初中数学第30章 二次函数综合与测试随堂练习题

这是一份初中数学第30章 二次函数综合与测试随堂练习题，共30页。试卷主要包含了已知平面直角坐标系中有点A，抛物线y＝﹣2等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数章节测试 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、若点，都在二次函数的图象上，且，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．2、某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，第3年的销售量为台，则关于的函数解析式为（       ）A． B．C． D．3、一次函数与二次函数的图象交点（　　）A．只有一个 B．恰好有两个C．可以有一个，也可以有两个 D．无交点4、已知平面直角坐标系中有点A（﹣4，﹣4），点B（a，0），二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k的图象必过一定点C，则AB+BC的最小值是（　　）A．4 B．2 C．6 D．35、如图，给出了二次函数的图象，对于这个函数有下列五个结论：①＜0；②ab＞0；③；④；⑤当y＝2时，x只能等于0．其中结论正确的是（   ）A．①④ B．③⑤ C．②⑤ D．③④6、若二次函数与轴的一个交点为，则代数式的值为（       ）A． B． C． D．7、已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论错误的是（       ）A． B． C． D．8、抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴是（　　）A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣49、二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则（　　）A．b＞0，c＞0，Δ＝0 B．b＜0，c＞0，Δ＝0C．b＜0，c＜0，Δ＝0 D．b＞0，c＞0，Δ＞0第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、将抛物线向右平移4个单位，所得到的抛物线的函数解析式是________．2、二次函数 y &#xF03D; 2x2&#xF02B;1 的图象开口方向______．（填“向上”或“向下”）3、已知抛物线经过点．若点在该抛物线上，且，则n的取值范围为______．4、加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y=-0.3x2+1.5x-1，则最佳加工时间为__min．5、已知抛物线与轴相交于，两点.若线段的长不小于2，则代数式的最小值为_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、借鉴我们已有研究函数的经验，探索函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图像与性质，研究过程如下，请补充完整．(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣2﹣101234…y…m03n305…其中，m＝　 　，n＝　 　；(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图像；(3)观察函数图像：①写出该函数的一条性质 　 　；②已知函数y＝x＋4的图像如图所示根据函数图像，直接写出不等式x＋4＜|x2﹣2x﹣3|的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）2、如图，Rt中，．点P从点A出发，沿射线方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A重合时，将线段绕点P旋转使（点在点P右侧），过点作交射线于点M，设点P运动的时间为t（秒）．(1)的长为___________（用含t的代数式表示）(2)当落在的角平分线上时，求此时t的值．(3)设与重叠部分图形的面积为S（平方单位），求S关于t的函数关系式．并求当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？3、某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图，其中AB段为反比例函数图像的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为w（万元）．(1)请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；①求出当4≤x≤8时的函数关系式；②求出当8＜x≤28时的函数关系式．(2)求出这种电子产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；(3)求出年利润的最大值．4、二次函数（、、是常数，）的自变量和函数值部分对应值如下表：…-3-2-101……8545…根据以上列表，回答下列问题：(1)直接写出、的值；(2)求此二次函数的解析式．5、在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，（点在点的左侧），点是抛物线上一点．(1)若，时，用含的式子表示；(2)若，，，的外接圆为，求点的坐标和弧的长；(3)在（1）的条件下，若有最小值，求此时的抛物线解折式 -参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质，当点和在直线的右侧时；当点和在直线的两侧时，然后分别解两个不等式即可得到的范围．【详解】抛物线的对称轴为直线，∵，，当点和在直线的右侧，则，解得，当点和在直线的两侧，则，解得，综上所述，的范围为．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．2、B【解析】【分析】根据增长率问题的计算公式解答．【详解】解：第2年的销售量为，第3年的销售量为，故选：B．【点睛】此题考查了增长率问题的计算公式，a是前量，b是后量，x是增长率，熟记公式中各字母的意义是解题的关键．3、B【解析】【分析】联立解析式得一元二次方程，利用判根公式判断方程的根，方程根的个数即为图象的交点个数．