类型二 与动点有关的探究题（解析版）学案

这是一份类型二 与动点有关的探究题（解析版）学案，共27页。学案主要包含了问题情境，深入探究，拓展应用，解法提示，典例10，典例11，典例12等内容，欢迎下载使用。
类型二 与动点有关的探究题
【典例1】【问题情境】
已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是线段AC上的一个动点(不与A、C重合)，以CE为一边作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，且CD＝CA.沿CA方向平移△CDE，使点C移动到点A，得到△ABF.过点F作FG⊥BC，交线段BC于点G，连接DG、EG.
【深入探究】
(1)如图①，当点E在线段AC上时，小文猜想GC＝GF，请你帮他证明这一结论；
(2)如图②，当点E在线段AC的延长线上，且CE＜CA时，猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
【拓展应用】
(3)如图③，将(2)中的“CE＜CA”改为“CE＞CA”，若设∠CDE＝α，请用含α的式子表示∠CGE的度数(直接回答即可，不必证明)．

第1题图
【答案】(1)证明：∵在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BCA＝∠ABC＝45°，
∵FG⊥BC，
∴∠FGC＝90°，∴∠GFC＝90°－∠GCF＝45°，
∴∠GFC＝∠GCF，
∴GC＝GF；
(2)解：DG＝EG，DG⊥EG；
证明：同(1)可证GC＝GF，
∵∠DCE＝90°，∠BCA＝45°，
∴∠DCG＝45°，
∵∠GFC＝45°，
∴∠DCG＝∠EFG，
∵△CDE平移得到△ABF，
∴CE＝AF，∴CE＋CF＝AF＋CF，即EF＝AC，
∵AC＝CD，∴EF＝CD，∴△DCG≌△EFG(SAS)，
∴DG＝EG，∠DGC＝∠EGF，
∴∠DGC－∠EGC＝∠EGF－∠EGC，
即∠DGE＝∠CGF＝90°，
∴DG⊥EG；
(3)解：∠CGE＝180°－α.
【典例2】综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．


（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．
【答案】（1），，直线的函数表达式为：；（2）当点是线段的三等分点时，点的坐标为或；（3）点的坐标为或．
【解析】
【分析】
（1）令可得两点的坐标，把的坐标代入一次函数解析式可得的解析式；
（2）根据题意画出图形，分别表示三点的坐标，求解的长度，分两种情况讨论即可得到答案；
（3）根据题意画出图形，分情况讨论：①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为．再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案，②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为，再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案．
【详解】
解：（1）令



，，
设直线的函数表达式为：，
把代入得：

解得：
直线的函数表达式为：．
（2）解：如图，根据题意可知，点与点的坐标分别为
，．

，
，
分两种情况：
①当时，得．
解得：，（舍去）
当时，．
点的坐标为
②当时，得．
解得：，（舍去）
当时，
点的坐标为．
当点是线段的三等分点时，点的坐标为或

（3）解：直线与轴交于点，
点坐标为．
分两种情况：
①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．
过点作直线，垂足为．则，
，
．

即
．
又，，

．

连接，点的坐标为，点的坐标为，
轴
．
，．
．
．
点的坐标为．
②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为，
则，
，．
．
即
．
又，，

．．
由①可知，．．
．
．

点的坐标为
点的坐标为或．

【点睛】
本题考查的是二次函数与轴的交点坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中线段的长度的计算，同时考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，特别是分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键．
【典例3】如图，△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D，∠FAC＝∠ABC，且∠FAC在AC下方，点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接DE.
(1)若∠ABC＝60°，BP＝AQ.
①如图①，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；
②如图②，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；
(2)若∠ABC＝2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使(1)中①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示)．

【答案】解：(1)①DE＝AQ，DE∥AQ；
②成立；
【解法提示】如解图①，连接PC、PQ，


∵BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵BC＝AC，∠FAC＝∠PBC＝30°，AQ＝BP，
∴△AQC≌△BPC(SAS)，
∴QC＝PC，∠ACQ＝∠BCP，
∴∠ACQ＋∠ACP＝∠BCP＋∠ACP＝60°，
∴△PCQ是等边三角形，
又PE⊥QC，∴E为QC的中点，
∵AB＝BC，BD⊥AC，
∴D为AC的中点，
∴DE＝AQ，DE∥AQ；
②成立．理由如下：
如解图②，连接PC、PQ.

