初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步练习题

九年级数学下册第三十章二次函数定向测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

2、二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A．，， B．，， C．，， D．，，

3、已知平面直角坐标系中有点A（﹣4，﹣4），点B（a，0），二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k的图象必过一定点C，则AB+BC的最小值是（　　）

A．4 B．2 C．6 D．3

4、抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴是（　　）

A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣4

5、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①x＞0时，y随x的增大而增大；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④关于x的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（　　）

A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④

6、二次函数 的图像如图所示， 现有以下结论： （1） ： （2） ； （3）， （4） ； （5） ； 其中正确的结论有（       ）

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个．

7、若二次函数y=-x2+mx在-2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是（　 　）

A．或6 B．或6 C．或6 D．或

8、已知抛物线y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0），点A（x1，y1），B（3，y2）在该抛物线上，且y1＜y2．给出下列结论①抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；②当m＞0时，抛物线与x轴没有交点；③当m＞0时，﹣7＜x1＜3； ④当m＜0时，x1＜﹣7或x1＞3；其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9、已知二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，则a的取值范围是（       ）

A．a＜4 B．a≤4 C．a＜4且a≠0 D．a≤4且a≠0

10、下列函数中，随的增大而减小的函数是（       ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、抛物线y＝（x﹣1）2＋3的顶点坐标为___．

2、已知抛物线，将此二次函数解析式用配方法化成的形式得__________，此抛物线经过两点A（-2，y1）和，则与的大小关系是_____________．

3、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，请写出一个使的的整数值 __．

4、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留宽的门，所有围栏的总长（不含门）为，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为______．

5、已知抛物线与轴交于A、B两点，对称轴与抛物线交于C，与轴交于点D，圆C的半径为1.8，G为圆C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为_________．    

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于B，C两点（C在B的左侧），与y轴交于点A，已知，．

(1)求抛物线的表达式；

(2)若点Q是线段AC下方抛物线上一点，过点Q作QD垂直AC交AC于点D，求DQ的最大值及此时点Q的坐标；

(3)点E是线段AB上一点，且；将抛物线沿射线AB的方向平移，当抛物线恰好经过点E时，停止运动，已知点M是平移后抛物线对称轴上的动点，N是平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．

2、已知抛物线与x轴有交点，求m的取值范围．

3、已知二次函数．

(1)把它配方成的形式，并写出它的开口方向、顶点的坐标；

(2)作出函数的图象（列表描出五个关键点）．

4、已知直线y1＝kx+1（k＞0）与抛物线y2＝x2．

(1)当﹣4≤x≤3时，函数y1与y2的最大值相等，求k的值；

(2)如图①，直线y1＝kx+1与抛物线y2＝x2交于A，B两点，与y轴交于F点，点C与点F关于原点对称，求证：S△ACF：S△BCF＝AC：BC；

(3)将抛物线y2＝x2先向上平移1个单位，再沿直线y1＝kx+1的方向移动，使向右平行移动的距离为t个单位，如图②所示，直线y1＝kx+1分别交x轴，y轴于E，F两点，交新抛物线于M，N两点，D是新抛物线与y轴的交点，当△OEF∽△DNF时，试探究t与k的关系．

5、已知二次函数的图像经过点，，．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，则以，，，为顶点的四边形的面积为__________；

(3)将二次函数的图像向左平移个单位后恰好经过坐标原点，则的值为__________．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

先求出对称轴x＝，再由已知可得 b≥1，即可求b的范围．

【详解】

解：∵，

∴对称轴为直线x＝b，开口向下，

在对称轴右侧，y随x的增大而减小，

∵当x＞1时，y随x的增大而减小，

∴1不在对称轴左侧，

∴b≤1，

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，充分理解对称轴与函数增减性之间的关系是解题的关键．

2、D

【解析】

【分析】

首先根据二次函数图象的开口方向确定，再根据对称轴在轴右，可确定与异号，然后再根据二次函数与轴的交点可以确定．

【详解】

解：抛物线开口向上，

，

对称轴在轴右侧，

与异号，

，

抛物线与轴交于正半轴，

，

故选：．

【点睛】

此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数，

①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．

当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．

②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．

当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）

③．常数项决定抛物线与轴交点． 抛物线与轴交于．

3、C

【解析】

【分析】

将抛物线解析式变形求出点C坐标，再根据两点之间线段最短求出AB+BC的最小值即可．

【详解】

解：二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k=(x-2)(x-1+k)-2

∴函数图象一定经过点C（2，-2）

点C关于x轴对称的点的坐标为（2，2），连接，如图，

∵

∴

故选：C

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质，两点之间线段最短以及勾股定理等知识，明确“两点之间线段最短”是解答本题的关键．

4、A

【解析】

【分析】

直接利用抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4，求得对称轴方程为：x=3．

【详解】

解：抛物线y=﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴方程为：直线x=3，

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质与图象，解题的关键是掌握：二次函数的顶点式与对称轴的关系．