【详解】解：联立一次函数和二次函数的解析式可得：整理得：有两个不相等的实数根与的图象交点有两个故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，图象的交点与方程根的关系．解题的关键在于正确求解．4、C【解析】【分析】将抛物线解析式变形求出点C坐标，再根据两点之间线段最短求出AB+BC的最小值即可．【详解】解：二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k=(x-2)(x-1+k)-2∴函数图象一定经过点C（2，-2）点C关于x轴对称的点的坐标为（2，2），连接，如图，∵∴故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，两点之间线段最短以及勾股定理等知识，明确“两点之间线段最短”是解答本题的关键．5、D【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2-4ac＞0，故①错误；②由抛物线的开口方向向下可推出a＜0；因为对称轴为x==2＞0，又因为a＜0，∴b＞0，故ab＜0；②错误；③由图可知函数经过（-1,0），∴当，，故③正确；④对称轴为x=，∴，故④正确；⑤当y＝2时，，故⑤错误；∴正确的是③④故选：D【点睛】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=−判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．6、D【解析】【分析】把代入即可求出，则，进而可求出代数式的值．【详解】解：二次函数与轴的一个交点为，时，，，，故选：D．【点睛】本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是把代入求出的值．7、B【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：A、函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故A正确，不符合题意；B、函数的对称轴为：x＝−＝1，故2a+b＝0，即，图象与x轴交于点A（−1，0），故当时，，即，故B错误，符合题意；C、图象与x轴交于点A（−1，0），其对称轴为直线x＝1，则图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），故当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，故C正确，不符合题意；D、图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），即x＝3时，y＝9a＋3b＋c＝0，正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．8、A【解析】【分析】直接利用抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4，求得对称轴方程为：x=3．【详解】解：抛物线y=﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴方程为：直线x=3，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，解题的关键是掌握：二次函数的顶点式与对称轴的关系．9、D【解析】【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性质解答．【详解】解：由势力的线与y轴正半轴相交可知c>0，对称轴x=-＜0，得b<0．∴ 所以一次函数y＝﹣bx+c的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．10、B【解析】【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定△的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∵抛物线与x轴有一个交点，∴Δ=0，故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公式．二、填空题1、y=（x-4）2【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．【详解】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），向右平移4个单位后的图象的顶点坐标为（4，0），所以，所得图象的解析式为y=（x-4）2，故答案为：y=（x-4）2．【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．2、向上【解析】【分析】根据二次函数图象的性质，a＞0，抛物线开口向上，a＜0，抛物线开口向下可求解．【详解】∵a=2>0，∴二次函数y=2x2+1图象的开口方向是向上，故答案为：向上．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，由a的符号确定抛物线的开口方向是解题的关键．3、【解析】【分析】将点代入求出抛物线的解析式，再求出对称轴为直线，开口向上，自变量离对称轴越远，因变量越大即可求解．【详解】解：将代入中得到：，解得，∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，根据“自变量离对称轴越远，其对应的因变量越大”可知，当时，对应的最大为：，当时，对应的最小为：，故n的取值范围为：，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，点在抛物线上，将点的坐标代入即可求解．4、2.5．【解析】【分析】根据二次函数的对称轴公式直接计算即可．【详解】解：∵的对称轴为（min），故：最佳加工时间为2.5min，故答案为：2.5．【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键．5、-1【解析】【分析】将抛物线解析式配方，求出顶点坐标为（1，-2）在第四象限，再根据抛物线与x轴有两个交点可得，设为A，B两点的横坐标，然后根据已知，求出的取值范围，再设，配方代入求解即可．【详解】解：== ∴抛物线顶点坐标为（1，-2），在第四象限，又抛物线与轴相交于A，两点.∴抛物线开口向上，即 设为A，B两点的横坐标，∴ ∵线段的长不小于2，∴ ∴ ∴∴∴ 解得， 设当时，有最小值，最小值为：故答案为：-1【点睛】本题主要考查发二次函数的图象与性质，熟记完全平方公式和根与系数的关系是解题的关键．三、解答题1、 (1)5，4(2)见解析(3)①图象具有对称性，对称轴是直线x=1；②x＜-1.6或x＞4.3【解析】【分析】（1）把x=-2和x=1分别代入y=|x2-2x-3|，即可求得；（2）描点、连线画出图象即可；（3）①根据图象即可求得；②根据图象即可求得．【小题1】解：把x=-2代入y=|x2-2x-3|，得y=5，∴m=5，把x=1代入y=|x2-2x-3|，得y=4，∴n=4，故答案为：5，4；【小题2】如图所示；【小题3】①函数的性质：图象具有对称性，对称轴是直线x=1；故答案为：图象具有对称性，对称轴是直线x=1；②由图象可知，不等式x+4＜|x2-2x-3|的解集为x＜-1.6或x＞4.3．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一次不等式，注意利用数形结合的思想是解此题的关键．2、 (1)(2)(3)，当时，S有最大值【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出，然后证明，得到，即，则，，即可得到；（2）延长交BC于D，由，得到，，则再由在∠ABC的角平分线上，，，得到，则，由此求解即可；（3）先求出当点正好落在BC上时，，然后讨论当△ABC与重叠部分即为，然后求出当点M恰好与B重合时，，讨论当时，如图3所示，△ABC与重叠部分即为四边形PMTS，当时，如图4所示，，△ABC与重叠部分即为△BPS，由此求解即可．(1)解：由旋转的性质可得，∵在Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴，∵，，∴，，∴，∴，即，∴，，∴；(2)解：如图所示，延长交BC于D，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵，∴，，∴∵在∠ABC的角平分线上，，，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，解得；(3)解：如图2所示，当点正好落在BC上时，∴，∵，∴，∴，即，∴，又∵，∴，解得，当，如图1所示，△ABC与重叠部分即为，∴此时；当点M恰好与B重合时，此时，∴，解得，当时，如图3所示，△ABC与重叠部分即为四边形PMTS，∴，同理可证，∴，即，，∴，∴，∵， ∴，∴即，∴，∴，∴；当时，如图4所示，，△ABC与重叠部分即为△BPS，同理可证，∴，即，∴，，∴，∴综上所述，∴，∴由二次函数的性质可知，∴当时，S有最大值．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键．3、 (1)①y＝；②y＝－x+28(2)(3)年利润最大为114元【解析】【分析】（1）①当4≤x≤8时，设（k≠0）.将点A（4，40）的坐标代入计算即可；②当8＜x≤28时，设y=k′x+b（k′≠0）. 分别将点B（8，20），C（28，0）的坐标代入y＝k′x+b，计算即可；（2）分4≤x≤8、8＜x≤28两种情况，利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；（3）分4≤x≤8、8＜x≤28两种情况，分别求出w的最大值，进而求解；(1)①当4≤x≤8时，设（k≠0）.将点A（4，40）的坐标代入，得k＝4×40＝160，∴y＝②当8＜x≤28时，设y=k′x+b（k′≠0）. 分别将点B（8，20），C（28，0）的坐标代入y＝k′x+b，得解得∴y＝－x +28(2)当4≤x≤8时，w＝当8＜x≤28时，w=(x－4)y＝(x－4)(－x+28)＝－x2+32x－112＝－(x－16)2+114综上可知，w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式为(3)当4≤x≤8时，∵－640＜0，∴w随x增大而增大，∴当x＝8时，w有最大值，为 当8＜x≤28时，∵－1＜0∴当x＝16时，w有最大值，为114∵80＜114∴当每件的销售价格定为16元时，年利润最大为114元【点睛】本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依据函数图象可得函数关系式为分段函数，解决问题时需要运用分类思想以及数形结合思想进行求解．4、 (1)c=5，m=8(2)y=x²+2x+5【解析】【分析】(1)根据抛物线的对称性及表格中函数值x相等可求出对称轴进而求出m的值；根据自变量x=0可求出抛物线与y轴的交点，即可求得c的值；(2)根据对称轴为x=-1，得到抛物线顶点为(-1,4)，设顶点式为y=a(x+1)2+4，代入其中一个点求出a的值即可求出二次函数解析式．(1)解：根据图表可知：二次函数的图象过点(0，5)，(-2，5)，∴二次函数的对称轴为：直线，∵直线x=-3到对称轴x=-1的距离为2，直线x=1到对称轴x=-1的距离也为3，∴(-3，8)的对称点为(1，8)，∴m=8，当x=0时，由表格中数据可知：c=5．(2)解：∵对称轴是直线x=-1，∴由表格中数据可知：顶点为(-1，4)，设y=a(x+1)2+4，将(0，5)代入y=a(x+1)2+4得，a+4=5，解得a=1，∴这个二次函数的解析式为y=(x+1)2+4=x²+2x+5．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求出函数对称轴是解本题的关键．5、 (1)(2)E点坐标为，弧长为(3)【解析】【分析】（1）将，代入，计算求解即可；（2）将与代入，得到，然后将解析式因式分解，得到点坐标分别为；如图，在直角坐标系中作，连接；点为中点，坐标为；点为中点，坐标为，，，有，，，，，得的值，进而可求出点坐标；，知，，AE= ，根据求解即可；（3），知，， 最小时，有，解得值，故可得值，进而可得出抛物线的解析式．(1)解：将与代入得∴用含的式子表示为．(2)解：将与代入得∴∴点坐标分别为如图，作，连接∴，∴点为中点，坐标为即；点为中点，坐标为即∵∴∴∴∵，，∴∴点坐标为∵∴∴∴AE= ∴的坐标为，的长为．(3)解：由题意知∵，∴∵最小时，有解得∴∴．【点睛】本题考查了代数式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值，三角形相似的判定与性质，三角形的外接圆，弧长等知识．解题的关键与难点在于对知识的熟练掌握并能灵活运用．