冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步训练题
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这是一份冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步训练题,共22页。试卷主要包含了二次函数y=a+bx+c,若点A等内容,欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数章节测试 考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。第I卷(选择题 30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、二次函数y=ax2﹣4ax+c(a>0)的图象过A(﹣2,y1),B(0,y2),C(3,y3),D(5,y4)四个点,下列说法一定正确的是( )A.若y1y2>0,则y3y4>0 B.若y1y4>0,则y2y3>0C.若y2y4<0,则y1y3<0 D.若y3y4<0,则y1y2<02、将关于x的二次函数的图像向上平移1单位,得到的抛物线经过三点、、,则、、的大小关系是( )A. B. C. D.3、已知点,,都在函数的图象上,则( )A. B. C. D.4、二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,当x>0时,函数值y的取值范围是( )A. B.y≤2 C.y<2 D.y≤35、二次函数y=a+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①﹣4ac>0;②abc<0;③4a+b=0,④4a-2b+c>0;其中正确结论的个数是( )A.4 B.3 C.2 D.16、函数向左平移个单位后其图象恰好经过坐标原点,则的值为( )A. B. C.3 D.或37、已知二次函数的图象如图所示,并且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,下列结论:①;②;③;④.其中正确结论的个数有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8、若关于的一元二次方程的两根分别为,,则二次函数的对称轴为直线( )A. B. C. D.9、若点A(-1,y1),B(0,y2),C(1,y3)都在二次函数y=2x2+x-1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )A.y1<y2><y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y110、如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为x=1,点B坐标为(﹣1,0).则下面的四个结论:①abc>0;②b2﹣4ac>0;③当y<0时,x<﹣1或x>3;④3a+c=0.其中正确的有( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个第Ⅱ卷(非选择题 70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、二次函数的图象的顶点坐标为______.2、点P(m,n)在对称轴为x=1的函数的图像上,则m-n的最大值为____.3、在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于,两点,请写出一个使的的整数值 __.4、将抛物线向右平移4个单位,所得到的抛物线的函数解析式是________.5、据了解,某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨,2021年的蔬菜产量为万吨,如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为,那么关于的函数解析式为_________.三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、(1)解方程:2x2﹣3x﹣1=0;(2)用配方法求抛物线y=x2+4x﹣5的开口方向、对称轴和顶点坐标.2、已知二次函数的图像经过点,,.(1)求二次函数的表达式;(2)若二次函数的图像与轴交于、两点,与轴交于点,其顶点为,则以,,,为顶点的四边形的面积为__________;(3)将二次函数的图像向左平移个单位后恰好经过坐标原点,则的值为__________.3、已知抛物线与x轴有交点,求m的取值范围.4、如图,人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB,喷水口A距地面2m,喷出水流的运动路线是抛物线,如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m,且到地面的距离为3.6m.(1)建立适当平面直角坐标系,确定抛物线解析式;(2)求水流的落地点D到水枪底部B的距离.5、某政府大力扶持大学生创业,李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,月销售量(件)与销售单价(元)之间的关系可看作一次函数:,已知当销售单价定为25元时,李明每月获得利润为1250元.(1)求的值;(2)当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?并求最大利润是多少?(注:利润=(销售单价-进价)×销售量) -参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据函数表达式得出函数的开口方向和对称轴,从而得到y3<y2<y4<y1,再结合题目一一判断即可.【详解】解:由函数表达式可知:函数图像开口向上,对称轴为直线x==2,∵-2<0<2<3<5,∴y3<y2<y4<y1,若y1y2>0,则y3y4>0或y3y4<0,选项A不符合题意,若y1y4>0,则y2y3>0或y2y3<0,选项B不符合题意,若y2y4<0,则y1y3<0,选项C符合题意,若y3y4<0,则y1y2<0或y1y2>0,选项D不符合题意,故选:C.