高中第三章 机械波综合与测试学案设计

这是一份高中第三章 机械波综合与测试学案设计，共13页。


一、波的图像与振动图像的综合问题
图1甲为一列简谐横波在t＝2 s时的波形图，图乙为这列波上质点P的振动图像，则下列说法正确的是( )
图1
A．该横波向右传播，波速为0.2 m/s
B．t＝2 s时，质点Q的振动方向为y轴负方向
C．在2～4 s时间内，质点P沿x轴向右平移2.0 m
D．在2～4 s时间内，质点Q通过的路程为10 cm
答案 D
解析 由题图乙知，在t＝2 s时，质点P正通过平衡位置向下振动，根据“上下坡法”可知波向右传播，由题图甲可知波长为λ＝1.6 m，由题图乙可知周期T＝4 s，则波速为v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(1.6,4)m/s＝0.4 m/s，A错误；质点Q与质点P相差半个波长，故振动方向相反，则t＝2 s时，质点Q沿y轴正方向运动，B错误；质点不会随波迁移，只在平衡位置附近振动，C错误；由题图甲可知振幅A＝5 cm，在2～4 s时间内，质点Q通过的路程为s＝2A＝10 cm，D正确．
分析波的图像与振动图像的综合问题，主要有以下两个方面：
(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波长，进而计算波速．
(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后根据波的图像确定波的传播方向．
注意：波的图像对应时刻不一定是振动图像中t＝0的时刻．
二、Δt后波形图的画法
1．平移法：算出波在Δt时间内传播的距离Δx＝vΔt，把波形沿波的传播方向平移Δx.如果Δx较大，可化为Δx＝nλ＋Δx′，由于波的空间周期性，可以去整留零，只需平移Δx′即可，平移波形后一定要注意把图像补画完整．
2．特殊点法：找出波形图一个波形中相邻的几个特殊点(如波峰、波谷、平衡位置等点)，画出这些特殊点在Δt时刻的位置，然后用正、余弦曲线连起来画出波形图，如果Δt较长，可先表示为Δt＝nT＋Δt′.由于时间的周期性，可以去整留零，只需画出特殊点在Δt′时刻的波形图．特殊点法适用于特殊时间，Δt或Δt′必须为eq \f(1,4)T的整数倍才好确定特殊点的位置来画波形．特殊点法画波形图较为简单易行．
如图2甲为某波在t＝1.0 s时的图像，图乙为参与该波动P质点的振动图像．
图2
(1)求该波的波速；
(2)画出Δt＝3.5 s时的波形．
答案 (1)4 m/s (2)见解析图
解析 (1)由题图甲得波长λ＝4 m，由题图乙得周期T＝1.0 s，所以波速v＝eq \f(λ,T)＝4 m/s.
