【解析】
【分析】
根据抛物线解析式求出点P坐标，由直线解析式可知直线恒过点B（0，-3），当PB与直线垂直时，点P到直线的距离最大，根据两点间距离公式可出最大距离．
【详解】
解：∵
∴P（3，1）
又直线恒过点B（0，-3），如图，

∴当PB与直线垂直时，点P到直线的距离最大，
此时，
∴点P到直线的距离的最大值为5
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，以及点到直线间的距离，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
4、
【解析】
【分析】
如图，连接BG．利用三角形的中位线定理证明DP=BG，求出BG的最大值，即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接BG．

∵AP=PG，AD=DB，
∴DP=BG，
∴当BG的值最大时，DP的值最大，
∵，
∴C（5，），B（9，0），
∴BC==，
当点G在BC的延长线上时，BG的值最大，最大值=+，
∴DP的最大值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
5、y1＜y2＜y3
【解析】
【分析】
利用二次函数图象上点的坐标特征可分别求出y1，y2，y3的值，结合a＞0，即可得出a+c＜4a+c＜9a+c，即y1＜y2＜y3．
【详解】
解：当x=1时，y1=a（1-2）2+c=a+c；
当x=4时，y2=a（4-2）2+c=4a+c；
当x=5时，y3=a（5-2）2+c=9a+c．
∵a＞0，
∴a+c＜4a+c＜9a+c，
∴y1＜y2＜y3．
故答案为：y1＜y2＜y3．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征，分别求出y1，y2，y3的值是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)的值是500；
(2)当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元
【解析】
【分析】
（1）根据利润=（销售单价-进价）×销售量列方程求解即可；
（2）根据利润=（销售单价-进价）×销售量得到w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
(1)
解：由题意可得，，
解得：，
答：的值是500；
(2)
解：设利润为w元，
由题意：，
，
∵-10<0，
∴时，取得最大值，此时，
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用、二次函数的实际应用，理解题意，根据等量关系正确得到一元一次方程和函数关系式是解答的关键．
2、 (1)抛物线的关系式为y=-0.01（x-20）2+6；
(2)点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10）米．
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的顶点设关系式为y=a（x-20）2+6，再根据点C的坐标可得关系式；
（2）把y=3代入可得答案．
(1)
解：由题意得，顶点E（20，6）和C（0，2），
设抛物线的关系式为y=a（x-20）2+6，
∴2=a（0-20）2+6，
解得a=-0.01，
∴抛物线的关系式为y=-0.01（x-20）2+6；
(2)
（2）当y=3时，3=-0.01（x-20）2+6，
解得x1=20+10，x2=20-10（舍去），
答：点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10）米．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，利用待定系数法得到抛物线的关系式是解题关键．
3、 (1)y=x2-4x+3；
(2)（2，1）；AE⊥BC，；
(3)存在，M点的横坐标为或；
(4)Q点的坐标为(，)或(，) ．
【解析】
【分析】
（1）求得点C的坐标和点B的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）连接BC交对称轴于点E，此时AE+CE取得最小值，求得直线BC的解析式，即可求得E点坐标，进一步计算即可求解；
（3）分类求解，利用tan∠ACB= tan∠BAM，求得G点坐标，利用待定系数法求得直线AG的解析式，联立方程即可求解；
（4）先求得tan∠ACO=，同（3）的方法即可求解．
(1)
解：令x=0，则y=3，
∴点C的坐标为（0，3），即OC=1，
∵tan∠ABC=1，即，
∴OC=OB=1，
∴点B的坐标为（3，0），
把B（3，0）代入y=x2+bx+3得32+3b+3=0，
解得：b=-4，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3；
(2)
解：y=x2-4x+3=(x-2)2-1，
∴顶点D的坐标为（2，-1），对称轴为x=2，
解方程(x-2)2-1=0，得：x1=1，x2=3，
∴点A的坐标为（1，0），
连接BC交对称轴于点E，此时，AE=BE，
∴AE+CE=BE+CE=BC，
∴AE+CE的最小值为BC，
设直线BC的解析式为y=kx+3，
把B（3，0）代入y=kx+3，得：0=3k+3，
解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=2时，y=1，
∴E点坐标为（2，1），
∵AE=，BE=，AB=3-1=2，
，
∴AE2+BE2=AB2，AE=BE，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴AE与BC的位置关系是：AE⊥BC，
∵CE=，
∴tan∠ACE=，
故答案为：（2，1）；AE⊥BC，；
，
(3)
解：设对称轴与x轴交于点F，交AM于点G，
∵∠ACB=∠BAM，
∴tan∠ACB= tan∠BAM，
由（2）得tan∠ACE，
∴tan∠BAM=，
∵AF=OF-OA=1，
∴GF=，
∴G点坐标为（2，），
同理求得直线AG的解析式为y=x-，
解方程x-=x2-4x+3，得x1=1，x2=，
∴M点的横坐标为；
当AM在x轴下方时，
同理求得直线AG1的解析式为y=x+，
解方程x+=x2-4x+3，得x1=1，x2=，
∴M1点的横坐标为；
综上，存在，M点的横坐标为或；
，
(4)
解：∵OA=1，OC=3，
∴tan∠ACO=，
同（3）得H点坐标为（2，），
直线AQ的解析式为y=x-，
解方程x-=x2-4x+3，得x1=1，x2=，
∴Q点的坐标为(，)；
当AQ在x轴下方时，
同理求得直线AQ1的解析式为y=x+，
解方程x+=x2-4x+3，得x1=1，x2=，
∴Q1点的坐标为(，)；
综上，Q点的坐标为(，)或(，)．
,
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、解直角三角形等，要注意分类求解，避免遗漏．
4、 (1)
(2)DQ的最大值为，
(3)N点坐标为或或或，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据在抛物线上，可得，再由，可得，即可求解；
（2）过点Q作轴交直线AC于点P，令 ，可得，从而得到，进而得到，，再求出直线AC解析式，然后设，则，可得，即可求解；
（3）先求出平移后的抛物线为．然后分四种情况讨论，即可求解．
(1)
解：∵在抛物线上，
∴，
∵
∴，
将代入中得，，
∴抛物线的表达式为：；
(2)
解：过点Q作轴交直线AC于点P，如图：

