冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步达标检测题

九年级数学下册第三十章二次函数专题训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为－1和5，则二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是（       ）

A．x＝－3 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝3

2、同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（       ）

A．  B．

C．  D．

3、已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论中正确的是（       ）

A． B． C． D．

4、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则（　　）

A．b＞0，c＞0，Δ＝0 B．b＜0，c＞0，Δ＝0

C．b＜0，c＜0，Δ＝0 D．b＞0，c＞0，Δ＞0

5、抛物线的顶点为（       ）

A． B． C． D．

6、二次函数y＝a+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0，④4a-2b+c＞0；其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

7、二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A．，， B．，， C．，， D．，，

8、已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（       ）

A．-2 B．-1 C．4 D．7

9、将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（       ）

A． B． C． D．

10、若点，都在二次函数的图象上，且，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为______．

2、将抛物线向右平移4个单位，所得到的抛物线的函数解析式是________．

3、已知二次函数，当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是______．

4、某商品进价为26元，当每件售价为50元时，每天能售出40件，经市场调查发现每件售价每降低1元，则每天可多售出2件，当店里每天的利润要达到最大时，店主应把该商品每件售价降低______元．

5、在东京奥运会跳水比赛中，中国小花全红婵的表现，令人印象深刻．在正常情况下，跳水运动员进行10米跳台训练时，必须在距水面5米之前完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易出现失误．假设某运动员起跳后第t秒离水面的高度为h米，且．那么为了避免出现失误，这名运动员最多有_____秒时间，完成规定的翻腾动作．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，一名垒球运动员进行投球训练，站在点O开始投球，球出手的高度是2米，球运动的轨迹是抛物线，当球达到最高点E时，水平距离EG=20米，与地面的高度EF=6米，掷出的球恰好落在训练墙AB上B点的位置，AB=3米．

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)求点O到训练墙AB的距离OA的长度．

2、已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点．

(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；

(2)联结，试判断与是否相似，并证明你的结论；

(3)抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

3、在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝a+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．

(1)判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；

(2)求a，b的值；

(3)平移抛物线y＝a+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．

4、如图，因疫情防控需要，某校在足够大的空地利用旧墙MN和隔离带围成一个矩形隔离区ABCD，墙长为a米，AD≤MN，矩形隔离区的一边靠墙，其它三边一共用隔离带200米．

(1)a＝30，所围成的矩形隔离区的面积为1800平方米，求所利用旧墙AD的长；

(2)若a＝150．求矩形隔离区ABCD面积的最大值．

5、某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图，其中AB段为反比例函数图像的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为w（万元）．

(1)请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；

①求出当4≤x≤8时的函数关系式；

②求出当8＜x≤28时的函数关系式．

(2)求出这种电子产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；

(3)求出年利润的最大值．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

一元二次方程的两个根分别是和5，则二次函数图象与轴的交点坐标为、，根据函数的对称性即可求解．

【详解】

解：一元二次方程的两个根分别是和5，

则二次函数图象与轴的交点坐标为、，

根据函数的对称性，函数的对称轴为直线，

故选：C．

【点睛】

本题考查抛物线与轴的交点与对称轴的关系，解题的关键是掌握若抛物线与轴交点的横坐标为和，则抛物线的对称轴为．

2、D

【解析】

【分析】

根据一次函数，二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的的符号，再判断即可.

【详解】

解：选项A：由的图象可得：

由的图象可得：则 故A不符合题意；

选项B：由的图象可得：

由的图象可得：则

而抛物线的对称轴为： 则 故B不符合题意；

选项C：由的图象可得：

由的图象可得：则 故C不符合题意；

选项D：由的图象可得：

由的图象可得：则

而抛物线的对称轴为： 则 故D符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键.

3、D

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴确定的符号，进而对所得结论进行判断．

【详解】

解：图象开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧，

得到：，，，，

A、，，，得，故选项错误，不符合题意；

B、对称轴为直线，得，解得，故选项错误，不符合题意；

C、当时，得，整理得：，故选项错误，不符合题意；

D、根据图象知，抛物线与轴的交点横坐标，是一正一负，即，根据，整理得：，根据对称性可得出，则，故选项正确，符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定．

4、B

【解析】

【分析】

根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定△的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．

【详解】

解：∵抛物线的开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴＞0，

∴b＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，

∴c＞0，

∵抛物线与x轴有一个交点，

∴Δ=0，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公式．

5、B

【解析】

【分析】

根据抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k可得顶点坐标是（h，k）．

【详解】

解：∵y=2（x-1）2+3，

∴抛物线的顶点坐标为（1，3），

故选：B．

【点睛】

本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）．

6、B

【解析】

【分析】

看抛物线与x轴交点个数，判定判别式的符号；根据抛物线开口方向，对称轴与x轴的交点位置，与y轴的交点位置，确定a，b，c的符号；根据对称轴，确定a，b之间的关系；当x= -2时，利用图像，观察直线x=-2与抛物线的交点位置，判定函数值的正负即可．

【详解】

∵抛物线与x轴有两个不同的交点，

∴﹣4ac＞0；

故①正确；

∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，＞0，

∴a＜0，b＞0， c＞0，

∴abc＜0；

故②正确；

∵，

∴4a+b＝0，

故③正确；

x= -2时，y=4a-2b+c，

根据函数的增减性，得4a-2b+c＜0；

故④错误.