(2)法一：平移法
由题图乙可知1.0 s时质点P向y轴负方向振动，所以题图甲中的波沿x轴负方向传播，传播距离Δx＝vΔt＝4×3.5 m＝14 m＝(3＋eq \f(1,2))λ，所以只需将波形沿x轴负方向平移eq \f(1,2)λ＝2 m即可，如图(a)所示
法二：特殊点法
如图(b)所示，在图中取两特殊质点a、b，因Δt＝3.5 s＝3eq \f(1,2)T，舍弃3，取eq \f(T,2)，找出a、b两质点振动eq \f(T,2)后的位置a′、b′，过a′、b′画出正弦曲线即可．
三、波的多解问题
1．波的传播方向的双向性形成多解
凡是没有指明机械波沿哪个方向传播，就要讨论两个方向的可能性．
2．波的时间的周期性形成多解
机械波在传播过程中，t时刻与t＋nT(n＝1,2…)时刻的波形完全重合，即同一波形图可能是不同时刻形成的．
3．波的空间的周期性形成多解
将某一波形沿波的传播方向平移波长的整数倍的距离，平移后的波形与原波形完全重合，这就是波的空间周期性．
4．质点在振动中情况不明形成多解
在波动问题中，如讲到某质点在某时刻处于最大位移处，就包含有处于正向最大位移处与负向最大位移处两种可能；讲到质点从平衡位置开始振动，就可能是沿y轴正方向或负方向两个方向振动．
一列简谐横波图像如图3所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s，
图3
(1)这列波的周期可能是多大？
(2)这列波可能的波速表达式是怎样的？
(3)若波向左传播，且3T<Δt<4T，波速为多大？
(4)若波速v＝68 m/s，则波向哪个方向传播？
答案 见解析
解析 (1)(2)由题图可知波长λ＝8 m，
当波向右传播时Δt＝nT1＋eq \f(T1,4)
T1＝eq \f(2,4n＋1) s(n＝0,1,2，…)
v右＝eq \f(λ,T1)＝4(4n＋1) m/s(n＝0,1,2，…)
当波向左传播时Δt＝nT2＋eq \f(3,4)T2
T2＝eq \f(2,4n＋3) s(n＝0,1,2，…)
v左＝eq \f(λ,T2)＝4(4n＋3) m/s(n＝0,1,2，…)．
(3)若波向左传播，且3T<Δt<4T
则Δt＝3eq \f(3,4)T，
T＝eq \f(2,15) s，v1＝eq \f(λ,T)＝60 m/s
(4)Δt内波传播的距离为：x＝vΔt＝68×0.5 m＝34 m＝4eq \f(1,4)λ，故波向右传播．
解决波的多解问题的一般思路
1．首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播方向的可能性进行讨论．
2．对设定的传播方向，首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后在此基础上加nT(或nλ)．
3．应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等．所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意．
针对训练 (2019·天津卷改编)一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1 m和x2＝7 m处质点的振动图像分别如图4甲、乙所示，则此列波的传播速率可能是( )
图4
A．7 m/s B.eq \f(7,6) m/s C．1.2 m/s D．1 m/s
答案 C