5、D

【解析】

【分析】

根据二次函数的图象及性质即可判断．

【详解】

解：由函数图象可知，抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），

∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0），

∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故①错误；

∵﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∴2a+b＝0，故②正确；

当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③正确；

当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，

∴c＝﹣3a，

∴﹣a＞c，

∴直线y＝﹣a与抛物线y＝ax2+x+c有2个交点，

∴关于x的方程ax2+bx+c＝﹣a有两个不相等的实数根，

即关于a的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根，故④正确；

正确的有②③④，

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系，本题属于中等题型．

6、C

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】

解：（1）∵函数开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右边，∴，∴b＞0，故命题正确；

（2）∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故命题正确；

（3）∵当x=-1时，y＜0，∴a-b+c＜0，故命题错误；

（4）∵当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，故命题正确；

（5）∵抛物线与x轴于两个交点，∴b2-4ac＞0，故命题正确；

故选C．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

7、C

【解析】

【分析】

表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．

【详解】

解：∵y=-x2+mx，

∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x=-，

①当≤-2，即m≤-4时，当x=-2时，函数最大值为5，

∴-(-2)2-2m=5，

解得：m=-；

②当≥1，即m≥2时，当x=1时，函数最大值为5，

∴-12+m=5，

解得：m=6．

③当-2＜＜1，即-4＜m＜2时，当x=时，函数最大值为5，

∴-()2+m•=5

解得m=2（舍去）或m=-2（舍去），

综上所述，m=-或6，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的最值、解一元二次方程，解题的关键是：分三种情况，找出关于m的方程．

8、C

【解析】

【分析】

利用抛物线的对称轴公式可判断①，计算 结合 可判断②，再分别画出符合③，④的图象，结合图象可判断③与④，从而可得答案.

【详解】

解： 抛物线y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0），

抛物线的对称轴为： 故①符合题意；

当时，

所以抛物线与轴有两个交点，故②不符合题意；

当时，抛物线的开口向上，如图，

则关于的对称点为： 而

故③符合题意；

当时，抛物线的开口向下，如图，

同理可得：由

则或 故④符合题意，

综上：符合题意的有：①③④

故选：C

【点睛】

本题考查的是抛物线的对称轴方程，抛物线与轴的交点的情况，二次函数的图象与性质，掌握“利用数形结合的方法求解符合条件的自变量的取值范围”是解本题的关键.

9、D

【解析】

【分析】

由二次函数的定义得a≠0，再由二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点得到Δ≥0，解不等式即可．

【详解】

解：∵二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，

∴Δ＝42﹣4a×1≥0，且a≠0，

解得：a≤4，且a≠0．

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与x轴的交点，关键是Δ＝b2−4ac决定抛物线与x轴交点的个数．

10、B

【解析】

【分析】

根据一次函数，反比例函数，二次函数，正比例函数的性质逐项分析即可．

【详解】

A. ，，随的增大而增大，故A选项不符合题意．

B. ，， ，的图像位于第三象限，随的增大而减小，故B选项符合题意；

C. ，，对称轴为轴，在对称轴的左边，随的增大而增大，在对称轴的右边，随的增大而减小，故C选项不符合题意；

D. ，，随的增大而增大，故D选项不符合题意；

故选B．

【点睛】

本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数，正比例函数的性质，掌握以上性质是解题的关键．

二、填空题

1、（1，3）

【解析】

【分析】

根据顶点式判断顶点即可．

【详解】

解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣1）2＋3

∴顶点坐标是（1，3）．

故答案为：（1，3）

【点睛】

本题考查了二次函数解析式---顶点式，明确的顶点坐标为（h，k）是解答本题的关键．

2、         

【解析】

【分析】

（1）利用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式；（2）将与分别代入二次函数解析式中，计算出与的值，并比较大小．

【详解】

（1）解：，

故答案为：．

（2）当 时，

当时，

∴ 与的大小关系是，

故答案为：．

【点睛】

本题考查用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，以及二次函数的增减性，熟练掌握配方法是解决本题的关键．

3、2（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据函数图象可以直接得到答案．

【详解】

解：如图，

在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，

则当的的取值范围是：，

的值可以是2．

故答案为：2（答案不唯一）．

【点睛】

此题考查了抛物线与x轴的交点坐标，需要学生熟悉二次函数图象的性质并要求学生具备一定的读图能力．

4、14

【解析】

【分析】

设平行于墙体的材料长度为 ，则垂直于墙体的材料长度为 根据题意列出函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解．

【详解】

解：设平行于墙体的材料长度为 ，建成的饲养室的总面积为 ，则垂直于墙体的材料长度为 根据题意得：

建成的饲养室的总面积为 ，

∴当 时，建成的饲养室面积最大，

即此时利用墙体的长度为 ．

故答案为：14

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．

5、

【解析】

【分析】

如图，连接BG．利用三角形的中位线定理证明DP=BG，求出BG的最大值，即可解决问题．

【详解】

解：如图，连接BG．

∵AP=PG，AD=DB，

∴DP=BG，

∴当BG的值最大时，DP的值最大，

∵，

∴C（5，），B（9，0），

∴BC==，

当点G在BC的延长线上时，BG的值最大，最大值=+，

∴DP的最大值为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

三、解答题

1、 (1)

