2021学年3.1 指数函数的概念教课内容课件ppt

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第2课时　指数函数的图象和性质的综合应用
　　　比较幂的大小比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断．也可利用幂函数的性质．(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
　　　 有关指数型函数的性质(1)求复合函数的定义域形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域．求形如y＝af(x)的函数的值域，应先求出u＝f(x)的值域，再由单调性求出y＝au的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．求形如y＝f(ax)的函数的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．
(2)判断复合函数的单调性令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，那么复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．
2．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为(　　)A．3 000×1.06×7元B．3 000×1.067元C．3 000×1.06×8元D．3 000×1.068元[解析]　由题意知，2021年底该地区农民人均收入为3 000×(1＋6%)7＝3 000×1.067，故选B．
[解析]　按规律，C1，C2，C3，C4的底数a依次增大，故选D．
　　　　(1)已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是(　　)A．b＞a＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．a＞b＞c
(2)(2021·永州高一检测)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则(　　)A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a
[归纳提升]　(1)中间值法：当要比较的数底数、指数均不同时，要考虑将1，0等作为中间值进行比较；(2)利用幂函数：对于底数不同，指数相同的数，可以利用对应的幂函数的单调性进行比较．
　　　　(1)若函数f(x)＝2ax＋m－n(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(－1，4)，则m＋n＝(　　)A．3B．1C．－1D．－2(2)要使g(x)＝3x＋1＋t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为(　　)A．t≤－1B．t＞－1 C．t≤－3D．t≥－3
[解析]　(1)因为函数的图象恒过点(－1，4)，所以m－1＝0且2·am－1－n＝4，解得m＝1，n＝－2所以m＋n＝－1.(2)指数函数y＝3x过定点(0，1)，函数g(x)＝3x＋1＋t过定点(0，3＋t)且为增函数，要使g(x)＝3x＋1＋t的图象不经过第二象限，
只须函数g(x)＝3x＋1＋t与y轴的交点的纵坐标不大于0即可，如图所示．即图象不过第二象限，则3＋t≤0，所以t≤－3，则t的取值范围为：t≤－3.
[分析]　此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可根据复合函数的单调性对其讨论．
[归纳提升]　(1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＞a＞1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]单调性．
【对点练习】❸　求函数f(x)＝2x2－6x＋17的定义域、值域、单调区间．[解析]　函数f(x)的定义域为R.令t＝x2－6x＋17，则y＝2t.∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8在(－∞，3)上是减函数，而y＝2t在其定义域内是增函数，∴函数f(x)在(－∞，3)上为减函数．又∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8在[3，＋∞)上为增函数，而y＝2t在其定义域内是增函数，∴函数f(x)在[3，＋∞)为增函数．∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，而y＝2t在其定义域内是增函数，∴f(x)＝2x2－6x＋17≥28＝256，∴函数f(x)的值域为[256，＋∞)．
　　　　设函数f(x)＝kax－a－x(a＞0，且a≠1)是定义在R上的奇函数．(1)求k的值；(2)若f(1)＞0，试判断函数的单调性(不需证明)，并求不等式f(x2＋2x)＋f(4－x2)＞0的解集．
[归纳提升]　指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，求解时一般利用函数奇偶性的定义．
数形结合思想的应用——图形变换技巧1．平移变换当m＞0时，y＝f(x－m)的图象可以由y＝f(x)的图象向右平移m个单位得到；y＝f(x＋m)的图象可以由y＝f(x)的图象向左平移m个单位得到；y＝f(x)＋m的图象可以由y＝f(x)的图象向上平移m个单位得到；y＝f(x)－m的图象可以由y＝f(x)的图象向下平移m个单位得到．
2．对称(翻折)变换y＝f(|x|)的图象可以将y＝f(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部分不变，原y轴左侧部分去掉，画出y轴右侧部分关于y轴对称的图形而得到．y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象位于x轴上方的部分不变，而将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方得到．y＝－f(x)的图象可将y＝f(x)的图象关于x轴对称而得到．y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象关于y轴对称得到．
　　　　画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝－2x；(4)y＝2|x|；(5)y＝|2x－1|；(6)y＝－2－x.[分析]　用描点法作出图象，然后根据图象判断．
[解析]　如图所示．(1)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到的．(2)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到的．(3)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．(4)y＝2|x|的图象是由y＝2x的y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的．(5)y＝|2x－1|的图象是由y＝2x的图象向下平移1个单位，然后将其x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的．(6)y＝－2－x的图象与y＝2x的图象关于原点对称．
2．已知对于任意实数a(a＞0，且a≠1)，函数f(x)＝7＋ax－1的图象恒过点P，则点P的坐标是(　　)A．(1，8)B．(1，7)C．(0，8)D．(8，0)[解析]　在函数f(x)＝7＋ax－1(a＞0，且a≠1)中，当x＝1时，f(1)＝7＋a0＝8.所以函数f(x)＝7＋ax－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P(1，8)．故选A．
3．已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a
4．若函数y＝ax＋(b－1)(a＞0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有(　　)A．a＞1且b＞1B．0＞a＞1且b≤1C．0＞a＞1且b＞0D．a＞1且b≤0[解析]　由函数图象不过第二象限知a＞1，且x＝0时，a0＋(b－1)≤0，∴b≤0，故选D．