解析 由两质点的振动图像可知，t＝0时刻，x1＝1 m处的质点处于平衡位置向下运动，x2＝7 m处的质点位于波峰处，该波的周期为T＝4 s．若该简谐横波沿x轴正方向传播，则两质点间的距离为(n＋eq \f(1,4))λ＝6 m(n＝0、1、2…)，则λ＝eq \f(24,4n＋1) m，由波速的公式得v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(6,4n＋1) m/s(n＝0、1、2…)，n＝0时，v＝6 m/s；n＝1时，v＝1.2 m/s；n＝2时，v＝eq \f(2,3) m/s，C正确；若该简谐横波沿x轴负方向传播，则两质点间的距离为(n＋eq \f(3,4))λ＝6 m(n＝0、1、2…)，则λ＝eq \f(24,4n＋3) m，由波速的公式得v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(6,4n＋3) m/s(n＝0、1、2…)，n＝0时，v＝2 m/s；n＝1时，v＝eq \f(6,7) m/s，A、B、D错误．
1．(波的图像与振动图像的综合应用)如图5所示，图(a)为一列简谐横波在t＝0.1 s时刻的波形图，Q是平衡位置为x＝4 m处的质点，图(b)为质点Q的振动图像，则下列说法正确的是( )
图5
A．该波的周期是0.1 s
B．该波的传播速度为40 m/s
C．该波沿x轴正方向传播
D．t＝0.4 s时，质点P的速度方向向上
答案 B
解析 由题图(a)得到该波的波长为λ＝8 m，由题图(b)得到该波的周期为T＝0.2 s，所以波速为v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(8,0.2) m/s＝40 m/s，故A错误，B正确；t＝0.1 s时，Q点处在平衡位置且向下振动，根据波形平移法可知该波沿x轴负方向传播，故C错误；根据振动规律可知t＝0.4 s时，Δt＝0.3 s＝1eq \f(1,2)T，质点P的速度方向向下，故D错误．
2.(Δt后波形图的画法)如图6所示为一列沿x轴负方向传播的简谐横波在某一时刻的图像，请画出再经过eq \f(1,4)T后的波的图像．(T为波源的振动周期)
图6
答案 见解析图
解析 将图像沿x轴负方向平移eq \f(1,4)个波长，如图虚线所示．
3．(波的多解问题)(2020·南昌市期中)一列简谐横波沿直线由A向B传播，A、B相距0.45 m，如图7所示是A处质点的振动图像．当A处质点运动到波峰位置时，B处质点刚好到达平衡位置且向y轴正方向运动，这列波的波速可能是( )
图7
A．4 m/s B．3 m/s
C．1.5 m/s D．0.5 m/s
答案 D
解析 由题图可知该波的周期为0.4 s．由题可知A、B间距和波长的关系为x＝(n＋eq \f(1,4))λ，再由公式v＝eq \f(λ,T)得v＝eq \f(4.5,4n＋1) m/s(n＝0,1,2，…)，当n＝0时，v＝4.5 m/s，当n＝1时，v＝0.9 m/s，当n＝2时，v＝0.5 m/s，选项D正确．
4．(波的多解问题)(2021·绵阳市南山中学高二月考)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t＝0时刻的波形如图8中实线所示，t＝0.1 s时刻的波形如图中虚线所示．波源不在坐标原点O，P是传播介质中平衡位置离坐标原点2.5 m处的一个质点．则以下说法正确的是( )
图8
A．质点P的振幅为0.05 m
B．波的频率可能为0.75 Hz
C．波的传播速度可能为50 m/s
D．在t＝0.1 s时刻，平衡位置与质点P平衡位置相距5 m处的质点一定沿x轴正方向运动
答案 C
解析 质点P的振幅为0.1 m，故A错误；波沿x轴正方向传播，则Δt＝nT＋eq \f(T,4)，周期为T＝eq \f(0.4,4n＋1) s(n＝0,1，2，…)，f＝eq \f(1,T)＝eq \f(4n＋1,0.4) Hz，所以波的频率可能为2.5 Hz,12.5 Hz,22.5 Hz，…，B错误；波速v＝λf＝4×eq \f(4n＋1,0.4) m/s＝(40n＋10) m/s，当n＝1时，v＝50 m/s，C正确；质点只能在其平衡位置附近振动，不可能沿x轴正方向运动，故D错误．
1．(2020·北京市通州区模拟)一简谐横波沿x轴传播，波速为2.0 m/s，该波在t＝0时刻的波形曲线如图1甲所示，x＝0处质点的振动图像如图乙所示．下列说法正确的是( )

图1
