初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试测试题

这是一份初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试测试题，共33页。试卷主要包含了抛物线的顶点为等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数专题训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、对于抛物线下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．其最大值为-2 C．顶点坐标 D．与x轴有交点
2、函数向左平移个单位后其图象恰好经过坐标原点，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．或3
3、二次函数 的图像如图所示， 现有以下结论： （1） ： （2） ； （3）， （4） ； （5） ； 其中正确的结论有（ ）

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个．
4、若二次函数与轴的一个交点为，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
5、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论正确的是（ ）

A．ac＞0 B．a+b＝1 C．4ac﹣b2≠4a D．a+b+c＞0
6、抛物线的顶点为（ ）
A． B． C． D．
7、将二次函数y=2x2的图像先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数图像的表达式为（ 　）
A．y=2(x+2)2+3 B．y=2(x-2)2+3 C．y=2(x+2)2-3 D．y=2(x-2)2-3
8、如图，在矩形ABCD中，，，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）

A． B．
C． D．
9、如图，若二次函敞的图象过点，且与x轴交点横坐标分别为，，其中，．得出结论：①；②；③；④．上述结论正确的有（ ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
10、若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点（﹣1，1），（4，6），（3，1），则（ ）
A．y≤3 B．y≤6 C．y≥-3 D．y≥6
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米．已知山坡PA的坡度为1：2（即），洞口A离点P的水平距离PC为12米，则小明这一杆球移动到洞口A正上方时离洞口A的距离AE为______米．

2、如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围______．

3、把二次函数的图象关于轴对称后得到的图象的函数关系式为_________．
4、已知抛物线，将此二次函数解析式用配方法化成的形式得__________，此抛物线经过两点A（-2，y1）和，则与的大小关系是_____________．
5、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知抛物线经过，且顶点在y轴上．
(1)求抛物线解析式；
(2)直线与抛物线交于A，B两点．
①点P在抛物线上，当，且△ABP为等腰直角三角形时，求c的值；
②设直线交x轴于点，线段AB的垂直平分线交y轴于点N，当，时，求点N纵坐标n的取值范围．
2、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，求此二次函数表达式．

3、在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是OC的中点，P是抛物线上位于第一象限的动点，连接PD，PB、BD，求面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使点A落在点处，点M是原抛物线对称轴上任意一点，在平移后的新抛物线上确定一点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
4、阅读理解，并完成相应的问题．
如图，重庆轨道2号线是中国西部地区第一条城市轨道交通线路，也是中国第一条跨座式单轨线路，因其列车在李子坝站穿楼而过闻名全国．小军了解到列车从牛角沱站开往李子坝站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小军通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．

(1)建立模型
①收集数据：
r（秒）
0
4
8
12
16
20
24
……
s（米）
256
196
144
100
64
36
16
……
②建立平面直角坐标系为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．
③描点连线：请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接．
④选择函数模型：观察这条曲线的形状，它可能是_______函数的图象．
⑤求函数解析式；
解：设，因为时，，所以，则．
请根据表格中的数据，求a，b的值．（请写出详细解答过程）．

验证：把a，b的值代入中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们_______满足该函数解析式．（填“都”或“不都”）
结论：减速阶段列车离停车线的距离s（米）与减速时间t（秒）的函数关系式为__________．
(2)应用模型
列车从减速开始经过_______秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为_______米．
5、一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．

