初中数学中考二轮专题练习 专题01 函数与平面直角坐标系

知识梳理

一、平面直角坐标系与点的坐标特征

1．平面直角坐标系

如图，在平面内，两条互相垂直的数轴的交点O称为原点，水平的数轴叫__________，竖直的数轴叫__________，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限．

二、特殊点的坐标特征

1．对称点的坐标特征

点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标为__________；关于y轴的对称点P2的坐标为__________；关于原点的对称点P3的坐标为__________．

2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征

平行于x轴：横坐标__________，纵坐标__________；

平行于y轴：横坐标__________，纵坐标__________．

3．各象限角平分线上点的坐标特征

第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标________，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标________．

4．点的平移

将点P(x，y)向右(或向左)平移a个单位，可以得到对应点(x＋a，y)[或(x－a，y)]；将点P(x，y)向上(或向下)平移b个单位，可以得到对应点(x，y＋b)[或(x，y－b)]．

三、距离与点的坐标的关系

1．点与原点、点与坐标轴的距离

点P(x，y)到x轴和y轴的距离分别是|y|和|x|，点P(x，y)到坐标原点的距离为.

四、函数有关的概念及图象

1．函数的概念

一般地，在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有__________确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．

2．常量和变量

在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量．

3．函数的表示方法

函数主要的表示方法有三种：(1)解析法；(2)________；(3)图象法．

4．函数图象的画法

(1)__________：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；(2)__________：以x的值为横坐标，对应y的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；(3)__________：按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点．

五、函数自变量取值范围的确定

确定自变量取值范围的方法：

1．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母__________的实数．

2．当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为__________．

3．当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数．

4．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．

同步小练

1．在平面直角坐标系中，点M(－2,3)在(　　)

A．第一象限      B．第二象限　　　C．第三象限      D．第四象限

2．点M(－2,1)关于x轴对称的点的坐标是(　　)

A．(－2，－1)     B．(2,1)　　　　　C．(2，－1)       D．(1，－2)

3．小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校．小亮的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是(　　)

A．他离家8 km共用了30 min　　　B．他等公交车时间为6 min

C．他步行的速度是100 m/min　　　D．公交车的速度是350 m/min

4．在平面直角坐标系中，点P(－2，x2＋1)所在的象限是(　　)

A．第一象限      B．第二象限　　C．第三象限      D．第四象限

5．函数y＝中自变量x的取值范围是__________．

考点一、平面直角坐标系内点的坐标特征

【例1】若点P(a，a－2)在第四象限，则a的取值范围是(　　)

A．－2＜a＜0      B．0＜a＜2　　C．a＞2           D．a＜0

解析：第四象限点的横坐标大于0，纵坐标小于0，结合点的坐标特征构造不等式组

解这个不等式组得0＜a＜2，故选B.

方法总结 解这类题的关键是明确各象限内点的坐标特征，总结规律，再结合规律列出不等式(组)求解．

触类旁通1  在平面直角坐标系中，如果mn＞0，那么点(m，|n|)一定在(　　)

A．第一象限或第二象限    　　　  B．第一象限或第三象限

C．第二象限或第四象限     　　　 D．第三象限或第四象限

考点二、图形的变换与坐标

【例2】在如图所示的方格纸中，把每个小正方形的顶点称为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形，解决下面的问题：

(1)请描述图中的格点△A′B′C′是由格点△ABC通过哪些变换方式得到的？

(2)若以直线a，b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点C的坐标为(－3,1)，请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积．

分析：(1)→→

(2)→→→

方法总结  在平面直角坐标系中，图形的平移、对称、旋转等变换会引起坐标的变化，同样，坐标的变化也会引起图形的变换，两者紧密结合充分体现了数形结合的思想．

触类旁通2  在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A，C的坐标分别为(－4,5)，(－1,3)．

(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；

(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；

(3)写出点B′的坐标．

解：(1)(2)如图所示．

(3)B′(2,1)．

考点三、函数的概念

【例3】如图，分别给出了变量y与x之间的对应关系，y不是x的函数的是  (    )

考点四、函数图象的应用

【例3】如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到O点的直线距离为s，则s关于t的函数图象大致为(　　)

解析：本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s与t的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O到点A时，s与t成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A到点B时，s不变；(3)当蚂蚁从点B回到点O时，s与t成一次函数关系，且回到点O时，s为零．

答案：C

方法总结  利用函数关系和图象分析解决实际问题，要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数，要看清横坐标和纵坐标表示的是哪两个变量，探求变量和函数之间的变化趋势，仔细观察图象(直线或曲线)的“走势”特点，合理地分析变化过程，准确地结合图象解决实际问题．

触类旁通3  在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程y(千米)随时间(时)变化的图象(全程)如图所示．有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米．其中正确的说法有(　　)

A．1个      　B．2个 　　　     C．3个    　　  D．4个

考点五、函数自变量取值范围的确定

【例4】函数y＝中自变量x的取值范围是(　　)

A．x≥－3      B．x≥－3且x≠1　　C．x≠1        D．x≠－3且x≠1

解析：由题意得x＋3≥0，且x－1≠0，所以x≥－3且x≠1.

答案：B

方法总结  自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义，主要体现在以下几种：①含自变量的解析式是整式：自变量的取值范围是全体实数；②含自变量的解析式是分式：自变量的取值范围是使得分母不为0的实数；③含自变量的解析式是二次根式：自变量的取值范围是使被开方式为非负的实数；④含自变量的解析式既是分式又是二次根式时：自变量的取值范围是它们的公共解，一般列不等式组求解；⑤当函数解析式表示实际问题时：自变量的取值必须使实际问题有意义．

触类旁通4 函数y＝中自变量x的取值范围是(　　)

A．x≤3   　　   B．x＜3   　　   C．x≠3   　　   D．x＞3

解析：　因为被开方数要不为负数，且分母不为零，所以得3－x＞0，所以x＜3.

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(－3,5)关于y轴的对称点的坐标为(　　)

A．(－3，－5)   B．(3,5)　　　　　C．(3，－5)  　　   D．(5，－3)

2． “国际攀岩比赛”在重庆举行，小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为s，下面能反映s与t的函数关系的大致图象是(　　)

3．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是(　　)

A．y＝      B．y＝　　　C．y＝x－3     　 D．y＝

4．小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家300米的报亭，母亲随即按原速度返回家．父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家．则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系的图象分别是__________(只需填写序号)．

同步小练答案

1．B　2．A　3．D

4．B　因为x2≥0，所以x2＋1＞0，故点P在第二象限内．

5．x≠3　因为x－3≠0，所以x≠3.

品鉴经典考题答案

1．B　关于y轴对称的两点的坐标，横坐标相反，纵坐标相同．

3．D　A项中，自变量x的取值范围是x≠3；B项中，x＞3；C项中，x为全体实数．

4．④，②　∵小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回，∴表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象是②；

∵父亲看了10分钟报纸后，用了15分钟返回家，

∴表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象是④.