初中数学中考二轮专题练习 专题01 构造等边三角形

专题1：构造等边三角形

【典例引领】

例：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF。

（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；

（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明。

【强化训练】

1．如图，△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，∠FAC=∠ABC，且∠FAC在AC下方．点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接DE．

（1）若∠ABC=60°，BP=AQ．

①如图1，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；

②如图2，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；

（2）若∠ABC=2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使（1）中①的结论仍然成立（用含α的三角函数表示）．

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．

（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．

（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长．

3．在菱形中，,点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点的位置变化而变化.

（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是         ，与的位置关系是                    ；

（2）当点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，

请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).   

(3) 如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若 , ,求四边形的面积.         

4．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于B、C两点，四边形ABCD为菱形．

（1）如图1，求点A的坐标；

（2）如图2，连接AC，点P为△ACD内一点，连接AP、BP，BP与AC交于点G，且∠APB=60°，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF=AE，连接AF、EF，若∠AFE=30°，求AF2+EF2的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，当PE=AE时，求点P的坐标．