【点睛】本题考查二次函数的性质,二次函数图象上的点的坐标特征,解题的关键是学会利用图象法解决问题,属于中考常考题型.2、C【解析】【分析】根据题意求得平移后的二次函数的对称轴以及开口方向,根据三个点与对称轴的距离大小判断函数值的大小即可【详解】解:∵关于x的二次函数的图像向上平移1单位,得到的抛物线解析式为, ∴新抛物线的对称轴为,开口方向向上,则当抛物线上的点距离对称轴越远,其纵坐标越大,即函数值越大,平移后的抛物线经过三点、、,故选C【点睛】本题考查了二次函数的平移,二次函数的性质,二次函数的对称轴直线x=,图象具有如下性质:①当a>0时,抛物线的开口向上,x<时,y随x的增大而减小;x>时,y随x的增大而增大;x=时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.②当a<0时,抛物线的开口向下,x<时,y随x的增大而增大;x>时,y随x的增大而减小;x=时,y取得最大值,即顶点是抛物线的最高点,掌握二次函数的性质是解题的关键.3、C【解析】【分析】把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、,再比较其大小即可.【详解】解:点,,都在函数的图象上,,,,,故选:C.【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征,掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键.4、A【解析】【分析】根据待定系数求解析式,进而求得顶点坐标,即的最大值,进而即可求得答案【详解】解:∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为,与轴的交点为,与轴的一个交点为,∴另一交点为设抛物线解析式为,将点代入得解得抛物线解析式为则顶点坐标为当x>0时,函数值y的取值范围是故选A【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式,化为顶点式是解题的关键.5、B【解析】【分析】看抛物线与x轴交点个数,判定判别式的符号;根据抛物线开口方向,对称轴与x轴的交点位置,与y轴的交点位置,确定a,b,c的符号;根据对称轴,确定a,b之间的关系;当x= -2时,利用图像,观察直线x=-2与抛物线的交点位置,判定函数值的正负即可.【详解】∵抛物线与x轴有两个不同的交点,∴﹣4ac>0;故①正确;∵抛物线开口向下,与y轴交于正半轴,>0,∴a<0,b>0, c>0,∴abc<0;故②正确;∵,∴4a+b=0,故③正确;x= -2时,y=4a-2b+c,根据函数的增减性,得4a-2b+c<0;故④错误.故选B.【点睛】本题考查了抛物线的图像与各项系数的关系,抛物线与x轴的交点,对称性,增减性,熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.6、C【解析】【分析】把函数解析式整理成顶点式形式,再根据向左平移横坐标减表示出平移后的抛物线解析式,再把原点的坐标代入计算即可得解.【详解】解:,向左平移个单位后的函数解析式为,函数图象经过坐标原点,,解得.故选:C.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换,利用顶点的变化确定函数解析式的变化求解更加简便,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.7、B【解析】【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识,逐个判断即可.【详解】解:抛物线与x轴有两个不同交点,因此b2-4ac>0,故①是错误的;由图象可知,当x=-1时,y=a-b+c>0,因此③是错误的;由开口方向可得,a>0,对称轴在y轴右侧,a、b异号,因此b<0,与y轴交点在负半轴,因此c<0,所有abc>0,因此②正确的;由关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根,就是当y=m时,对应抛物线上有两个不同的点,即(x1,m),(x2,m),由图象可知此时m>-2因此④正确的,综上所述,正确的有2个,故选:B.【点睛】考查二次函数的图象和性质,掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系,是正确判断的前提.8、C【解析】【分析】根据两根之和公式可以求出对称轴公式.【详解】解:∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为−2和4,∴x1+x2=− =2.∴二次函数的对称轴为x=−=×2=1.故选:C.【点睛】本题考查了求二次函数的对称轴,要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式,并熟练运用.9、B【解析】【分析】由题意可知函数图象的对称轴、增减性;根据对称将A转化到对称轴的右侧,得到的坐标表示,然后比较三点横坐标的大小,进而判断三点纵坐标的大小即可.【详解】解:由知该函数图象开口向上,对称轴是直线,在对称轴的右侧,y随x的增加而增大∴点A对称的点的坐标为∵∴故选B.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质.解题的关键在于掌握该函数图象与性质.10、B【解析】【分析】①根据函数图象及函数的对称轴在y轴右侧,则ab<0,而c>0,即可求解;②抛物线和x轴有两个交点,即可求解;③点B坐标为(﹣1,0),点A(3,0),即可求解;④对称轴为x=1,则b=﹣2a,点B(﹣1,0),故a﹣b+c=0,即可求解.【详解】解:①∵函数图象开口向下∴ 又函数的对称轴在y轴右侧,∴ ∴ ∵抛物线与y轴正半轴相交,∴c>0,∴abc<0,故原答案错误,不符合题意;②∵抛物线和x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0正确,符合题意;③∵点B坐标为(﹣1,0),且对称轴为x=1,∴点A(3,0),∴当y<0时,x<﹣1或x>3.故正确,符合题意;④∵函数的对称轴为:x=﹣=1,∴b=﹣2a,∵点B坐标为(﹣1,0),∴a﹣b+c=0,而b=﹣2a,∴ 即3a+c=0,正确,符合题意;故选:B.【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系,要求学生熟悉函数的基本性质,能熟练求解函数与坐标轴的交点等.二、填空题1、【解析】【分析】根据的意义直接解答即可.【详解】解:二次函数的图象的顶点坐标是.故答案为.