当 时，，
解得： ，
∴，即OC=4，
∵OA=4，
∴，
∴，
在Rt△PQD中，，
由、得直线AC解析式为：，
设，则，
∵
∴
∴
∴当时，DQ的最大值为，此时．
(3)
解：存在，N点坐标为或或或．
设平移后满足条件的抛物线为；
∵抛物线过点，∴
∴抛物线沿射线AB的方向平移，设抛物线沿直线平移，
∴抛物线与抛物线的的顶点均在直线上；
∴由直线过点得，，解得；
由直线过得，，则，
又∵，∴，
∴，或（因为对称轴在不满足沿射线AB平移，舍去）
∴，，平移后的抛物线为．
∴对称轴为y轴，
即点M在y轴上，
当四边形ABNM为菱形，点N在x轴的上方时，

∵，．
∴；
当四边形ABN1M1为菱形，点N在x轴的下方时，
∵，．
∴；
当四边形AB M2 N2为菱形时，点N2在x轴上，则A M2垂直平分B N2，
∴O N2=OB，
∴点N2；
当四边形A M3B N3为菱形，A M3=B M3，．
设O M3=a，则B M3=A M3=4-a，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴点N3；
综上所述，N点坐标为或或或．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，与四边形的综合题，抛物线的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，菱形的性质是解题的关键．
5、 (1)w=-3x2+360x-9600；
(2)若每日销售利润达到900元，售价为50元；
(3)当销售价为55元时，可以获得最大利润，为1125元．
【解析】
【分析】
（1）利用该电商平均每天的销售利润w（元）=每袋的销售利润×每天的销售量得出即可；
（2）根据（1）的关系式列出一元二次方程即可；
（3）根据题中所给的自变量的取值得到二次的最值问题即可．
(1)
解：w=（x-40）[105-3（x-45）]
=（x-40）（-3x+240）
=-3x2+360x-9600，
答：该电商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/袋）之间的函数关系式为w=-3x2+360x-9600；
(2)
解：由题意得，w=-3x2+360x-9600=900，
解得：x1=50，x2=70＞55（舍），
答：若每日销售利润达到900元，售价为50元；
(3)
解：w=-3x2+360x-9600=-3（x-60）2+1200，
∵a=-3＜0，
∴抛物线开口向下．
又∵对称轴为x=60，
∴当x＜60，w随x的增大而增大，
由于50≤x≤55，
∴当x=55时，w的最大值为1125元．
∴当销售价为55元时，可以获得最大利润，为1125元．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常用函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=-时取得．