初中数学中考二轮专题练习 专题03 截长补短法

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专题3：截长补短法【典例引领】例题：（2013黑龙江龙东地区）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OEMN于点E，过点B作BF⊥MN于点F。（1）如图1，点O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明。                 【强化训练】1、（2018黑龙江龙东地区）如图，在RtΔBCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F.（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：BC﹣DE=DF.（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示。线段BC、DE和DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明. 2．如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FN⊥BC.（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y。①求y与x的函数关系式；②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.                    3．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在三角形内取一点D，AD＝AC，∠CAD＝30°，求∠ADB．小明通过探究发现，∠DAB＝∠DCB＝15°，BC＝AD，这样就具备了一边一角的图形特征，他果断延长CD至点E，使CE＝AB，连接EB，造出全等三角形，使问题得到解决．（1）按照小明思路完成解答，求∠ADB；（2）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：如图2，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别为BC、AC、AB上一点，连接DE，延长FE、DF分别交BC、CA延长线于点G、H，若∠DHC＝∠EDG＝2∠G．①在图中找出与∠DEC相等的角，并加以证明；②若BG＝kCD，猜想DE与DG的数量关系并证明．             4．【问题情境】在△ABC中，AB=AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE=CF．       图①             图②               图③证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．（不要证明）【变式探究】当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由.请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；