【点睛】本题考查了二次函数的性质,要熟悉顶点式的意义,并明确:(a≠0)的顶点坐标为(0,c).2、##0.25【解析】【分析】根据题意,可以得到a的值,m和n的关系,然后将m、n作差,利用二次函数的性质,即可得到m−n的最大值,本题得以解决.【详解】解:∵二次函数y=x2+ax+2的对称轴为x=1,∴,解得a=-2,∴二次函数解析式为y=x2-2x+2,∵点P(m,n)在二次函数y=x2-2x+2的图象上,∴n=m2-2m+2,∴m−n=m−(m2-2m+2)=-m2+3m-2=−(m−)2+,∴当m=时,m−n取得最大值,此时m−n=,故答案为:.【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.3、2(答案不唯一)【解析】【分析】根据函数图象可以直接得到答案.【详解】解:如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于,两点,则当的的取值范围是:,的值可以是2.故答案为:2(答案不唯一).【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点坐标,需要学生熟悉二次函数图象的性质并要求学生具备一定的读图能力.4、y=(x-4)2【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标,然后根据向右平移横坐标加,向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标,然后写出即可.【详解】解:抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),向右平移4个单位后的图象的顶点坐标为(4,0),所以,所得图象的解析式为y=(x-4)2,故答案为:y=(x-4)2.【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移,根据平移规律“左加右减,上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键.5、【解析】【分析】根据题意可得2020年的蔬菜产量为,2021年的蔬菜产量为,2021年的蔬菜产量为y万吨,由此即可得.【详解】解:根据题意可得:2020年的蔬菜产量为,2021年的蔬菜产量为,∴,故答案为: .【点睛】题目主要考查二次函数的应用,理解题意,熟练掌握增长率问题是解题关键.三、解答题1、(1) ;(2)抛物线的开口向上,对称轴为直线 ,顶点坐标为【解析】【分析】(1)利用公式法,即可求解;(2)先将抛物线解析式化为顶点式,即可求解.【详解】解:(1) ∵ ,∴ ,∴ ,∴ ;(2) ∴抛物线的开口向上,对称轴为直线 ,顶点坐标为 .【点睛】本题主要考查了解一元二次方程,二次函数的图象和性质,熟练掌握一元二次方程的解法,二次函数的图象和性质是解题的关键.2、 (1)(2)18(3)1或5【解析】【分析】(1)把点,,代入二次函数解析式:y=ax2+bx+c,求出即可;(2)分别求出A、B、C、P四点的坐标.利用S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC进行计算;(3)观察抛物线的图像可直接得到结果.(1)解:(1)设二次函数的表达式为(,,为常数,),由题意知,该函数图象经过点,,,得,解得,∴二次函数的表达式为.(2)解:∵当y=0时,解得:x1=1,x2=5∴点A坐标为(1,0)、点B坐标为(5,0);当x=0时,y=-5,∴点C坐标为(0,-5);把化为y=-(x-3)2+4∴点P坐标为(3,4);由题意可画图如下: ∴S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC==18,故答案是:18;(3)由图像知:将抛物线向左平移1个单位长度或5个单位长度,抛物线经过原点.故:m=1或.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:二次函数的解析式可设为一般式、顶点式或交点式.也考查了二次函数的性质.解题的关键是掌握数形结合能力.3、【解析】【分析】根据抛物线与轴有交点转化为当时,方程有两个实数根,根据一元二次方程根的判别式大于或等于0,解不等式求解即可.【详解】∵抛物线与x轴有交点,∴方程有两个实数根.解得.【点睛】本题考查了抛物线与轴交点问题,转化为一元二次方程根的判别式是解题的关键.一元二次方程 (为常数)的根的判别式,理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键.当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程没有实数根.4、 (1)图解析,y=﹣1.6(x﹣1)2+3.6(2)水流的落地点D到水枪底部B的距离为2.5m.【解析】【分析】(1)依题意,建立直角坐标系(见详解1),依据二次函数的顶点式进行求解即可;(2)结合(1)中的解析式,将距离问题转变为二次函数与横坐标轴的交点问题,求解;(1)由题知,如图,以BD所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立直角坐标系,由题意知,抛物线的顶点为、点;设抛物线的解析式为,将点代入,得:,则抛物线的解析式为,(2)结合(1),可知水流的落地点D到水枪底部B的距离转换为,与横坐标的交点问题;∴ 当y=0时,有,解得:或(舍),∴,答:水流的落地点D到水枪底部B的距离为2.5m.【点睛】本题主要考查二次函数解析式的求解及其实际应用,关键在熟练应用解析结合实际问题;5、 (1)的值是500;(2)当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润,最大利润是2250元【解析】【分析】(1)根据利润=(销售单价-进价)×销售量列方程求解即可;(2)根据利润=(销售单价-进价)×销售量得到w关于x的二次函数关系式,利用二次函数的性质求解即可.(1)解:由题意可得,,解得:,答:的值是500;(2)解:设利润为w元,由题意:,,∵-10<0,∴时,取得最大值,此时, 答:当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润,最大利润是2250元.【点睛】本题考查一元一次方程的应用、二次函数的实际应用,理解题意,根据等量关系正确得到一元一次方程和函数关系式是解答的关键.
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