类型十 二次函数与矩形有关的问题（解析版）学案

类型十 二次函数与矩形有关的问题

【典例1】如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（1）“抛物线三角形”一定是           三角形；

（2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；

（3）如图，△OAB是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）等腰。

            （2）∵抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，

                 ∴该抛物线的顶点满足（b＞0）。

                 ∴b=2。

            （3）存在。

                 如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，

                 则四边形ABCD为平行四边形。

                 当OA=OB时，平行四边形ABCD为矩形。

                 又∵AO=AB， ∴△OAB为等边三角形。

                 作AE⊥OB，垂足为E，

                 ∴，即，∴．

                 ∴。

                 设过点O、C、D三点的抛物线，则

                 ，解得，。

                 ∴所求抛物线的表达式为。

【典例2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交于点C，且CD＝4AC．设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

图5-1

【解析】由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．

由CD＝4AC，得xD＝4．所以D(4, 5a)．

已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，xP＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：

①如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD//QP，AD＝QP来两次平移坐标．

由于A、D两点间的水平距离为5，所以点Q的横坐标为－4．所以Q(－4,21a)．

由于A、D两点间的竖直距离为－5a，所以点P的纵坐标为26a．所以P(1, 26a)．

根据矩形的对角线相等，得AP2＝QD2．所以22＋(26a)2＝82＋(16a)2．

整理，得7a2＝1．所以．此时P．

②如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP//QD，AP＝QD来两次平移坐标．

由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)．

由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1, 8a)．

再根据AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．

整理，得4a2＝1．所以．此时P．

我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．

上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．

如图5-2，如果∠ADP＝90°，那么；如图5-3，如果∠QAP＝90°，那么．

图5-2                        图5-3

【典例3】如图所示，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．

（1）当a=﹣1，b=1时，求抛物线n的解析式；

（2）四边形AC1A1C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；

（3）若四边形AC1A1C为矩形，请求出a，b应满足的关系式．

【答案】：解：（1）当a=﹣1，b=1时，抛物线m的解析式为：y=﹣x2+1．

令x=0，得：y=1．∴C（0，1）．令y=0，得：x=±1．∴A（﹣1，0），B（1，0），

∵C与C1关于点B中心对称，∴抛物线n的解析式为：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3；

（2）四边形AC1A1C是平行四边形．

理由：∵C与C1、A与A1都关于点B中心对称，∴AB=BA1，BC=BC1，∴四边形AC1A1C是平行四边形．

（3）令x=0，得：y=b．∴C（0，b）．令y=0，得：ax2+b=0，∴，∴，

，，.要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB=BC，∴，∴，∴ab＝－3．∴a、b应满足关系式ab＝－3．

【典例4】如图6-1，将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2．

现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

图6-1

【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A、B、D、E、M、N六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB和△NED是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．

如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM与EN保持平行且相等，所以四边形ANEM保持平行四边形的形状，点O为对称中心．

【解法一】如果∠ANE＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE＝2EN＝4．而AE＝AO＋OE＝2AO，所以AO＝2．已知AB＝2，此时B、O重合（如图6-4），所以m＝BO＝1．

【解法二】如果对角线MN＝AE，那么OM＝OA，此时△MAO是等边三角形．所以等边三角形MAB与△MAO重合．因此B、O重合，m＝BO＝1．

【解法三】在平移的过程中，、，M，根据OA2＝OM 2列方程(1＋m)2＝m2＋3．解得m＝1．

图6-2                  图6-3                    图6-4

【典例5】如图1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，顶点为，设点是轴的正半轴上一点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．

求抛物线的函数表达式:

若抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点，求的取值范围．

如图2，是第一象限内抛物线上一点，它到两坐标轴的距离相等，点在抛物线上的对应点，设是上的动点，是上的动点，试探究四边形能否成为正方形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．

【答案】；；四边形可以为正方形，

【解析】

解：        

将三点代入得

解得

；

如图．

关于对称的抛物线为

当过点时有

解得:

当过点时有

解得:

；

四边形可以为正方形

由题意设，

是抛物线第一象限上的点

解得:(舍去)即

如图作，于，

于

四边形为正方形

易证

为

将代入得

解得:(舍去)

当时四边形为正方形.

【典例6】如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为(4，t)(t＞0)．二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象经过点B，顶点为点D.

(1)当t＝12时，顶点D到x轴的距离等于____；

(2)点E是二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象与x轴的一个公共点(点E与点O不重合)．求OE·EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；

(3)矩形OABC的对角线OB，AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象于点M，N，连结DM，DN.当△DMN≌△FOC时，求t的值．

【解析】 (1)将B点坐标(4，12)代入y＝x2＋bx求出二次函数关系式，再用配方法或二次函数的顶点坐标公式解决问题；

(2)分别用含b的代数式表示OE，AE的长，再运用二次函数的求最值的方法(配方法)求出OE·EA的最大值；

(3)由△DMN≌△FOC可得MN＝CO＝t，再分别用含b，t的代数式表示出点M，N的坐标，将点M或点N的坐标代入y＝x2＋bx就可以求出t的值．

解：(2)∵二次函数y＝x2＋bx与x轴交于点E，∴E(－b，0)．

∴OE＝－b，AE＝4＋b.∴OE·EA＝－b(b＋4)＝－b2－4b＝－(b＋2) 2＋4.

∴当b＝－2时，OE·EA有最大值，其最大值为4.此时b＝－2，二次函数表达式为y＝x2－2x；

(3)如答图，过D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H.

∵△DMN≌△FOC，∴MN＝CO＝t，DG＝FH＝2.

∵D，

∴N，即N.

把x＝，y＝代入y＝x2＋bx，

得＝＋b·，

解得t＝±2，∵t＞0，∴t＝2.