A．质点的振动周期为4.0 s
B．这列波的振幅为60 cm
C．该波沿x轴正方向传播
D．t＝0时刻，x＝4 m处的质点沿y轴负方向振动
答案 A
解析 由题图甲可知，波长λ＝8 m，T＝eq \f(λ,v)＝eq \f(8,2.0) s＝4.0 s，故A正确；由题图甲知，这列波的振幅为30 cm，故B错误；t＝0时刻，x＝0处质点向下振动，可知该波沿x轴负方向传播，C错误；根据波沿x轴负方向传播可判断t＝0时刻，x＝4 m处质点沿y轴正方向振动，D错误．
2．如图2为一列沿x轴正方向传播的简谐横波的部分波形图．若该波波速v＝40 m/s，在t＝0时刻波刚好传播到x＝13 m处，下列关于波在t＝0.45 s时的运动情况分析，正确的是( )
图2
A．该波x＝9 m处的质点的位移为5 cm
B．该波x＝11 m处的质点的位移为－5 cm
C．该波x＝11 m处的质点速度方向沿y轴负方向
D．该波刚好传播到x＝18 m处
答案 C
解析 由题图可知，波长为8 m，波速为v＝40 m/s，则T＝eq \f(λ,v)＝eq \f(8,40) s＝0.2 s，因在t＝0时刻波刚好传播到x＝13 m处，则在t＝0.45 s时，波向前传播了2eq \f(1,4)个波形，所以x＝9 m处的质点此时处于波谷，则质点的位移为－5 cm，x＝11 m处的质点处于平衡位置，速度沿y轴负方向，位移为0，因在t＝0.45 s时，波向前传播了2eq \f(1,4)个波形，所以波向前传播的距离为Δs＝eq \f(9,4)λ＝18 m，因此该波刚好传播到x＝31 m处，故A、B、D错误，C正确．
3．(2020·震泽中学模拟)图3甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，图乙为质点P以该时刻之后2 s为计时起点的振动图像，下列说法不正确的是( )
图3
A．该横波向左传播
B．该波的波速为4 m/s
C．从t＝2 s到t＝6 s内，P质点沿x轴向右平移1.6 m
D．从t＝2 s到t＝6 s内，Q质点通过的路程为20 cm
答案 D
解析 从振动图像可得P点在0时刻的振动方向向下，从而波向右传播，所以A错误；由题图知，T＝4.0 s，λ＝1.6 m，由v＝eq \f(λ,T)可得v＝0.4 m/s，所以B错误；质点并不随波迁移，所以C错误；从t＝2 s到t＝6 s内，Q质点通过的路程为4A＝20 cm，所以D正确．
4．(2020·苏州市月考)如图4为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝0时刻的波形图(振动刚传到x＝0.2 m处)，已知该波的周期为0.4 s，a、b、c为沿波传播方向上的质点，则下列说法中正确的是( )
图4
A．质点a比质点b先回到平衡位置
B．在t＝0.4 s时，质点b的速度方向沿y轴负方向
C．在t＝0.6 s时，质点c的速度达到最大值
D．在t＝0.8 s时，质点d的加速度达到y轴负向最大值
答案 D
解析 波沿x轴正方向传播，则质点a、b均沿y轴正方向运动，则质点b比质点a先回到平衡位置，A错误；在t＝0.4 s＝T时，质点回到原来的位置，即b的速度方向沿y轴正方向，B错误；在t＝0.6 s＝1eq \f(1,2)T时，质点c到达波峰，速度为零，C错误；在t＝0.8 s＝2T时，在t＝0时刻的x＝0.05 m处的波峰恰传到d点，此时质点d在波峰位置，它的加速度达到y轴负向最大值，D正确．
5．(2020·山东省实验中学模拟)如图5甲所示为一列简谐横波在某时刻的波动图像，图乙所示为该波中平衡位置在x＝1.5 m处的质点P的振动图像，下列说法正确的是( )
图5
A．该波的波速为2 m/s
B．该波一定沿x轴负方向传播
C．t＝1 s时，质点P的加速度最小，速度最大
D．图甲对应的时刻可能是t＝0.5 s
答案 D