∵BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，
∵BC＝AC，∠FAC＝∠PBC＝30°，AQ＝BP，
∴△AQC≌△BPC(SAS)，
∴QC＝PC，∠ACQ＝∠BCP，
∴∠PCQ＝∠BCA＝60°，
∴△PCQ是等边三角形，
又∵PE⊥QC，∴E为QC的中点，
∵AB＝BC，BD⊥AC，∴D为AC的中点，
∴DE＝AQ，DE∥AQ；


(2)如解图③，连接PC，取PC中点M，连接MD、ME，设PE与AC交点为N，
∵∠PDC＝90°，
∴MD＝PC，
同理ME＝PC，即MP＝MC＝MD＝ME，
∴P、D、E、C四点共圆，
∴∠NCE＝∠NPD，∠EDC＝∠NPC，
∵DE∥AQ，∴∠QAC＝∠EDC，
又∠QAC＝∠PBC，
∴∠NPC＝∠PBC，
∵∠EPD＋∠NPC＝∠PBC＋∠BCP，
∴∠EPD＝∠BCP，
∴∠NCE＝∠BCP.
由∠NCE＝∠BCP，∠QAC＝∠PBC，得△QAC∽△PBC，
∴＝＝＝2sin∠DBC＝2sin，
即 ＝2sinα.
【典例4】如图，等边△ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形．
(1)如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？
(2)如图②，当点M在线段BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；
(3)若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．


【答案】解：(1)EN＝MF；
【解法提示】如解图①，连接DE、DF，
∵D、E、F是等边△ABC三边中点，
∴△DEF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∵△DMN为等边三角形，∴DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴∠MDF＝∠NDE＝60°＋∠NDF，
∴△DMF≌△DNE(SAS)，∴EN＝MF.

图① 图②
(2)成立．
证明：如解图②，连接DE、DF和EF，
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC.
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DE，DF，EF为三角形的中位线，
∴DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°.
又∵∠MDF＋∠FDN＝60°， ∠NDE＋∠FDN＝60°，
∴∠MDF＝∠NDE.
在△DMF和△DNE中，
∴△DMF≌△DNE(SAS)，∴EN＝FM；
(3)画出图形如解图③，

③
MF与EN相等的结论仍然成立(或EN＝MF成立)．
【解法提示】如解图④，连接DE、EF、DF.
　
④
∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，且△ABC是等边三角形，∴△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°.
∵△DMN是等边三角形，
∴DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴∠MDF＋∠MDE＝∠MDE＋∠NDE，
∴∠MDF＝∠NDE，
∴△MDF≌△NDE(SAS)，
∴MF＝NE.
【典例5】已知，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M为AD边的中点，连接BD，点P是对角线BD上的动点，连接AP，以点P为顶点作∠EPF＝90°，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F.
(1)发现问题
如图①，当点P运动过程中∠PBA与∠PAB互余时，线段BE、MF与AB的数量关系为__________；
(2)解决问题
如图②，当点P运动过程中∠PBA与∠PAB相等时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸
在(2)的条件下，连接EF并延长EF，交直线BD于点G，若BE∶AF＝2∶3，EF＝，求DG的长．

【答案】解：(1)BE－MF＝AB；
【解法提示】如解图①，取AB的中点N，连接PN、PM.

