类型三 与折叠有关的探究题（解析版）学案

类型三  与折叠有关的探究题

【典例1】已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．

（1）特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP＝AC；

（2）变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝6，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP的长；

（3）化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2），4或3；（3）6≤a＜.

【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形的性质，运用等边三角形内角都为60°以及三边相等进行求解．

（2）根据相似三角形的性质，运用对应边成比例以及勾股定理进行求解．

（3）根据三角函数以及三线合一性质，运用勾股定理以及比例关系进行求解．

【详解】

（1）证明：∵AC＝BC，∠C＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC＝AB，∠A＝60°，

由题意，得DB＝DP，DA＝DB，

∴DA＝DP，

∴△ADP使得等边三角形，

∴AP＝AD＝AB＝AC．

（2）解：∵AC＝BC＝6，∠C＝90°，

∴AB＝＝＝12，

∵DH⊥AC，

∴DH∥BC，

∴△ADH∽△ABC，

∴＝，

∵AD＝7，

∴＝，

∴DH＝，

将∠B沿过点D的直线折叠，

情形一：当点B落在线段CH上的点P1处时，如图2﹣1中，

∵AB＝12，

∴DP1＝DB＝AB﹣AD＝5，

∴HP1＝＝＝，

∴A1＝AH+HP1＝4，

情形二：当点B落在线段AH上的点P2处时，如图2﹣2中，

同法可证HP2＝，

∴AP2＝AH﹣HP2＝3，

综上所述，满足条件的AP的值为4或3．

（3）如图3中，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DP⊥AC于P．

∵CA＝CB，CH⊥AB，

∴AH＝HB＝6，

∴CH＝＝＝8，

当DB＝DP时，设BD＝PD＝x，则AD＝12﹣x，

∵tanA＝＝，

∴＝，

∴x＝，

∴AD＝AB﹣BD＝，

观察图形可知当6≤a＜时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置．

【典例2】实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平．

问题解决：

（1）如图1，填空：四边形的形状是_____________________；

（2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；

（3）如图2，若，求的值．

【答案】（1）正方形；（2），见解析；（3）

【解析】

【分析】

（1）有一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形是正方形；

（2）连接，由（1）问的结论可知，，又因为矩形纸片沿过点E的直线折叠，可知折叠前后对应角以及对应边相等，有，，，可以证明和全等，得到，从而有；

（3）由，有；由折叠知，，可以计算出；用勾股定理计算出DF的长度，再证明得出等量关系，从而得到的值．

【详解】

（1）解：∵ABCD是平行四边形，

∴，

∴四边形是平行四边形

∵矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处

∴

∴

∵

∴四边形的形状是正方形

故最后答案为：四边形的形状是正方形；

（2）

理由如下：如图，连接，由（1）知：

∵四边形是矩形，

∴

由折叠知：

∴

又，

∴

∴

∴

（3）∵，∴

由折叠知：，∴

∵

∴

设，则

在中，由勾股定理得：

解得：，即

如图，延长交于点G，则

∴

∴

∴

∵，∴

∴

【点睛】

（1）本问主要考查了正方形的定义，即有一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形是正方形，其中明确折叠前后对应边、对应角相等是解题的关键；

（2）本问利用了正方形的性质以及折叠前后对应边、对应角相等来证明三角形全等，再根据角相等则边相等即可做题，其中知道角相等则边相等的思想是解题的关键；

（3）本问考查了全等三角形、相似三角形的性质、角相等则正切值相等以及勾股定理的应用，其中知道三角形相似则对应边成比例是解题的关键．

【典例3】如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上的点F处.

（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？

（2）如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的长.

【解析】（1）由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ=∠AMP=∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；（2）先证明MD=MQ，然后根据sin∠DMF=DFMD=35，设DF=3x，MD=5x，再分别表示出AP，BP，BQ，根据△AMP∽△BPQ，列出比例式解方程求解即可.

解：（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD.

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°.

由折叠的性质可知∠APM=∠EPM，∠EPQ=∠BPQ.

∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°.

∵∠APM+∠AMP=90°，∴∠BPQ=∠AMP.

∴△AMP∽△BPQ.

同理：△BPQ∽△CQD.

根据相似的传递性可得△AMP∽△CQD；

（2）∵AD∥BC，∴∠DQC=∠MDQ.

由折叠的性质可知∠DQC=∠DQM.

∴∠MDQ=∠DQM.∴MD=MQ.

∵AM=ME，BQ=EQ，

∴BQ=MQ-ME=MD-AM.

∵sin∠DMF=，则设DF=3x，MD=5x，则BP=PA=PE=，BQ=5x-1.

∵△AMP∽△BPQ，∴，即，解得x=（舍去）或x=2，∴AB=6.