解析 由题图甲可知波长λ＝4 m，由题图乙知周期T＝4 s，则该波的波速v＝eq \f(λ,T)＝1 m/s，故A错误；由于不知题图甲是哪个时刻的波动图像，所以无法在题图乙中找到质点P对应的时刻来判断质点P的振动方向，故无法判断波的传播方向，故B错误；由题图乙可知，t＝1 s时，质点P位于波峰位置，速度最小，加速度最大，故C错误；因为不知道波的传播方向，所以由题图甲中质点P的位置结合题图乙可知，若波向右传播，则对应的时刻为t＝(0.5±4n) s，若向左传播，则对应的时刻为t＝(1.5±4n) s，其中n＝0,1,2,3…，所以当波向右传播，n＝0时，t＝0.5 s，故D正确．
6．一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图6中的实线所示，t＝0.02 s时刻的波形如图中虚线所示，若该波的周期T大于0.02 s，则该波的传播速度可能是( )
图6
A．7 m/s B．3 m/s
C．2 m/s D．5 m/s
答案 B
解析 因T＞0.02 s，若波向右传播，则波传播的距离x1＝0.02 m，则波速v1＝eq \f(x1,t)＝eq \f(0.02,0.02) m/s＝1 m/s；若波向左传播，则波传播的距离x2＝0.06 m，则波速v2＝eq \f(x2,t)＝eq \f(0.06,0.02) m/s＝3 m/s，故B正确．
7.如图7所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距0.15 m．当P运动到上方最大位移处时，Q刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是( )
图7
A．0.60 m B．0.20 m
C．0.15 m D．0.10 m
答案 D
解析 由题意可知，P位于波峰时，Q位于波谷，故两点平衡位置间距0.15 m＝eq \f(λ,2)＋nλ(n＝0,1,2…)，所以波长λ＝eq \f(0.30,1＋2n) m(n＝0,1,2…)，当n＝0时，λ＝0.30 m；当n＝1时，λ＝0.10 m，故选项D正确．
8．(2020·上海师大附中期中)一简谐横波沿x轴方向传播，已知t＝0.1 s时的波形如图8甲所示，图乙是x＝4 m处的质点的振动图像，则下列说法正确的是( )
图8
A．该简谐横波沿x轴正方向传播
B．该简谐横波的波速为10 m/s
C．在t＝0.5 s时，x＝2 m处的质点到达平衡位置，沿y轴正方向运动
D．经过0.4 s，x＝2 m处的质点经过的路程为40 m
答案 B
解析 由题图乙知t＝0.1 s时，x＝4 m处的质点的振动方向沿y轴正方向，结合题图甲知该简谐横波沿x轴负方向传播，选项A错误；根据题图可知波长λ＝4 m，周期T＝0.4 s，所以波速v＝eq \f(λ,T)＝10 m/s，选项B正确；在t＝0.1 s时，x＝2 m处的质点在平衡位置沿y轴负方向运动，由质点振动的周期性可知，x＝2 m处质点再过一个周期又回到平衡位置且沿y轴负方向运动，选项C错误；经过0.4 s，x＝2 m 处的质点经过的路程为4A＝20 cm，选项D错误．
9．(2020·徐州一中高二开学考试)一列简谐横波沿x轴正向传播，振幅为4 cm，周期为T＝6 s．已知在t＝0时刻，质点a坐标为(5 cm，－2 cm)，沿y轴正向运动，质点b坐标为(15 cm,2 cm)，沿y轴负向运动，如图9所示．下列说法正确的是( )
图9
A．a、b两质点可以同时在波峰
B．该列简谐横波波长可能为10 cm
C．在t＝0.5 s时刻质点a的位移为0
D．当质点b在波谷时，质点a不一定在波峰
答案 C
解析 质点a、b振动刚好相反，故两质点振动总是相反，那么两质点一在波峰，另一质点必在波谷，故A、D错误；根据两质点振动总是相反可得两质点平衡位置间的距离10 cm＝(n＋eq \f(1,2))λ(n＝0,1,2，…)，故波长λ＝eq \f(20,2n＋1) cm(n＝0,1,2，…)，故波长不可能为10 cm，故B错误；质点a的振动方程为y＝Asin (ωt＋φ0)＝4sin (eq \f(1,3)πt－eq \f(1,6)π)，当t＝0.5 s时，则有y＝0，即当t＝0.5 s时刻质点a的位移为0，故C正确．
