八年级数学三角形 几何辅助线 旋转 专项练习卷（无答案）

这是一份八年级数学三角形 几何辅助线 旋转 专项练习卷（无答案），共9页。试卷主要包含了如何使用旋转？，注意事项等内容，欢迎下载使用。
八年级上册几何辅助线 旋转主要研究以下几个问题1、什么情况下使用旋转？ 两种情况下考虑旋转：①当题目中出现具有公共端点的两条线断，形如等腰结构，比如等腰三角形、等边  三角形、等腰直角三角形、正方形等时、往往可以考虑旋转.②当出现具有公共端点的三条线段之和最小值的问题，一定考虑旋转. 2、如何使用旋转？对于两种情况，作法如下↓①当出现 AB＝AC 结构时，选择 AB 所在的三角形，绕着 A 点旋转，使得 AB 与AC 重合。旋转只是第一步，可能还有其他辅助线，比如连接，视情况而定。②对于 PA＋PB＋PC 最小值问题，选择（以 AP 为例）AP 所在三角形绕着 A 往外旋转 60°，并且需要连接一条线，出现相应的结构，利用两点之间线段最短来解决问题。 3、注意事项利用旋转思想画出结构，证明的时候，不要说“将某三角形旋转到”之类的语句.
 【例 1】在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E 在射线 BC 上（D 在 E 的左侧），连接 AD、AE，∠DAE＝45°.（1）   如图 1，当 D、E 在线段 BC 上时，求证：BD2＋EC2＝DE2；（2）  如图 2，当 D 在线段 BC 上，E 在 BC 延长线上时，（1）中的结论是否成立？并证明. 
A     B D E C
A     B D C E
  分析：条件转化↓
图 1 图 2
▲AB＝AC→等腰、旋转、构造全等、等量代换等；▲∠BAC＝90°→互余，结合 AB＝AC 出现 45°；▲∠DAE＝45°→待定；所证：BD2＋EC2＝DE2→BD、DE、EC 能围成直角三角形。● 核心思路：BD、DE、EC 三条线段中，改变任意两条线段的位置.改变线段位置的方法：旋转、对称或平移. A● 突破点：AB＝AC，用于旋转。▲（1）步骤如下↓第一步：选择 AB 或 AC 所在的三角形. F这里以△ABD 为例.第二步：作图 B C△ABD 绕 A 逆时针旋转 90°得到△ACF. D E第三步：证明这里要注意辅助线的说法.作 CF⊥BC 于 C，且 CF＝BD，连接 AF，EF（连接 EF 是因为可以形成结构）. 结构：①△ABD≌△ACF（SAS）←∠B＝∠ACF＝45°②△AED≌△AEF（SAS）←∠DAE＝45°＝∠EAF③Rt△ECF←∠ACB＝∠ACF＝45°∴CF2＋EC2＝EF2，即 BD2＋EC2＝DE2. F▲（2）判断：（1）中结论成立.步骤如下↓第一步：选择 AB 或 AC 所在三角形. 这里以△ABD 为例.第二步：旋转△ABD 绕 A 逆时针旋转到△ACF. B E第三步：证明 D C作法：作 CF⊥BC 于 C，且 CF＝BD，连接 AF，EF（为什么要连接 EF？） 结构：①△ABD≌△ACF（SAS）←∠B＝∠ACF＝45°②△AED≌△AEF（SAS）←∠DAE＝15°
③Rt△CEF→CF2＋EC2＝EF2∴BD2＋EC2＝DE2. 注：（1）中作法是 EC 位置不变，BD、DE 位置改变.或考虑 BD 位置不变，DE、EC 位置改变，作法是旋转； 或考虑 DE 位置不变，BD、EC 位置改变，作法是对称；（2）中作法是 CE 位置不变，BD、DE 位置改变.或考虑 BD 位置不变，DE、EC 位置改变，作法是旋转. 【例 2】如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P 为△ABC 内一点，连接PA、PB、PC，且 PA:PB:PC＝2:3:1.求∠APC 的度数. A 分析：条件转化↓▲AB＝AC→等腰、等量代换、旋转等▲∠BAC＝90°→互余，结合等腰出现 45°▲2:3:1→见比设份 B C● 突破点：AB＝AC，尝试旋转. 步骤如下↓第一步：选择 AC 所在的三角形 A这里以△ACP 为例. 第二步：旋转△ACP 绕 A 顺时针旋转到△ABQ 第三步：求解作 AQ⊥AP 且 AQ＝AP，连接 BQ，PQ. B C（连接 PQ 可以出现等腰 Rt△结构）▲结构：①△ACP≌△ABQ（SAS）②等腰 Rt△APQ→PQ＝√?PA，∠AQP＝45°； ③Rt△BPQ←BQ＝k，PQ＝2√?k，BP＝3k（k＞0）∴∠BQP＝90°，∴∠AQB＝∠APC＝135°. 注：这里也可以考虑将△ABP 绕着 A 点逆时针旋转 90°，使得 AB 与 AC 重合. 【例 3】如图，在△ABC 中,∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2√?，P 为△ABC 内一点，连接 PA、PB、PC.求 PA＋PB＋PC 的最小值. A 分析：条件转化↓▲∠ACB＝90°→互余等▲AC＝2，BC＝2√?→计算 C B▲PA＋PB＋PC 最小→旋转● 突破点：PA＋PB＋PC 最小，考虑旋转（选择已知长度的线段所在的三角形进
行旋转）. 步骤如下↓第一步：选择 AC 所在的三角形这里以△ACP 为例. D第二步：旋转将△ACP 绕 C 逆时针旋转 60°到△DCQ. E C B第三步：求解作∠DCA＝∠QCP＝60°，DC＝AC，QC＝PC，DE⊥BC 的延长线于 E.连接 DQ，QP（连接 QP 可以出现等边△）结构：①△APC≌△DQC（SAS）→AP＝DQ；②等边△QPC→∠DCB＝150°，QP＝PC（等边△是转移线段的一种结构）.   显然，PA＋PB＋PC＝DQ＋QP＋PB.当 D、Q、P、B 四点共线时（连接 DB），PA＋PB＋PC 最小，最小值是 BD 的长（利用两点之间线段最短，其中 D、B 两点是定点）。③特殊 Rt△DCE④Rt△BDE∴BD＝2√?，即 PA＋PB＋PC 最小值是 2√?. 注：选择已知长度线段所在的三角形进行旋转，这里也可以旋转△BCP，一定是向  外旋转 60°.     【课后练习】 1、如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D、E 点在 BC 边上（D 点在E 点的左侧），连接 AD、AE，且∠DAE＝60°，BD＝4，CE＝3.求 DE 的长. A    B D E C
2、如图，四边形 ABCD 中，AB＝AD，CD＝2，BC＝√?，∠BCD＝75°，∠DAB＝60°.（1）   求线段 AC 的长度； D（2）   求四边形 ABCD 的面积.C   A B        3、如图，D 是等边△ABC 内一点，连接 AD、BD、CD，AD＝3，BD＝2√?， CD＝√??，（1）   ∠ADB 的度数； A（2）   求等边△ABC 的边长.    B C       4、如图，△ABC 中，∠ABC＝75°，AB＝2√?，BC＝3，D 为△ABC 内部一点，连接 AD、BD、CD.求线段 AD＋BD＋CD 的最小值. A   B C
5、如图，△ABC 中，AB＝√?，BC＝4，以 AC 为边作正方形 ACDE，使 B、E两点落在直线 AC 的两侧.（1）   当∠ABC=45°时，求 AC 及 BE 的长；（2）   当∠ABC 变化且其它条件不变时，求 BE 长度的最大值. E D      B C   6、如图，四边形 ABCD 中，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AB＝BC，连接 BD， 求证：BD2＝AD2＋CD2．A  B C D        7、如图，等边△ABC 内接于⊙O，点 D 为弧 BC 上一点（不与点 B、C 重合），且 AD＝2，求四边形 ABDC 的面积. A    ·OB CD
8、如图 1，等边△ABC，点 D 是边 BC 上一点（点 D 不与点 B、点 C 重合）. 求证：BD＋DC＞AD.下面的证法仅供参考：把△ACD 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△ABE，连接 ED，则有△ACD≌△ABE，DC＝EB. A∵AD＝AE，∠DAE＝60°∴△ADE 是等边三角形.∴AD＝DE在△DBE 中，BD＋EB＞DE. E即 BD＋DC＞AD.B D C实践探索：（1）   请仿照上面的思路，探索解决下面的问题：如图 2，点 D 是等腰 Rt△ABC 边上的点（点 D 不与 B、C 重合），求证：BD＋DC＞√?AD.（2）  若点 D 运动到等腰 Rt△ABC 外或内部时，BD＋DC 和 AD 之间存在怎样的关系？ 直接写出结论；（3）如图 3，等腰△ABC 中， AB＝AC，且∠BAC＝2α（45°＜α＜90°）， D是等腰△ABC 外一点，且∠BDC＋∠BAC＝180º， 判断 BD、DC 与 AD 之间的数量关系，并证明.AA   B C B D C D图 2图 3
9、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.（1）   如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）   如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状，并证明；（3）   在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值.  A A     EB C B C  图 1 图 2        10、如图，四边形 ABCD 中，AB⊥BC，AD⊥CD，AC 与 BD 交于 O 点，AD＝1，CD＝7，AB＝BC＝5，求 S△BOC. D作法：将△ABD 绕着 B 点顺时针旋转 90° A得到△BCE，作 OF⊥CD 于 F 点，BG⊥CD 于 G.结构：①等腰 Rt△DBE→可求 BG②等腰 Rt△ODF→DF＝OF③OF:FC＝AD:CD→可求 OF则 S△BOC＝S△ BCD－S△COD. B E
11、在△ABC 中，AB＝2√?， CD⊥AB 于 D 点， CD＝√?.（1）   如图 1，当点 D 是线段 AB 中点时，①AC 的长为            ；②延长AC 至E 点，使得CE＝AC，此时CE 与CB 的数量关系为               ,∠BCE 与∠A 的数量关系为                ；（2）   如图 2，当点 D 不是线段 AB 的中点时，画∠BCE（E 点与 D 点在直线 BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接 AE.①按要求补全图形；②求 AE 的长.   C C A D B A D B 图 1 图 2