类型四 二次函数与角度有关的问题（解析版）学案

这是一份类型四 二次函数与角度有关的问题（解析版）学案，共19页。
类型二二次函数与角度问题【典例1】已知抛物线过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图1，E为线段上方的抛物线上一点，，垂足为F，轴，垂足为M，交于点G．当时，求的面积；（3）如图2，与的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．   【答案】（1），；（2）；（3）存在，,【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标；（2）先求出BC的解析式，再设直线EF的解析式为,设点E的坐标为，联立方程求出点F，G的坐标，根据列出关于m的方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；（3）过点A作AN⊥HB，先求得直线BD，AN的解析式，得到H，N的坐标，进而得到，设点，过点P作PRx轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR，证明，根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求得后即可得到点P的坐标．【详解】（1）把点A（-1，0），C（0，3）代入中，，解得，，当时，y=4，（2）令或x=3设BC的解析式为将点代入，得，解得，设直线EF的解析式为,设点E的坐标为，将点E坐标代入中，得，把x=m代入即解得m=2或m=-3∵点E是BC上方抛物线上的点∴m=-3舍去∴点（3）过点A作AN⊥HB，∵点∵点，点设，把（-1，0）代入，得b= 设点过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR且点S的坐标为若在和中，或【点睛】本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第3问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解．【典例2】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为N．（1）若此抛物线过点，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接，C为抛物线上一点，且位于线段的上方，过C作垂直x轴于点D，交于点E，若，求点C坐标；（3）已知点，且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当时，求抛物线的解析式．   【答案】（1）（2）C（-2,4）（3）．【解析】【分析】（1）把代入即可求解；（2）根据题意作图，求出直线AB的解析式，再表示出E点坐标，代入直线即可求解；（3）先求出定点H，过H点做HI⊥x轴，根据题意求出∠MHI=30°，再根据题意分情况即可求解．【详解】（1）把代入得-9-3k-2k=1解得k=-2∴抛物线的解析式为；（2）设C（t, ）,则E（t, ）,设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（-3，1），（0,4）代入得解得∴直线AB的解析式为y=x+4∵E（t, ）在直线AB上∴=t+4解得t=-2（舍去正值），∴C（-2,4）；（3）由=k（x-2）-x2,当x-2=0即x=2时，y=-4故无论k取何值，抛物线都经过定点H（2，-4）二次函数的顶点为N（）1°如图，过H点做HI⊥x轴，若＞2时，则k＞4∵，H（2，-4）∴MI=，∵HI=4∴tan∠MHI= ∴∠MHI=30°∵∴∠NHI=30°即∠GNH=30°由图可知tan∠GNH=解得k=4+2，或k=4（舍）2°如图，若＜2，则k＜4同理可得∠MHI=30°∵∴HN⊥IH，即解得k=4不符合题意；3°若=2，N、H重合，舍去．∴k=4+2∴抛物线的解析式为． 【典例3】已知抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，，过点作轴的平行线与抛物线交于点，抛物线的顶点为，直线经过、两点.（1）  求此抛物线的解析式；（2）连接、、，试比较和的大小，并说明你的理由.【答案】解：（1）∵CD∥x轴且点C（0，3），∴设点D的坐标为(x，3) ．∵直线y= x+5经过D点，∴3= x+5．∴x=－2．即点D(－2，3) ．根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（－1，y），又∵直线y= x+5经过M点，∴y =－1+5，y =4．即M（－1，4）．∴设抛物线的解析式为．∵点C（0，3）在抛物线上，∴a=－1．即抛物线的解析式为．（2）作BP⊥AC于点P，MN⊥AB于点N．由（1）中抛物线可得点A（－3，0），B（1，0），∴AB=4，AO=CO=3，AC=．∴∠PAB＝45°．∵∠ABP=45°，∴PA=PB=．∴PC=AC－PA=．在Rt△BPC中，tan∠BCP==2．在Rt△ANM中，∵M（-1，4），∴MN=4．∴AN=2．tan∠NAM==2．∴∠BCP＝∠NAM．即∠ACB＝∠MAB．【典例4】在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点N（2,－5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】解：（1）∵过点M、N（2，－5），，由题意，得M（，）.∴ 解得  ∴此抛物线的解析式为.（2）设抛物线的对称轴交MN于点G，若△DMN为直角三角形，则.∴D1（，），（，）. 直线MD1为，直线为.将P（x，）分别代入直线MD1，的解析式，得①，②.解①得 ，（舍），∴（1,0）.  解②得 ，（舍），∴（3,－12）.  （3）设存在点Q（x，），使得∠QMN=∠CNM.① 若点Q在MN上方，过点Q作QH⊥MN，交MN于点H，则.即. 解得，（舍）.∴（，3）. ② 若点Q在MN下方，同理可得（6，）.  【典例5】平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D．   (1) 求此抛物线的解析式；  (2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；    (3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为，若，求点Q的坐标和此时△的面积．          【答案】（1）∵ ，∴ 抛物线的对称轴为直线．∵ 抛物线与x轴交于   点A、点B，点A的坐标为，∴ 点B的坐标为，OB＝3．可得该抛物线的解析式为．∵ OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，∴ OC=3，点C的坐标为．