10．(2020·南通市高二期末)一列横波沿x轴正方向传播，在t s与(t＋0.4 s)两时刻的波形正好重合，如图10所示．则( )
图10
A．质点振动周期为0.4 s
B．该波的波速可能为5 m/s
C．在(t＋0.1 s)时刻，x＝－2 m处的质点相对平衡的位移可能为零
D．从t时刻开始计时，x＝3 m处的质点比x＝1 m处的质点先到达波谷位置
答案 C
解析 根据题意得0.4 s＝nT，解得T＝eq \f(0.4,n) s(n＝1,2,3,4…)，A错误；由题图可知，λ＝4 m，根据公式λ＝vT可得v＝eq \f(λ,T)＝10n m/s(n＝1,2,3…)，B错误；t到(t＋0.1 s)时刻，经过了0.1 s，n＝1时，0.1 s＝eq \f(T,4)，所以x＝－2 m处的质点相对平衡位置的位移可能为零，C正确；该波沿x轴正方向传播，t时刻x＝1 m处的质点沿y轴负方向振动，x＝3 m处的质点沿y轴正方向振动，则x＝1 m处的质点比x＝3 m处的质点先到达波谷位置，D错误．
11.一列简谐横波在均匀介质中沿直线传播，P、Q是传播方向上相距10 m的两质点，波先传到P，当波传到Q开始计时，P、Q两质点的振动图像如图11所示．则( )
图11
A．质点Q开始振动的方向沿y轴负方向
B．该波从P传到Q的时间可能为7 s
C．该波的传播速度可能为2 m/s
D．该波的波长可能为 6 m
答案 D
解析 由题图可知，质点Q的起振方向沿y轴正方向，选项A错误；简谐横波的传播方向从P到Q，由题图可知，周期T＝6 s，从P传到Q的时间Δt＝(4＋6n) s(n＝0,1,2…)，即Δt＝4 s,10 s,16 s…，选项B错误；波速v＝eq \f(Δx,Δt)＝eq \f(10,4＋6n) m/s(n＝0,1,2…)，波速v可能为2.5 m/s，1 m/s，0.625 m/s…，选项C错误；波长λ＝vT＝eq \f(60,4＋6n) m(n＝0,1,2…)，可得波长可能为15 m,6 m,3.75 m…，选项D正确．
12.(2020·济南市期末)如图12所示，实线是一列简谐横波在某时刻的波形图，经过Δt＝0.2 s后这列波的图像如图中虚线所示．求：
图12
(1)这列波的波长及振幅；
(2)若这列波沿x轴负方向传播，该波的波速的最小值；
(3)若波速等于45 m/s，则波沿哪个方向传播．
答案 (1)4 m 2 cm (2)15 m/s (3)沿x轴正方向传播
解析 (1)由题图可知，λ＝4 m，A＝2 cm.
(2)若这列波沿x轴负方向传播，
Δt＝(n＋eq \f(3,4))T(n＝0,1,2，…)
则T＝eq \f(4Δt,4n＋3)(n＝0,1,2，…)
v＝eq \f(λ,T)＝5(4n＋3) m/s(n＝0,1,2，…)
n＝0时对应波速最小，vmin＝15 m/s
(3)若波速等于45 m/s，对应的传播距离s＝vΔt＝9 m
满足s＝(2＋eq \f(1,4))λ，则波沿x轴正方向传播．
13．(2020·济南市模拟)一列简谐横波沿x轴传播，t＝0.1 s时的波形图如图13甲所示，图乙为介质中质点A的振动图像．
图13
(1)求波的传播方向及波速；
(2)t＝0.1 s时，波刚好传播到坐标原点O，质点B平衡位置的坐标xB＝－2.5 m(图中未画出)，求质点B处于波峰位置的时刻．
答案 见解析
解析 (1)由题图乙知t＝0.1 s时，质点A正沿y轴负方向运动，由“上下坡法”知，波的传播方向为沿x轴负方向．
由题图甲可知波长λ＝0.1 m，由题图乙可知周期T＝0.2 s
波速为v＝eq \f(λ,T)＝0.5 m/s
(2)波从O点传播到B点所需时间
tOB＝eq \f(xOB,v)
质点B第一次离开平衡位置是向上运动的，到波峰位置所需时间为t1＝(n＋eq \f(1,4))T(n＝0,1,2,3，…)
t′＝tOB＋t＋t1
代入数据得t′＝(5.15＋0.2n) s(n＝0,1,2,3，…)