(2)DQ的最大值为，

(3)N点坐标为或或或，见解析

【解析】

【分析】

（1）根据在抛物线上，可得，再由，可得，即可求解；

（2）过点Q作轴交直线AC于点P，令 ，可得，从而得到，进而得到，，再求出直线AC解析式，然后设，则，可得，即可求解；

（3）先求出平移后的抛物线为．然后分四种情况讨论，即可求解．

(1)

解：∵在抛物线上，

∴，

∵

∴，

将代入中得，，

∴抛物线的表达式为：；

(2)

解：过点Q作轴交直线AC于点P，如图：

当 时，，

解得： ，

∴，即OC=4，

∵OA=4，

∴，

∴，

在Rt△PQD中，，

由、得直线AC解析式为：，

设，则，

∵

∴

∴

∴当时，DQ的最大值为，此时．

(3)

解：存在，N点坐标为或或或．

设平移后满足条件的抛物线为；

∵抛物线过点，∴

∴抛物线沿射线AB的方向平移，设抛物线沿直线平移，

∴抛物线与抛物线的的顶点均在直线上；

∴由直线过点得，，解得；

由直线过得，，则，

又∵，∴，

∴，或（因为对称轴在不满足沿射线AB平移，舍去）

∴，，平移后的抛物线为．

∴对称轴为y轴，

即点M在y轴上，

当四边形ABNM为菱形，点N在x轴的上方时，

∵，．

∴；

当四边形ABN1M1为菱形，点N在x轴的下方时，

∵，．

∴；

当四边形AB M2 N2为菱形时，点N2在x轴上，则A M2垂直平分B N2，

∴O N2=OB，

∴点N2；

当四边形A M3B N3为菱形，A M3=B M3，．

设O M3=a，则B M3=A M3=4-a，

∴ ，解得： ，

∴ ，

∴点N3；

综上所述，N点坐标为或或或．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象和性质，与四边形的综合题，抛物线的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，菱形的性质是解题的关键．

2、

【解析】

【分析】

根据抛物线与轴有交点转化为当时，方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于或等于0，解不等式求解即可．

【详解】

∵抛物线与x轴有交点，

∴方程有两个实数根．

解得.

【点睛】

本题考查了抛物线与轴交点问题，转化为一元二次方程根的判别式是解题的关键．一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

3、 (1)，开口向下，顶点的坐标为

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）按题目要求配方成顶点式，根据顶点式写出开口方向和顶点坐标；

（2）根据解析式列表、描点、连线画二次函数图象

(1)

解：∵，

∴开口向下，顶点的坐标为

(2)

列表：

描点、连线如图，

【点睛】

本题考查了将二次函数化为顶点式，画二次函数图象，掌握顶点式的图象的性质是解题的关键．

4、 (1)

(2)证明见解析

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据函数图象的性质可知，当时，， ，，有，求解即可；

（2）如图，分别过点作交点分别为，设两点横坐标分别为，由题意知：，， ，，；有，，，，故可证；

（3）平移后的二次函数解析式为，与y轴的交点坐标为，可知，有相同的纵坐标，可得，解得，知点横纵标，在点一次函数与二次函数相交，有相同的纵坐标，可得，进而可得的关系．

(1)

解：∵，

∴根据函数图象的性质可知，当时，，

∵

∴

解得．

(2)

证明：如图，分别过点作交点分别为

∴

设两点横坐标分别为，

由题意知：

∴，

∵

∴

∵，

∴

∴

∴．

(3)

解：由题意知，平移后的二次函数解析式为，与y轴的交点坐标为，

∵

∴

∴有相同的纵坐标

∴

解得

故可知点横纵标

∵在点一次函数与二次函数相交，有相同的纵坐标

∴

解得．

【点睛】

本题考查了一次函数与二次函数的综合，相似三角形等知识．解题的关键在于灵活运用知识求解．

5、 (1)

(2)18

(3)1或5

【解析】

【分析】

（1）把点，，代入二次函数解析式：y=ax2+bx+c，求出即可；

（2）分别求出A、B、C、P四点的坐标．利用S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC进行计算；

（3）观察抛物线的图像可直接得到结果．

(1)

解：（1）设二次函数的表达式为（，，为常数，），

由题意知，该函数图象经过点，，，得

，

解得，

∴二次函数的表达式为.

(2)

解：∵

当y=0时，

解得：x1=1，x2=5

∴点A坐标为(1，0)、点B坐标为(5，0)；

当x=0时，y=-5，

∴点C坐标为(0，-5)；

把化为y=-(x-3)2+4

∴点P坐标为(3，4)；

由题意可画图如下：

 ∴S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC

=

＝18，

故答案是：18；

(3)

由图像知：将抛物线向左平移1个单位长度或5个单位长度，抛物线经过原点．

故：m=1或．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的解析式可设为一般式、顶点式或交点式．也考查了二次函数的性质．解题的关键是掌握数形结合能力．