∵∠PBA与∠PAB互余，
∴∠PBA＋∠PAB＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴∠APD＝90°，
∵N是AB的中点，M是AD的中点，
∴PN＝BN＝AN＝AB，AM＝DM＝PM＝AD，
∴∠NAP＝∠NPA，∠MAP＝∠MPA.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AB＝CD，AD＝BC.
∵BC＝2AB，
∴AD＝2AB，
∴＝，
而∠NAP＋∠MAP＝∠BAD＝90°，
∴∠NPA＋∠MPA＝90°，即∠NPM＝90°.
∵∠EPF＝90°，
∴∠NPM＝∠EPF，
∴∠NPM－∠EPM＝∠EPF－∠EPM，
∴∠NPE＝∠MPF.
∵∠ABP＋∠BAP＝90°，∠BAP＋∠DAP＝90°，
∴∠ABP＝∠DAP.
∵PN＝BN，AM＝PM，
∴∠ABP＝∠BPN，∠DAP＝∠MPA，
∴∠ENP＝∠FMP，
∴△PNE∽△PMF，
∴＝＝＝.
∴NE＝MF，
∵BE－NE＝BN，
∴BE－MF＝BN，
又∵BN＝AB，
∴BE－MF＝AB.
(2)不成立；
理由如下：如解图②，取AB的中点N，连接PN、PM，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠PBA＝∠PAB，
∴PA＝PB，
∵N是AB的中点，
∴PN⊥AB，
∴∠ANP＝90°，
∵∠PAB＋∠PAD＝90°，∠PBA＋∠PBC＝90°，
∴∠PAD＝∠PBC，
∴∠PAD＝∠PDA，
∴PA＝PD.
∵M是AD的中点，
∴PM⊥AD，
∴∠PMA＝90°，
∴四边形PMAN是矩形，
∴∠NPM＝90°，AN＝PM，PN＝AM.
∵∠EPF＝90°，
∴∠NPM＝∠EPF，
∴∠NPM－∠EPM＝∠EPF－∠EPM，
∴∠NPE＝∠MPF.
∵∠PNE＝∠PMF＝90°，
∴△PNE∽△PMF，
∴＝＝.
∵AD＝2AB，
∴NE＝2MF.
∵BE－NE＝BN，
∴BE－2MF＝BN，
∵N是AB的中点，
∴BN＝AB，
∴BE－2MF＝AB，故(1)中结论不成立；
(3) 如解图③，延长CD交FG于点H，设BE＝2a，则AF＝3a.

∵BE－2MF＝AB，
∴BE－2(AF－AM)＝AB.
∵AM＝AB，
∴2a－2(3a－AB)＝AB，
∴AB＝a，
∴AD＝a，AE＝a，FD＝a.
∵AE2＋AF2＝EF2，
∴(a)2＋(3a)2＝()2，
解得a1＝3，a2＝－3(舍去)．
∴AE＝2，BE＝6，AF＝9，DF＝7，BD＝8.
∵HD∥AB，
∴△AEF∽△DHF，
∴＝，
∴＝，
∴DH＝.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，即HD∥BE.
∴△GDH∽△GBE，
∴＝，
∴＝，
∴DG＝.
【典例6】已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于F，点H是线段AF上一点．
(1)初步尝试
如图①，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等，过点D作DG∥BC交AC于点G，则GH与AH的数量关系是________，GF与FC的数量关系是________，的值是________；
(2)类比探究
如图②，若在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ADH＝∠A＝30°，且点D，E的运动速度之比是∶1，求的值；
(3)延伸拓展
如图③，若在△ABC中，AB＝AC，∠ADH＝∠A＝36°，记＝m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示.(直接写出结果，不必写出解答过程)

【答案】解：(1)GH＝AH，GF＝FC，2；
【解法提示】∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ADG＝∠AGD＝∠A，
∴△ADG是等边三角形，∴GD＝AD＝CE，
∵DH⊥AC，∴GH＝AH，
∵DG∥BC，
∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF，
在△GDF和△CEF中，
∵，
∴△GDF≌△CEF(ASA)，
∴GF＝CF，
∴GH＋GF＝AH＋CF，即HF＝AC，
∴＝2.
(2)如解图①，过点D作DG∥BC，交AC于点G，


则∠ADG＝∠B＝90°，
∵∠A＝∠ADH＝30°，∴∠HGD＝∠HDG＝60°，
∴△DHG是等边三角形，
∴AH＝GH＝GD，AD＝GD，
根据题意得AD＝CE，∴GD＝CE，
∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF，
在△GDF和△CEF中，
∵，∴△GDF≌△CEF(ASA)，
∴GF＝CF，∴GH＋GF＝AH＋CF，
即HF＝AC，∴＝2；
(3)＝.
【解法提示】如解图②，过点D作DG∥BC，交AC于点G，

则∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，AD＝EC，
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠B＝∠ADG＝∠AGD＝72°，
∵∠ADH＝∠A＝36°，
∴AH＝DH，∠DHG＝72°＝∠AGD，
∴DG＝DH＝AH，
∴△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，
∴△DGH∽△ABC，∴＝＝＝m，∴＝m，
∵DG∥BC，∴△DFG∽△EFC，∴＝，
又∵CE＝AD，∴＝＝m，∴＝＝m，
∴＝＝m，∴＝，
∴＝＝＋1＝.
【典例7】已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．
（1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；
C
P
Q
B
A
M
N
（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
【解析】：（1）过点作，垂足为．则，
C
P
Q
B
A
M
N
当运动到被垂直平分时，四边形是矩形，即时，
四边形是矩形，秒时，四边形是矩形．
，
C
P
Q
B
A
M
N
（2）当时，
当时，
当时，
点评：此题关键也是对P、Q两点的不同位置进行分类。
图（15）
Cc
Dc
Ac
Bc
Qc
Pc
Ec
【典例8】如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．
（1）求边的长；
（2）当为何值时，与相互平分；
（3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？
【解析】：（1）作于点，如图（3）所示，则四边形为矩形．
又 2分
在中，由勾股定理得：
（2）假设与相互平分．由则是平行四边形（此时在上）．
即解得即秒时，与相互平分．
（3）①当在上，即时，作于，则
即=
当秒时，有最大值为
②当在上，即时，=
易知随的增大而减小．故当秒时，有最大值为
综上，当时，有最大值为
【典例9】如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
A
Q
C
D
B
P
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
【解析】：（1）①∵秒，∴厘米，
∵厘米，点为的中点，∴厘米．
又∵厘米，∴厘米，∴．
又∵，∴，∴．
②∵， ∴，
又∵，，则，
∴点，点运动的时间秒，∴厘米/秒．
（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒．
∴点共运动了厘米．
∵，∴点、点在边上相遇，∴经过秒点与点第一次在边上相遇．
【典例10】在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．
（1）求的长． （2）当时，求的值．（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．
【解析】：（1）如图①，过、分别作于，于，则四边形是矩形
∴在中，
在，中，由勾股定理得，
∴
（图①）
A
D
C
B
K
H
（图②）
A
D
C
B
G
M
N






（2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形
∵∴∴∴
由题意知，当、运动到秒时，
∵∴又
A
D
C
B
M
N
（图③）
（图④）
A
D
C
B
M
N
H
E
∴∴即解得，




（3）分三种情况讨论：①当时，如图③，即∴
②当时，如图④，过作于
解法一：由等腰三角形三线合一性质得
在中，又在中，∴解得
∵∴∴即∴
（图⑤）
A
D
C
B
H
N
M
F
③当时，如图⑤，过作于点.
解法一：（方法同②中解法一）
解得
解法二：
∵∴
∴即∴
综上所述，当、或时，为等腰三角形
A
B
O
C
D
P
Q
【典例11】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90o，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端
点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．
(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
(2)当t为何值时，PQ与⊙O相切？
【解析】：(1)∵直角梯形
当时，四边形为平行四边形．
由题意可知：
，，
当时，四边形为平行四边形．
O
A
P
D
B
Q
C
H
E
O
A
P
D
B
Q
C





（2）解：设与相切于点过点作垂足为
直角梯形
由题意可知：
为的直径，为的切线
在中，即：
， 7分
因为在边运动的时间为秒，而（舍去）
当秒时，与相切．
【典例12】如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm()，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；
（2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
A
B
D
C
P
Q
M
N






【解析】：
（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．
①当点P与点N重合时，
（舍去）．因为BQ+CM=，此时点Q与点M不重合．所以符合题意．
②当点Q与点M重合时，
．此时，不符合题意．故点Q与点M不能重合．
所以所求x的值为．
（2）由（1）知，点Q 只能在点M的左侧，
①当点P在点N的左侧时，由，解得．
当x=2时四边形PQMN是平行四边形．
②当点P在点N的右侧时，由， 解得．
当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x>x，所以点E一定在点P的左侧．
若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，
即．解得．
由于当x=4时， 以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以,以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯.