江苏省泰州市2021-2022学年高三上学期期末考试数学含解析

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂到答题卡相应区域．
1．已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|2x＞1}，则A∩(∁RB)＝
A．(－1，0) B．(0，3) C．(－1，0] D．(－1，3]
2．已知复数z满足|z|＋z＝8＋4i，则z＝
A．3＋4i B．3－4i C．－3＋4i D．－3－4i
3．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的终边上有一点P(－3，4)，则tan2α＝
A．eq \f(7,24) B．eq －\f(7,24) C．eq \f(24,7) D．eq －\f(24,7)
4．在(x＋2)(EQ \F(1,x)＋8)8的展开式中，常数项为
A．27 B．28 C．29 D．30
5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为
A．1 B．2 C．4 D．8
6．“双十二”网购狂欢节是继“双十一”之后的又一次网络促销日．在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额(单位：元)近似服从正态分布N(6000，10000)，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为
(参考数据：P(|X－μ|＜σ)＝0.683，P(|X－μ|＜2σ)＝0.954，P(|X－μ|＜3σ)＝0.997)
A．16 B．18 C．20 D．25
7．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)．当0≤x≤1时，eqf(x)＝3\s\up6(x)＋a，则f(2021)＋f(2022)＝
A．－4 B．－2 C．2 D．4
8．已知2a＝eq \r(,3)，5b＝eq 2\r(,2)，c＝eq \f(4,5)，则a，b，c的大小关系是
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．对于函数f(x)＝sinx＋csx，下列说法正确的有
A．2π是一个周期 B．关于(eq \f(π,2)，0)对称
C．在[0，eq \f(π,2)]的值域为eq [1，\r(,2)] D．在[eq \f(π,4)，π]上递增
10．在平行四边形ABCD中，若eq \\ac(\S\UP7(→),AE)＝eq \f(1,2)eq \\ac(\S\UP7(→),AB)，eq \\ac(\S\UP7(→),AF)＝eq \f(1,2)eq \\ac(\S\UP7(→),AD)，则
A．eq \\ac(\S\UP7(→),EF)＝eq \f(1,2)eq \\ac(\S\UP7(→),BD) B．eq \\ac(\S\UP7(→),AD)＋eq \\ac(\S\UP7(→),CD)＋eq \\ac(\S\UP7(→),BE)＝0
C．eq \\ac(\S\UP7(→),AC)＋2eq \\ac(\S\UP7(→),DF)＋2eq \\ac(\S\UP7(→),BE)＝0 D．若AC⊥BF，eq \\ac(\S\UP7(→),AB)·eq \\ac(\S\UP7(→),AD)＝eq \\ac(\S\UP7(→),BC)2－2eq \\ac(\S\UP7(→),CD)2
11．已知首项为正数的等比数列{an}的公比为q，曲线Cn：eqa\s\d(n)x\s\up6(2)＋a\s\d(n＋1)y\s\up6(2)＝1，则下列叙述正确的有
A．q＝1，Cn为圆 B．q＝－1，Cn离心率为2
B．q＞1，Cn离心率为eq \r(,1－\f(1,q)) D．q＜0，Cn为共渐近线的双曲线
12．如图，两个底面为矩形的四棱锥S－ABCD，S1－ABCD组合成一个新的多面体Γ，其中△SAD，△S1BC为等边三角形，其余各面为全等的等腰直角三角形．平面α∥平面SAD，平面α截多面体Γ所得截面多边形的周长为L，则下列结论正确的有
A．SB⊥BC B．SC⊥AB C．多面体Γ有外接球 D．L为定值S
D
C
A
B
S1
第12题图
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．
13．写出一个公差不为零，且满足a1＋a2－a3＝1的等差数列{an}的通项公式an＝．
14．若直线x－ay＋2a＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则实数a的值为．
15．若函数f(x)＝cs2x＋acsx在(0，eq \f(π,3))上是减函数，则实数a的取值范围为．
16．△ABC的三条边分别为a，b，c，若该三角形绕着三条边a，b，c旋转一周所得几何体的体积分别为Va，Vb，Vc．若Va＝eq \f(1,4)，Vb＝eq \f(1,3)，Vc＝eq \f(1,2)，则csA的值为；若∠BAC＝eq \f(π,6)，VbVc＝1，则Vb2＋Vc2－EQ \F(1,V\S\DO(a)\s\up3(2))的值为．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eqasin2B－\r(,3)bsinA＝0．
(1)求角B的大小；
(2)给出三个条件：①eqb＝\r(,3)；②eqa＋c＝3＋\r(,3)；③csinC＝sinA，试从中选出两个条件，求△ABC的面积．
18．(本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，an＞0，2EQ \R(,S\S\DO(n))＝an＋1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列eq {a\s\d(n)·2\s\up6(a\s\d(n))}的前n项和．
19．(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝2，PB＝BC＝4，eqPA＝PC＝AC＝2\r(,3)．
(1)平面PAC⊥平面ABC；
P
(2)点D是棱BC上一点，eq \\ac(\S\UP7(→),BD)＝λ\\ac(\S\UP7(→),BC)，且二面角B－PA－D与二面角C－PA－D的大小相等，求实数λ的值．
D
C
B
A
20．(本小题镇分12分)
一学校办公楼共有10层，安装了两部电梯I和II．电梯运行方式如下：当某人在某层按键后，离他层距较小的电梯运行；当层距相同时，电梯I先运行．设电梯在每一层运行时间为a．现王老师在第4层准备乘电梯，设等待电梯的时间为随机变量X．
(1)求P(X＝0)；
(2)为了响应国家节能减排号召，学校决定只运行一部电梯．求运行两部电梯比运行一部电梯，王老师在第4层乘电梯平均节省的时间．
21．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的两个顶点坐标为B(－2，0)，C(2，0)，直线AB，AC的斜率乘积为eq \f(1,4)．
(1)求顶点A的轨迹Γ的方程；
(2)过点P(1，0)的直线与曲线Γ交于点M，N，直线BM，CN相交于点Q，求证：eq \\ac(\S\UP7(→),OP)·eq \\ac(\S\UP7(→),OQ)为定值．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ex－ax2－sinx，e为自然对数的底数．
(1)求f(x)在x＝0处的切线方程；
(2)当x≥0时，f(x)≥1－x－sinx，求实数a的最大值；
(3)证明：当eqa＜\f(1,2)时，f(x)在x＝0处取极小值．