精品解析：2020年广东省中山纪念中学九年级下学期一模数学试题(解析版+原卷版)

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2020年中山纪念中学初三一模考试数学
一、选择题
1. ﹣2020的倒数是（　　）
A. ﹣2020 B. ﹣ C. 2020 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据倒数的概念即可解答．
【详解】解：根据倒数的概念可得，﹣2020的倒数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了倒数的概念，熟练掌握是解题的关键．
2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3. 港珠澳大桥全长55千米，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示1269亿为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
1亿=，科学记数法的形式是a×10n， 其中| 1| ≤| a| ＜| 10| ，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】因为1亿=，1269亿用科学记数法表示为；
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，确定a的值和n的值是解题的关键．
4. 下列几何体中，主视图为三角形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别判断每个选项中的主视图是否满足条件即可
【详解】A、主视图是三角形，故此选项正确；
B、主视图是矩形，故此选项错误；
C、主视图是圆，故此选项错误；
D、主视图是矩形，故此选项错误；
故选A．
【点睛】此题考查简单空间图形的三视图，解题关键在于掌握图形的判别
5. 数据5，4，3，4，9的中位数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数来解答即可；
【详解】先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：3，4，4，5，9，
∵最中间的数是4，
∴这组数的中位数是4．
故选：B．
【点睛】本题考查中位数求解，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，这是解题的关键．
6. 如图，三角板直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=35°，则∠2的度数是（　　）

A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°
【答案】C
【解析】
分析：求出∠3即可解决问题；
详解：如图，

∵∠1+∠3=90°，∠1=35°，
∴∠3=55°，
∴∠2=∠3=55°，
故选C．
点睛：此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．
7. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同类项的定义、幂的乘方、同底数幂的除法和同底数幂的乘法逐一判断即可．
【详解】A． 和不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B． ，故本选项错误；
C．，故本选项正确；
D．，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】此题考查的是幂的运算，掌握同类项的定义、幂的乘方、同底数幂的乘法和同底数幂的除法是解决此题的关键．
8. 实效m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
从数轴上可以看出m、n都负数，且m＜n，由此逐项分析得出结论即可．
【详解】解：因为m、n都是负数，且m＜n，|m|＞|n|，
A、m＞n是错误的；
B、-n＞|m|是错误的；
C、-m＞|n|是正确的；
D、|m|＜|n|是错误的．
故选C．
【点睛】此题考查有理数的大小比较，关键是根据绝对值的意义等知识解答．
9. 是方程的一个根，则代数式的值是（ ）
A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021
【答案】A
【解析】
【分析】
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将代入原方程即可求的值，即可求出答案
【详解】∵把代入方程可得：，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的应用，关键是把当成一个整体，利用整体思想解题．
10. 如图，正方形的边长为6，点是的中点，连接与对角线交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接．以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方形对角线的性质及全等三角形的性质求证：
①证明，即可判定①；
②证明，再结合对应角相等和①中结论，即可判定②；
③证明，可知BF=BE，进一步得出F为中点，即可判定③；
④应用勾股定理求出DE和CF的长度，再在中，应用等面积法，求出CH的长度，即可判定④．
【详解】①∵点E是BC的中点，
∴CE=BE
又∵正方形ABCD中，AB=CD,
∴
∴，
故①正确；
②∵BD为正方形的对角线，
∴
又∵正方形ABCD中，AB=CB,BG=BG
∴△ABG≌△CBG
∴
∵
∴，
∴，
故②正确；
③在与中，

∴
∴BE=BF,
∴F为中点，即
故③正确；
④由勾股定理可知
，
在中，应用等面积法，，
∴，
∴
∴，
故④正确．
故选：D．
【点睛】此题考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质的综合应用，找准全等三角形的对应角和对应边，及等面积法的灵活运用是解题关键．
二、填空题
11. 计算的结果是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
由表示9的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果．
详解】∵32＝9，
∴＝3，
故答案为3．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12. 若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是_____．
【答案】5
【解析】
【分析】
先根据已知条件以及多边形外角和是360°，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数．
【详解】解：∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，
∴多边形的内角和是900﹣360＝540°，
∴多边形的边数是：540°÷180°+2＝3+2＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键.n边形的内角和为：(n-2) ×180°， n边形的外角和为：360°．
13. 分解因式：=　____．
【答案】
【解析】
【分析】
先提取公因式再利用平方差公式进行分解，即
；
【详解】解：；
故答案为；
【点睛】本题考查因式分解；熟练运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键．
14. 已知实数，满足那么代数式的值为________．
【答案】1．
【解析】
【分析】
根据和及，可知，和，算出x和y的值，代入代数式计算即可．
【详解】由题意可知，
，，
∴
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查绝对值和二次根式的性质，掌握这一点这是解题的关键．
15. 如图所示，九班数学课外活动小组在河边测量河宽（这段河流的两岸平行），他们在点测得，点处测得，则河宽约为_____（结果保留整数， ）．

【答案】69
【解析】
【分析】
在中，，则，所以，在中，通过三角函数关系求得的长．
【详解】在中，，


在中，
，
（米），
故答案为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
16. 把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于__________．

【答案】
【解析】
【分析】
恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．
【详解】解：如图：

新的正方形的边长为，
∴恒星的面积．
故答案为．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积．
17. 如图，在中，，，点在上，，的圆心在线段上，且⊙与边，都相切．若反比例函数（）的图象经过圆心，则________．

【答案】．
【解析】
【分析】
设⊙P与边AB，AO分别相切于点E、D，连接PE、PD、PA，（见详解图）用面积法可求出⊙P的半径，然后通过等腰直角三角形的性质可求出CD，从而得到点P的坐标，即可求出k的值．
【详解】设⊙P与边AB，AO分别相切于点E、D，连接PE、PD、PA，如图所示．

则有PD⊥OA，PE⊥AB．
设⊙P的半径为r，
∵AB=5，AC=1，
∴S△APB=AB•PE=r，S△APC=AC•PD=r．
∵∠AOB=90°，OA=4，AB=5，
∴OB=3．
∴S△ABC=AC•OB=×1×3=．
∵S△ABC=S△APB+S△APC，
∴=r+r．
∴r=．
∴PD=．
又∵OB=OC=3,可知△OBC为等腰直角三角形，
∴△PDC为等腰直角三角形，
∴CD=PD=．
∴OD=OC-CD=3-=．
∴点P的坐标为（，）．
∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，
∴k=×=．
故答案为：．
【点睛】本题考查用待定系数法求反比例函数的解析式、等腰直角三角形的性质、切线的性质、勾股定理等知识，有一定的综合性．
三、解答题
18. 计算：．
【答案】3．
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质，幂的计算，和特殊三角函数值计算即可．
【详解】解：

故答案为：3．
【点睛】本题考查实数的计算，熟练记住如何去绝对值和幂的计算是解题的关键．
19. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将、的值代入计算可得．
【详解】原式

，
当，时，
原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20. 已知：是的对角线．
（1）用直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与相交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，求的周长．

【答案】(1)见解析；（2）8
【解析】
【分析】
（1）以A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧交于两点，连接两点即可；
（2）由（1）可得OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，再由平行线的性质可得∠AEO=∠CFO，根据AAS即可证明全等．
【详解】解：（1）如图，为所作；

（2）∵四边形为平行四边形，
∴，
∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题考查作图，熟练掌握基本作图是解题关键
21. 为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；（2）当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱，见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
【详解】解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，
，解得，，
答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；
（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯只，费用为w元，



∴当时，w取得最小值，此时
答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
22. 近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：．非常了解；．比较了解；．基本了解；．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．

对雾霾天气了解程度统计表
对雾霾天气了解程度
百分比
．非常了解
5%
．比较了解
15%
．基本了解
45%
．不了解


请结合统计图表，回答下列问题：
（1）________，扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角是________度；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【答案】（1）35%，126°；（2）详见解析；（3）这个游戏规则不公平，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）用1减去其它等级的百分比可得的值；用乘以D等级所占的百分比可得扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角；
（2）用C等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出D等级的人数，即可补全条形统计图；
（3）先画出树状图得到所有等可能的结果，找出和为奇数的结果，再计算出小明去和小刚去的概率，然后比较两个概率的大小即可判断这个游戏规则是否公平．
【详解】（1），
扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角，
故答案为： 35%，126°；
（2），所以本次参与调查的学生共有400人，D等级的人数为（人），补全条形统计图如下：

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，
∴（小明去），（小刚去），
∵，∴这个游戏规则不公平．
【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图和统计表的相关知识以及画树状图或列表法求两次事件的概率，熟练掌握统计图的相关知识和画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键．
23. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）当∠ABD=60°，AD=2时，求∠EDB的正切值．

【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
分析：（1）先依据平行四边形的定义证明四边形OBEC为平行四边形，然后再依据矩形的性质得到∠COB=90°，故此四边形OBEC是矩形；
（2）依据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可得到BD=2，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AO的长，从而得到BE的长，最后利用锐角三角函数的定义求解即可．
详解：（1）∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形OBEC为平行四边形．
∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∴四边形OBEC是矩形．
（2）∵AD=AB，∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AD=AB=2．
∵ABCD为菱形，∠DAB=60°，∴∠BAO=30°，∴OC=OA=3，∴BE=3，
∴tan∠EDB===．
点睛：本题主要考查的是矩形的判定、菱形的性质、锐角三角函数的定义、特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．
24. 如图，点是线段上一点，，以点为圆心，的长为半径作⊙，过点作的垂线交⊙于，两点，点在线段的延长线上，连接交⊙于点，以，为边作．

（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求四边形与⊙重叠部分的面积；
（3）若，，连接，求和的长．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3），
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可知，证明，又因为为半径，即可证明结论；
（2）利用锐角三角函数先求出，再求出扇形的面积，最后求出的面积，两部分面积相加即为重叠部分面积；
（3）设⊙半径，，在中，利用勾股定理求出半径，推出，再在和中利用勾股定理分别求出，的长，最后证，利用相似三角形对应边的比相等即可求出的长．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，即，
又为半径，
是⊙的切线；
（2）如图，连接，

，，
，，
在中，，，
，
，
扇形，
，
，
四边形与⊙重叠部分的面积；
（3）设⊙半径，，
在中，，
，
，则，
在中，，，则，
在中，，，得，
在和中，
，，
，
即，
，
，．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，解直角三角形，扇形的面积与三角形的面积，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，解题关键是要熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
25. （Ⅰ）如图1，在菱形中，已知，，抛物线（）经过，，三点．

（1）点的坐标为__________，点的坐标为__________；
（2）求抛物线的解析式．
（Ⅱ）如图2，点是的中点，点是的中点，直线垂直于点，点在直线上．

（3）当的值最小时，则点的坐标为____________；
（4）在（3）的条件下，连接、、得，问在抛物线上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）（1）， ；（Ⅰ）（2）；（Ⅱ）（3）；（Ⅱ）（4），存在，M点的坐标为、、
【解析】
【分析】
（Ⅰ）（1）过点B和点C分别是x轴的垂线于H和N，结合菱形的性质和，，即可求出AH，和BH及ON的长度，B点和C点坐标即可得出；
（Ⅰ）（2）把，，三点坐标代入抛物线，即可求得；
（Ⅱ）（3）由题意知AG即为抛物线的对称轴，C点的对称点为B，连接OB，（见详解图），OB与AG的交点即为P点，的最小值即为OB长度，求出OB的直线解析式，即可求出P点坐标；
（Ⅱ）（4）由题意可知PE=PF，EF∥BC∥OD，进一步可知△PEF是底角为30°，顶角为120°的等腰三角形，设AG与抛物线交点为Q点（即为顶点），D点为O点关于对称轴的对称点，连接OB，CD，CQ，BQ，BD，再结合菱形中∠OCB=120°角，可知点O、点Q和点D即为所求M点。
【详解】（Ⅰ）（1）过点B和点C分别是x轴的垂线于H和N，
∵，，结合菱形的性质，
∴，,
∴B点坐标为，C点坐标为，
故答案为：， ；

（Ⅰ）（2）将O点坐标，B点，C点坐标三点坐标代入抛物线，可得：

∴抛物线解析式为：
（Ⅱ）（3）由题意知AG为抛物线的对称轴，C点的对称点为B，连接OB，OB与AG的交点即为P点，的最小值即为OB长度，
设OB直线为，将O点和B点坐标代入，求得：，
令，y=2，
所以P点坐标为：

（Ⅱ）（4）设AG与抛物线交点为Q点（即为顶点），D点为O点关于对称轴的对称点，连接OB，CD，CQ，BQ，BD，
∵点是的中点，点是的中点
∴可知PE=PF，EF∥BC∥OD，
∴△PEF是底角为30°，顶角为120°的等腰三角形，
在△COB与△BCD中，OC=CB=BD，∠OCB=∠CBD=120°，
∴△COB≌△BCD∽△PEF
故O点（0，0）和D点即满足M点要求；
另在△QCB中，∠QCB=∠BOD=30°，QC=QO，
∴△QCB∽△PEF，
故Q点也满足M点要求，
故M点的坐标为：、、．

故答案为：（Ⅰ）（1）， ；（Ⅰ）（2）；（Ⅱ）（3）；（Ⅱ）（4），存在，M点的坐标为、、
【点睛】本题是一道二次函数和几何图形综合的题目，涉及菱形的性质，特殊三角形的性质等，解题的关键有以下两点：（1）将军饮马问题，知道点C、B是关于抛物线的对称轴对称的，连接OB与对称轴的交点即为所求的点P；（2）能根据题意画出符合要求的图形，综合比较强。