(1)求抛物线的表达式；
(2)一辆货车高4m，宽2.4m，能否从该隧道内通过，为什么？

-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：由y=（x-1）2-2，可知，a=1＞0，则抛物线的开口向上，
∴A选项不正确；
由抛物线，可知其最小值为-2，∴B选项不正确；
由抛物线，可知其顶点坐标，∴C选项不正确；
在抛物线中，△=b²-4ac=8>0，与与x轴有交点，∴D选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴、顶点坐标以及与x轴的交点坐标的求法是解决问题的关键．
2、C
【解析】
【分析】
把函数解析式整理成顶点式形式，再根据向左平移横坐标减表示出平移后的抛物线解析式，再把原点的坐标代入计算即可得解．
【详解】
解：，
向左平移个单位后的函数解析式为，
函数图象经过坐标原点，
，
解得．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化求解更加简便，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
3、C
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：（1）∵函数开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右边，∴，∴b＞0，故命题正确；
（2）∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故命题正确；
（3）∵当x=-1时，y＜0，∴a-b+c＜0，故命题错误；
（4）∵当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，故命题正确；
（5）∵抛物线与x轴于两个交点，∴b2-4ac＞0，故命题正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
4、D
【解析】
【分析】
把代入即可求出，则，进而可求出代数式的值．
【详解】
解：二次函数与轴的一个交点为，
时，，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是把代入求出的值．
5、D
【解析】
【分析】
由抛物线开口方向及抛物线与轴交点位置，即可得出、，进而判断结论A；由抛物线顶点的横坐标可得出，进而判断结论B；由抛物线顶点的纵坐标可得出，进而判断结论C；由、，进而判断结论D．由此即可得出结论．
【详解】
解：A、抛物线开口向下，且与轴正半轴相交，
，，
，结论A错误，不符合题意；
B、抛物线顶点坐标为，，
，
，即，结论B错误，不符合题意；
C、抛物线顶点坐标为，，
，
，结论C错误，不符合题意；
D、，，
，结论D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是观察函数图象，逐一分析四个选项的正误．
6、B
【解析】
【分析】
根据抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k可得顶点坐标是（h，k）．
【详解】
解：∵y=2（x-1）2+3，
∴抛物线的顶点坐标为（1，3），
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
7、A
【解析】
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【详解】
解：抛物线y=2x2先向左平移2个单位得到解析式：y=2（x+2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=2（x+2）2+3．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
8、D
【解析】
【分析】
分别求出点P在AD，BD上，利用三角形面积公式构建关系式，可得结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，∠A=∠C=90°，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠CDB=30°，
∴BD=2AD=8，
当点P在AD上时，PE⊥BQ

S△PBQ =·BQ·PE
=•（8-2t）•（4-t）•sin60°
=（4-t）2（0＜t＜4），
当点P在线段BD上时，QE’⊥BP

S△PBQ=·BP·QE’
=[12-2(t-4)]•（t-）sin60°
=-t2+t-16（4＜t≤8），
观察图象可知，选项D满足条件，
故选：D．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
9、C
【解析】
【分析】
由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，可判断①，二次函敞的图象过点，结合图象可得：在抛物线上，再求解抛物线的对称轴可判断②，二次函敞的顶点坐标为：可判断③，先利用时的函数值求解的取值范围，从而可判断④，从而可得答案.
【详解】
解：由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，

故①符合题意；
二次函敞的图象过点，结合图象可得：
在抛物线上，
抛物线的对称轴为：


故②符合题意；
二次函敞的顶点坐标为：结合图象可得：
而

故③不符合题意；
当时，


又由图象可得：时，

解得：

故④符合题意；
综上：符合题意的有：①②④
故选C
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象与性质判断代数式的符号”是解本题的关键.
10、C
【解析】
【分析】
根据图像经过三点求出函数表达式，再根据最值的求法求出结果．
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c经过（﹣1，1），（4，6），（3，1），
∴，
解得：，
∴函数表达式为y＝x2-2x-2，开口向上，
∴函数的最小值为=，即y≥-3，
故选C．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的最值，属于基础题，解题的关键是掌握二次函数最值的求法．
二、填空题
1、##
【解析】
【分析】
分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式，在Rt△PAC中，利用PA的坡度为1：2求出AC的长度，把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，求出CE，最后利用AE=CE-AC得出结果．
【详解】
解：以P为原点，PC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，

可知：顶点B（9，12），抛物线经过原点，
设抛物线的解析式为y=a（x-9）2+12，
将点P（0，0）的坐标代入可得：0=a（0-9）2+12，求得a＝−，
故抛物线的解析式为：y=-(x−9)²+12，
∵PC=12，=1：2，
∴点C的坐标为（12，0），AC＝6，
即可得点A的坐标为(12，6)，
当x=12时，y＝−(12−9)²+12＝=CE，
∵E在A的正上方，
∴AE=CE-AC=-6=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．
2、或## 或
【解析】
【分析】
根据图像即可得出时，抛物线的图像在直线的上方，即可得出x的取值范围．
【详解】
如图所示，抛物线与直线的交点为，，
∴当时，或．
故答案为：或．
【点睛】
此题主要考查了二次函数与不等式，正确解读函数图象是解题关键．
3、
【解析】
【分析】
函数的图象关于y轴对称后的顶点坐标为(-1，0)，然后根据顶点式写出解析式．
【详解】
解：的顶点坐标是(1，2)，由于(1，2)关于y轴的对称点为(-1，2)，所以得到的图象的函数解析式是；
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
4、
【解析】
【分析】
（1）利用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式；（2）将与分别代入二次函数解析式中，计算出与的值，并比较大小．
【详解】
（1）解：，
故答案为：．
（2）当 时，
当时，
∴ 与的大小关系是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，以及二次函数的增减性，熟练掌握配方法是解决本题的关键．
5、
【解析】
【分析】
连接PB，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而OQ是△ABP的中位线，即可求解．
【详解】
令，则x＝±4，
故点B（4，0），
∴OB=4
设圆的半径为r，则r＝2，
连接PB，如图，
∵点Q、O分别为AP、AB的中点，
∴OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，
∵C（0，3）
∴OC=3
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
则，
故答案为3.5．

【点睛】
本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识，连接PB并运用三角形中位线定理是本题的关键和难点．
三、解答题
1、 (1)
(2)①c的值为-1，②
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线经过，且顶点在y轴上，待定系数法求解析式即可；
（2）①根据题意作出图形，根据等腰直角三角形的性质可得，根据在抛物线上，代入求解即可，根据图形取舍即可；②设，．把代入中，得，根与系数的关系可得，由勾股定理得，，根据垂直平分线的性质可得，化简可得，进而可得当时，n随k的增大而减小，由可得，进而求得的取值范围
(1)
∵抛物线经过，且顶点在y轴上，
，解得
∴抛物线解析式为.
(2)
①依题意得：当时，轴，
与∠PBA都不可能为90°，
∴只能是，，∴点P在AB的对称轴（y轴）上，
∴点P为抛物线的顶点，即．
不妨设点A在点B的左侧，直线与y轴交于点C．
，，
，
，，
，
，
∴点
把代入中，得：
解得：，（不合题意，舍去）．
∴c的值为-1．

②设，．
把代入中，得，
，由根与系数的关系可得，．

由勾股定理得，
∵点N在AB的垂直平分线上，
，
，
，
化简得．
∵直线与x轴相交，∴点A，B不关于y轴对称，
，
又，
，
，即，
.
将代入，得，
.
由反比例函数的性质，可知：当时，．
在二次函数中，
，对称轴为直线，
∴当时，n随k的增大而减小，
，
.

【点睛】
本题考查了二次函数、一次函数图象与性质，反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的性质，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．
2、y＝﹣x2﹣2x+3
【解析】
【分析】
根据图象确定经过抛物线的三个点，设二次函数解析式为y＝a(x+3)(x﹣1)，再代入(0,3)利用待定系数法计算即可．
【详解】
解：由图象可知，抛物线经过(﹣3，0)、(1，0)、(0，3)，
设抛物线的解析式为：y＝a(x+3)(x﹣1)，
代入点(0,3)，
则3＝a(0+3)(0﹣1)，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的解析式为：y＝﹣(x+3)(x﹣1)，
整理得到：y＝﹣x2﹣2x+3．
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的求法，属于基础题，计算过程中细心即可．
3、 (1)抛物线的解析式为：；
(2)面积的最大值为，此时；
(3)或时，以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．
【解析】
【分析】
（1）将点A、点B的坐标代入抛物线解析式，解方程组即可确定；
（2）根据（1）及题干条件可得，，设直线BD的函数解析式为：，将点D、点B的坐标代入解析式确定直线解析式，过点P作轴，交BD于点F，设，则，可得线段PF长度，结合图形求三角形面积得到解析式，然后化为顶点式，即可确定面积最大值及此时x的值，最后代入点P坐标即可确定；
（3）原抛物线水平向右平移，使点A落在点处，相当于抛物线向右平移2个单位，求出平移后的解析式，然后设，，分两种情况进行讨论：①当BC为平行四边形的边时；②当BC为平行四边形的对角线时；分别利用平行四边形的性质：对角线互相平分求出中点坐标得出方程求解即可得．
(1)
解：将点A、点B的坐标代入抛物线解析式为：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
(2)
解：根据（1）可得：当时，，
∴点，
∵点D是OC的中点，
∴，
设直线BD的函数解析式为：，将点D、点B的坐标代入解析式为：
，
解得：，
∴直线BD的函数解析式为：，
过点P作轴，交BD于点F，

设，则，
∴，
∴
，
，
，
，
∴当时，∴取得最大值为，
当时，，
∴，
故面积的最大值为，此时；
(3)
解：，
原抛物线水平向右平移，使点A落在点处，相当于抛物线向右平移2个单位，
平移后的解析式为：，
点M是原抛物线对称轴上任意一点，，，
设，，
①当BC为平行四边形的边时，如图所示：

根据平行线的对角线互相平分，中点为同一个点，
∴线段BM的中点为：，线段CN的中点为：，
可得：，，
解得：，，
当时，，
，
∴，；
②当BC为平行四边形的对角线时，如图所示：
根据平行线的对角线互相平分，中点为同一个点，
∴线段BC的中点为：，线段MN的中点为：，
可得：，，
解得：，，
当时，，
，
∴，；

综上可得：或时，以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．
【点睛】
题目主要考查利用待定系数法确定二次函数解析式，抛物线上动点面积问题，平行四边形的性质，坐标中两个点的中点坐标等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
4、 (1)二次， 都， s=
(2)32，0.25
【解析】
【分析】
（1）通过描点、连线，观察图形可知，图象可能是二次函数的函数的图象；将点（4，196），（8，144）代入s=at2+bt+256，得a、b的值，再将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式，最后得到结论：减速阶段列车离停车线的距离s（米）与减速时间t（秒）的函数关系式；
（2）让s=0，可求出列车从减速开始到列车停止的时间，然后将t=31代入s=t2-16t+256，即可求最后一秒钟，列车滑行的距离．
(1)
解：描点连线如下图：

由这条曲线的形状可知，它可能是二次函数的函数的图象；
设s=at2+bt+c(a≠0)，因为t=0时，s=256，所以c=256，则s=at2+bt+256，将点（4，196），（8，144）代入s=at2+bt+256，得：
，
解这个方程组得：，
∴s=t2-16t+256，
当t=12时，×122-16×12+256=100，
当t=16时，×162-16×16+256=64，
当t=20时，×202-16×20+256=36，
当t=24时，×242-16×24+256=16，
∴其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式，
∴结论：减速阶段列车离停车线的距离s（米）与减速时间t（秒）的函数关系式为s=t2-16t+256（t≥0）；
(2)
∵列车停止，
∴s=0，
∴t2-16t+256=0，
解这个方程得：t=32，
∴列车从减速开始经过32秒，列车停止；
∴最后一秒钟时31秒，
当t=31时，×312-16×31+256=0.25，
∴最后一秒钟，列车滑行的距离为0.25米．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二元一次方程组的解法、一元二次方程的解法，做题的关键是确定二次函数的解析式．
5、 (1)
(2)货车可以通过，说明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标（4，6），设抛物线的解析式为，将A点坐标代入求解a的值，进而得到抛物线的表达式；
（2）令y=4，代入解析式，得到方程的两根，比较与2.4的大小即可判断货车是否可以通过．
(1)
解：由题意可知，抛物线的顶点坐标（4，6）
设抛物线的解析式为
又∵点A（0，2）在抛物线上
∴
解得
∴抛物线的表达式为：．
(2)
解：令y=4，则有
解得，
∵
∴货车可以通过．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式与应用．解题的关键在于适当的设二次函数解析式的形式．