将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．∴ 此抛物线的解析式为．（如图9）       （2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点，点关于x轴的对称点为点，点、点均为所求点.（如图10）            可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上． ∵ 、都是弧AB所对的圆周角，∴ ，且射线FE上的其它点P都不满足．由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线上．            ∴ 点E的坐标为．∴ 由勾股定理得 ．∴ ．∴ 点的坐标为．由对称性得点的坐标为． ∴符合题意的点P的坐标为、.（3）∵ 点B、D的坐标分别为、，可得直线BD的解析式为，直线BD与x轴所夹的锐角为45°．∵ 点A关于∠AQB的平分线的对称点为，（如图11）若设与∠AQB的平分线的交点为M，则有 ，，，Q，B，三点在一条直线上．∵ ，∴ 作⊥x轴于点N．∵ 点Q在线段BD上， Q，B，三点在一条直线上，∴ ，．∴ 点的坐标为． ∵ 点Q在线段BD上，∴ 设点Q的坐标为，其中．∵ ，∴ 由勾股定理得 ．解得．经检验，在的范围内．∴ 点Q的坐标为． 此时．【典例6】已知，抛物线与x轴交于点A（－2,0）、B（8,0），与y轴交于点C（0，－4）。直线y=x+m与抛物线交于点D、E（D在E的左侧），与抛物线的对称点交于点F。（1）求抛物线的解析式；（2）当m=2时，求∠DCF的大小；（3）若在直线y=x+m下方的抛物线上存在点P，使∠DPF＝450，且满足条件的点P只有两个，则m的值为___________________.（第（3）问不要求写解答过程）【答案】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8），
∵抛物线与y轴交于点C（0，-4），
∴-4=a（0+2）（0-8）．
解得a=．
∴抛物线的解析式为y=(x+2)(x-8)，即y=x2-x-4；
（2）由（1）可得抛物线的对称轴为x=3，
∵m=2，
∴直线的解析式为y=x+2，
∵直线y=x+2与抛物线交于点D、E，与抛物线的对称轴交于点F，
∴F、D两点的坐标分别为F（3，5），D（-2，0）．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为M，
可得CM=FM=MD=5，
∴F、D、C三点在以M为圆心，半径为5的圆上．
∴∠DCF=∠DMF=45°．
（3）由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为G（3，-）
设F（3，3+m），则FG=m+3+，设D关于对称轴的对称点为D1，
当四边形DGD1F为正方形时，满足题意，此时P点与顶点G重合，或者与D1重合，
故DD1=F′G，D点横坐标为：x=-（F′G-3）=-，纵坐标为-（F′G-3-m）=，
将D点坐标抛物线解析式，解得m=-．【典例7】如图，抛物线，与轴交于点，且．（I）求抛物线的解析式；（II）探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由； （III）直线交轴于点，为抛物线顶点．若，的值．【答案】解：（I），且．．代入，得（II）①当可证∽     ．②同理: 如图当③当综上，坐标轴上存在三个点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形，分别是，．（III）．．∴．． ． 又．．．【典例8】如图⑴，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2＋8ax＋16a＋6经过点B（0，4）.⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为-4，联结BC、AC.求证：△ABC是等腰直角三角形；⑶在⑵的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l ，直线l 与x轴、y轴分别交于点A′、B′，是否存在直线l，使△A′B′C是直角三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，请说明理由．           图（1）        备用图                                                                                      【答案】⑴解：由题意知：          解得：    ∴抛物线的解析式为：⑵证明 ：由抛物线的解析式知:顶点D坐标为（－4,6）       ∵点C的纵坐标为－4，且在抛物线的对称轴上∴C点坐标为(－4，－4)设直线BD解析式为： 有：，∴∴BD解析式为∴直线BD与x轴的交点A的坐标为（8,0）过点C作CE⊥轴于点E，则CE=4，BE=8又∵OB=4，OA=8, ∴CE=OB,BE=OA,∠CEB=∠BOA=90°∴△CEB≌△BOA(SAS)∴CB=AB, ∠1=∠2∵∠2+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°∴∠1+∠3=90°，即∠ABC=90°∴△ABC是等腰直角三角形⑶存在.①当∠CA′B′=90°时，如图1所示， ∵A′B′∥AB∴∠OA′B′=∠BAO易证:∠ECA′=∠OA′B′∴∠ECA′=∠BAO∵tan∠BAO=∴tan∠ECA′=∴EA′=2∴A′坐标为(－2,0)∴直线l解析式为-②当∠A′CB′=90°时，如图2所示， 过点C作CE⊥轴于点E，易证△A′FC≌△B′EC∴A′F=B′E∴由①tan∠B′A′O=∴设B′坐标为（0，n）∴有∴B′坐标为（0，）∴直线l解析式为【典例9】已知：抛物线y＝－x2＋2x＋m-2交y轴于点A（0，2m-7）．与直线y＝x交于点B、C（B在右、C在左）．（1）求抛物线的解析式；   （2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；（3）射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒个单位长度、每秒2个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若△PMQ与抛物线y＝－x2＋2x＋m-2有公共点，求t的取值范围．      【答案】解：（1）点A（0，2m-7）代入y＝－x2＋2x＋m-2，得m=5∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3       ………………………2分（2）由得，∴B（），C（）B（）关于抛物线对称轴的对称点为可得直线的解析式为，由，可得∴       （3）当在抛物线上时，可得，，当在抛物线上时，可得，，舍去负值，所以t的取值范围是．