2021-2022学年安徽省桐城中学高二上学期综合测试数学试题含解析

安徽省桐城中学2021-2022学年高二上学期综合测试

数学试卷

一、选择题

1. 已知集合，，，

A.  B.  C.  D.

2. 已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是

A.  B. 6 C.  D.

3. 已知，则复数

A. 4 B.  C.  D.

4. 在中，，AB的中点，重心，则BC边所在直线的斜率为

A.  B.  C.  D.

5. 有7名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，取前3名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道7名同学成绩的

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

6. 设向量，，，其中O为坐标原点，，，若A，B，C三点共线，则的最小值为

A. 4 B. 6 C. 8 D. 9

7. 正四面体内放入一个可以自动充气的球，当球和四面体的面相切时，球的半径与该正四面体的高的比值为

A.  B.  C.  D.

8. 某重点高中110周年校庆学校安排了分别标有序号为“1号”、“2号”、“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的序号大于第一辆车的序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二乘坐到“3号”车的概率分别为，，则，分别为

A.  B.  C.  D.

9. ，是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题中正确的命题是

A. 如果，，，那么
B. 如果，，那么
C. 如果，，那么
D. 如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等

10. 下列有关命题的说法正确的是

A. 已知两条直线：，：平行，则
B. 已知直线与垂直，则或
C. 在中，，则是等腰三角形
D. 对于命题P：，，则：，

11. 若将函数的图象所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，再把图像向左平移，最后向上平移1个单位得到函数的图像，则下列说法正确的是

A. 的对称中心
B. 在区间上单调递减
C. 是函数图象的对称轴
D. 在上的最小值为

12. 如图所示，正三棱柱各棱的长度均相等，D为的中点，M、N分别是线段和线段上的动点含端点，且满足，当M、N运动时，下列结论中正确的是

A. 平面平面
B. 在内总存在与平面ABC平行的线段
C. 三棱锥的体积是三棱柱的体积的
D.

13. 校庆杯篮球赛期间，安排了投篮比赛游戏，现有20名同学参加投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响，现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则一名同学投篮得2分的概率为______.
14. 已知直线恒过定点A，点A在直线上，则的最小值为______.
15. 直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则BM与AN所成角的正弦值为______.
16. 已知函数的图像关于对称，且对，，当、，且时，成立，若对任意恒成立，则a的取值范围为______.
17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
    求C；
    若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值．
    
    
    
    
     
18. 已知直线l：
    若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
    若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，求面积的最小值；
    已知，若点P到直线l的距离为d，求d最大时直线l的方程．
    
    
    
    
     
19. 某校有高中生2000人，其中男女生比例约为5：4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为n的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．

根据图表信息，求n，q并补充完整频率分布直方图．估计该校高中生的身高均值；同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表
若身高在的6人中，男生有3人，女生有3人，选出2人参加团委活动，求选出的2人性别不同的概率．

20. 如图，在几何体ABCDEF中，，，，四边形ACFE为矩形，平面平面ABCD，
    求证：；
    点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为，试求的最大值．

21. 已知函数
    解不等式；
    若，若的最小值是，求实数的值．
    
    
    
    
     
22. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
    记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；
    设，求二面角大小的取值范围．
    
    
    
    
    
     

答案

1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BCD

10.【答案】BD
11.【答案】CD
12.【答案】ABD
13.【答案】
14.【答案】9
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：在中，，
由正弦定理可得，
，
，
，
，
由三角形内角的范围可得角
由题意知，
得，
在中，由余弦定理得，当且仅当且，即，时取等号，
所以BD的最小值为
 

18.【答案】解：由，得，
联立，解得，
则直线l：过定点；
由，得，
要使直线不经过第四象限，则，解得
的取值范围是；
如图，由题意可知，，
在中，取，得，取，得，
当且仅当，即时上式“=”成立．
的最小值为4；
点，若点P到直线l的距离为d，
当时，d取得最大值，且为，
由直线PM的斜率为，
可得直线直线l的斜率为，
则直线l的方程为，
即为
 

19.【答案】解：因为身高在区间的频率为，频数为4，
所以，
故，
，
，
所以身高在区间的频率为，
在区间的频率为，
由此可补充完整频率分布直方图如下：

由频率分布直方图可知，样本的身高均值为：
，
由样本估计总体，该校高中生的身高均值为；
身高在的6人中，任选2人，共有种不同的选法，
6人中男生有3人，女生有3人，选出的2人性别不同，则有种不同的选法，
所以选出的2人性别不同的概率为
 

20.【答案】证明：因为四边形ACFE为矩形，所以，
因为平面平面ABCD，且平面平面，所以平面ABCD，
又因为平面ABCD，所以，
解：过C作，交AB于N，
因为，，所以四边形ADCN是菱形，
所以，，
又因为，所以为正三角形，于是，所以，
由知平面ABCD，
因为四边形ACFE为矩形，所以，所以平面ABCD，
所以，，，
所以CA、CB、CF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，设，，则，，
设平面ABM法向量为，
，令，，
因为平面BCF的法向量为，
所以，当时，等号成立．
所以的最大值为
 

21.【答案】解：
，
因为，
所以，即，，
解得，，
故不等式的解集为，
因为，所以，所以，
令，则，开口向上，对称轴为，
当时，在上单调递增，所以，不符合题意；
当时，在上单调递减，所以，解得，不符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，
综上所述，
 

22.【答案】解：平面
证明如下：
，平面ABC，平面ABC，
平面
又平面BEF，平面BEF与平面ABC的交线为l，
而平面PAC，平面PAC，
平面
解法一：设直线l与圆O的另一个交点为D，连结DE，
由知，，而，
平面ABC，
而，
平面PBC，
又平面PBC，
，
是二面角的平面角，，
注意到，
，
，
，
，
即二面角的取值范围是

解法二：由题意，，以CA为x轴，CB为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，
设，，则，，，，
设平面DBF的法向量为，
则由得，取得
易知平面BCD的法向量，
设二面角的大小为，易知为锐角，，
，
即二面角的取值范围是