【典例4】如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′．

（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′=　 　；

（2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；

（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长．

【思路点拨】（1）根据点B，C′，D在同一直线上得出BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC求出即可；

（2）利用垂直平分线的性质得出CC′=DC′=DC，则△DC′C是等边三角形，进而利用勾股定理得出答案；

（3）利用①当点C′在矩形内部时，②当点C′在矩形外部时，分别求出即可．

【答案与解析】

解：（1）如图1，∵点B，C′，D在同一直线上，

∴BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC=10﹣6=4；

故答案为：4；

（2）如图2，连接CC′，

∵点C′在AB的垂直平分线上，

∴点C′在DC的垂直平分线上，

∴CC′=DC′=DC，则△DC′C是等边三角形，

设CE=x，易得DE=2x，

由勾股定理得：（2x）2﹣x2=62，

解得：x=2，

即CE的长为2；

（3）作AD的垂直平分线，交AD于点M，交BC于点N，分两种情况讨论：

①当点C′在矩形内部时，如图3，

∵点C′在AD的垂直平分线上，

∴DM=4，

∵DC′=6，

由勾股定理得：MC′=2，

∴NC′=6﹣2，

设EC=y，则C′E=y，NE=4﹣y，

故NC′2+NE2=C′E2，

即（6﹣2）2+（4﹣y）2=y2，

解得：y=9﹣3，

即CE=9﹣3；

②当点C′在矩形外部时，如图4，

∵点C′在AD的垂直平分线上，

∴DM=4，

∵DC′=6，

由勾股定理得：MC′=2，

∴NC′=6+2，

设EC=z，则C′E=a，NE=z﹣4

故NC′2+NE2=C′E2，

即（6+2）2+（z﹣4）2=z2，

解得：z=9+3，

即CE=9+3，

综上所述：CE的长为9±3．

【总结升华】此题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识；利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．

【典例5】如图所示，有一块面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别为AD、BC的边上中点，将C点折至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ．
（1）求MP的长；
（2）求证：以PQ为边长的正方形的面积等于.

【答案】（1）解：连接BP、PC，由折法知点P是点C关于折痕BQ的对称点．
∴BQ垂直平分PC，BC=BP．
又∵M、N分别为AD、BC边上的中点，且四边形ABCD是正方形，
∴BP=PC．
∴BC=BP=PC．
∴△PBC是等边三角形．
∵PN⊥BC于N，BN=NC=BC=，∠BPN=×∠BPC=30°，
∴PN=，MP=MN-PN=．
 

（2）证明：由折法知PQ=QC，∠PBQ=∠QBC=30°．
在Rt△BCQ中，QC=BC•tan30°=1×=，
∴PQ=．
∴以PQ为边的正方形的面积为．

【典例6】已知：矩形纸片中，AB=26厘米，厘米，点E在AD上，且厘米，点P是AB边上一动点，按如下操作：

步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕（如图（1）所示）；

步骤二，过点P作交所在的直线于点Q，连结QE（如图（2）所示）；

（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ            QE（填“＞”、“=”、“＜”号 ）

（2）如图（3）所示，将矩形纸片放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：

①当点P在A点时，与交于点点的坐标是（             ，            ）；

②当厘米时，与交于点，点的坐标是（             ，           ）；

③当厘米时，在图（3）中画出，（不要求写画法）并求出与的交点的坐标；

（3）点P在在运动过程中，与形成一系列的交点，…观察，猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式.

 （1）            （2） （3）

【思路点拨】（1）根据折叠的特点可知△NQE≌△NQP，所以PQ=QE．
（2）过点E作EG⊥Q3P，垂足为G，则四边形APGE是矩形．设Q3G=x，则Q3E=Q3P=x+6．利用Rt△Q3EG中的勾股定理可知x=9，Q3P=15．即Q3（12，15）．
（3）根据上述的点的轨迹可猜测这些点形成的图象是一段抛物线，利用待定系数法可解得函数关系式：y=x2+3（0≤x≤26）．
【答案与解析】

（1）由折叠的特点可知△NQE≌△NQP，所以PQ=QE．
（2）①（0，3）；②（6，6）．
③画图，如图所示．
过点E作EG⊥Q3P，垂足为G，则四边形APGE是矩形．
∴GP=6，EG=12．
设Q3G=x，则Q3E=Q3P=x+6．
在Rt△Q3EG中，∵EQ32=EG2+Q3G2
∴x=9．
∴Q3P=15．
∴Q3（12，15）

（3）这些点形成的图象是一段抛物线．
函数关系式：y=x2+3（0≤x≤26）．

【总结升华】本题是一道几何与函数综合题，它以“问题情境--建立模型--解释、应用与拓展”的模式，通过动点P在AB上的移动构造探究性问题，让学生在“操作、观察、猜想、建模、验证”活动过程中，提高动手能力，培养探究精神，发展创新思维．