故选B．

【点睛】

本题考查了抛物线的图像与各项系数的关系，抛物线与x轴的交点，对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．

7、D

【解析】

【分析】

首先根据二次函数图象的开口方向确定，再根据对称轴在轴右，可确定与异号，然后再根据二次函数与轴的交点可以确定．

【详解】

解：抛物线开口向上，

，

对称轴在轴右侧，

与异号，

，

抛物线与轴交于正半轴，

，

故选：．

【点睛】

此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数，

①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．

当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．

②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．

当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）

③．常数项决定抛物线与轴交点． 抛物线与轴交于．

8、C

【解析】

【分析】

根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解

【详解】

解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，

∴，二次函数开口向下

解得，对称轴为

当时，，

经过原点，

根据函数图象可知，当，，

根据对称性可得时，

二次函数图象经过点，

或

不可能是4

故选C

【点睛】

本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．

9、C

【解析】

【分析】

根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．

【详解】

解：因为y=x2-2x+3=（x-1）2+2．

所以将抛物线y=（x-1）2+2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=（x-1+2）2+2-1，即y=（x+1）2+1．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．

10、D

【解析】

【分析】

先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质，当点和在直线的右侧时；当点和在直线的两侧时，然后分别解两个不等式即可得到的范围．

【详解】

抛物线的对称轴为直线，

∵，，

当点和在直线的右侧，则，

解得，

当点和在直线的两侧，则，

解得，

综上所述，的范围为．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，月平均增长率为x，则九月份的产量为万件，十月份医用防护服的产量为万件，从而可得答案.

【详解】

解：十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为

故答案为：

【点睛】

本题考查的是列二次函数关系式，掌握“两次变化后的量=原来量（1+增长率）2”是解本题的关键.

2、y=（x-4）2

【解析】

【分析】

先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．

【详解】

解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），

向右平移4个单位后的图象的顶点坐标为（4，0），

所以，所得图象的解析式为y=（x-4）2，

故答案为：y=（x-4）2．

【点睛】

本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．

3、

【解析】

【分析】

函数图象的对称轴为直线，图象在对称轴的右侧y随x的增大而增大，进而可得自变量x的取值范围．

【详解】

解：由知函数图象的对称轴为直线，图象在对称轴的右侧y随x的增大而增大

∴自变量x的取值范围是

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练把握二次函数的图象与性质．

4、2

【解析】

【分析】

设每件商品售价降低元，则每天的利润为：，然后求解计算最大值即可．

【详解】

解：设每件商品售价降低元

则每天的利润为：，

∵

∴当时，最大为968元

故答案为2．

【点睛】

本题考查了一元二次函数的应用．解题的关键在于确定函数解析式．

5、##1.5

【解析】

【分析】

根据题意，令，解一元二次方程求解即可．

【详解】

依题意

整理得

即

解得（不符合题意，舍）

故答案为：

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意将代入关系式是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)抛物线的关系式为y=-0.01（x-20）2+6；

(2)点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10）米．

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线的顶点设关系式为y=a（x-20）2+6，再根据点C的坐标可得关系式；

（2）把y=3代入可得答案．

(1)

解：由题意得，顶点E（20，6）和C（0，2），

设抛物线的关系式为y=a（x-20）2+6，

∴2=a（0-20）2+6，

解得a=-0.01，

∴抛物线的关系式为y=-0.01（x-20）2+6；

(2)

（2）当y=3时，3=-0.01（x-20）2+6，

解得x1=20+10，x2=20-10（舍去），

答：点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10）米．

【点睛】

本题考查了二次函数的实际应用，利用待定系数法得到抛物线的关系式是解题关键．

2、 (1)，顶点坐标为：；

(2)，证明见解析；

(3)存在点P，，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）根据题意设抛物线解析式为：，将点C代入解得，代入抛物线可得函数解析式；将一般式化为顶点式即可确定顶点坐标；

（2）结合图象，分别求出的三边长，的三边长，由勾股定理逆定理可得为直角三角形，且两个三角形的三条边对应成比例，即可证明；

（3）设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，可得，，利用等腰直角三角形的性质可得，，再由勾股定理可得，设，根据直角坐标系中两点之间的距离利用勾股定理可得，同理可得=，利用代入消元法解方程即可确定点F的坐标，然后求出直线AF的直线解析式，联立抛物线解析式求交点坐标即可得．

(1)

解：抛物线经过点，，，

设抛物线解析式为：，

将点C代入可得：，

解得：，

∴，

∴顶点坐标为：；

(2)

解：如图所示：

为直角三角形且三边长分别为：，，，

的三边长分别为：，

，，

∴，

∴为直角三角形，

∵，

∴；

(3)

解：设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，如（2）中图：

∴，，

∵，

∴，

∴为等腰直角三角形，

∴，，

∴，即

解得：，

设，

∴，，

∴，

整理得：①，

=，

即②，

将①代入②整理得：，

解得：，，

∴，，

∴或（不符合题意舍去），

∴，，

设直线FA解析式为：，将两个点代入可得：

，

解得：，

∴，

∴联立两个函数得：，

将①代入②得：，

整理得：，

解得：，，

当时，，

∴．

【点睛】

题目主要考查待定系数法确定函数解析式，相似三角形得判定和性质，中垂线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

3、 (1)在，见解析

(2)a＝﹣1，b＝2

(3)当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为

【解析】

【分析】

（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；

（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；

（3）设平移后的抛物线为y＝﹣+px+q，其顶点坐标为（，），根据题意得出=，由抛物线y＝﹣+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q=-=，从而得出q的最大值．

(1)

点B是在直线y＝x+m上，理由如下：

∵直线y＝x+m经过点A（1，2），

∴2＝1+m，解得m＝1，

∴直线为y＝x+1，

把x＝2代入y＝x+1得y＝3，

∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；

(2)

∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，

∴抛物线只能经过A、C两点，

把A（1，2），C（2，1）代入y＝a+bx+1得，

解得a＝﹣1，b＝2；

(3)

由（2）知，抛物线为y＝﹣+2x+1，

设平移后的抛物线为y＝﹣+px+q，

∴顶点坐标为（，），

∵其顶点仍在直线y＝x+1上，

∴=，

∴q=-=，

∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．

【点睛】

本题考查了图像与点的关系，待定系数法确定函数解析式，配方法求二次函数最值，熟练掌握待定系数法，灵活配方求最值是解题的关键．

4、 (1)AD=20米；

(2)当x=100时，S最大=5000米2．

【解析】

【分析】

（1）设AD=x，AB=(200-x)÷2=100-，根据长方形面积公式列方程，解方程，根据墙长得出AD=20米；

（2）矩形隔离区ABCD面积用S表示，根据长方形面积公式列出面积函数S=然后配方为S即可．

(1)

解：设AD=x，AB=(200-x)÷2=100-，

∴根据题意得：，

整理得，

解得：，

∵a＝30，

∴AD=20米；

(2)

解：矩形隔离区ABCD面积用S表示，

则S=，

∵a＝150＞100，

∴当x=100时，S最大=5000米2．

【点睛】

本题考查长方形面积，列一元二次方程解图形问题应用题，列二次函数解图形问题的最值问题，掌握长方形面积，列一元二次方程解图形问题应用题，列二次函数解图形问题的最值问题是解题关键．

5、 (1)①y＝；②y＝－x+28

(2)

(3)年利润最大为114元

【解析】

【分析】

（1）①当4≤x≤8时，设（k≠0）.将点A（4，40）的坐标代入计算即可；

②当8＜x≤28时，设y=k′x+b（k′≠0）. 分别将点B（8，20），C（28，0）的坐标代入y＝k′x+b，计算即可；

（2）分4≤x≤8、8＜x≤28两种情况，利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；

（3）分4≤x≤8、8＜x≤28两种情况，分别求出w的最大值，进而求解；

(1)

①当4≤x≤8时，设（k≠0）.

将点A（4，40）的坐标代入，得k＝4×40＝160，

∴y＝

②当8＜x≤28时，设y=k′x+b（k′≠0）.

分别将点B（8，20），C（28，0）的坐标代入y＝k′x+b，得解得

∴y＝－x +28

(2)

当4≤x≤8时，w＝

当8＜x≤28时，w=(x－4)y＝(x－4)(－x+28)＝－x2+32x－112

＝－(x－16)2+114

综上可知，w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式为

(3)

当4≤x≤8时，

∵－640＜0，

∴w随x增大而增大，

∴当x＝8时，w有最大值，为

当8＜x≤28时，

∵－1＜0

∴当x＝16时，w有最大值，为114

∵80＜114

∴当每件的销售价格定为16元时，年利润最大为114元

【点睛】

本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依据函数图象可得函数关系式为分段函数，解决问题时需要运用分类思想以及数形结合思想进行求解．