八年级数学寒假专区 几何辅助线对称 专项练习卷（无答案）

这是一份八年级数学寒假专区 几何辅助线对称 专项练习卷（无答案），共12页。试卷主要包含了以等腰△为基础的对称结构问题；，构造等边△结构；，对称解决线段和最小值问题；，对称某个△构造结构；，关于翻折等内容，欢迎下载使用。
八年级上册几何辅助线 对称 主要研究以下几个方面↓1、以等腰△为基础的对称结构问题；2、构造等边△结构；3、对称解决线段和最小值问题；4、对称某个△构造结构；5、关于翻折、折痕问题. ▲核心思想↓1、熟练使用对称结构；2、学会构造对称结构.
【典型例题】 ◆ 题型一：对称求长度【例 1】如图，在△ABC 中，∠BAC＝α，AD⊥BC 于 D 点，BD＝m，CD＝n.（1）如图 1，若 m＝2，n＝3，α＝45°，求 AD 的长；（2）如图 2，若 m＝√?－1，n＝√?＋1，α＝60°，求 AD 的长. A A      B D C B D C   图 1 图 2   提示：（1）根据 45°，将△ADB 和△ADC 进行对称；（2）根据 60°，将△ADB 和△ADC 进行对称.   ◆ 题型二：对称求角度【例 2】如图，∠AOB＝60°，C 是∠AOB 内部一定点，D 在射线 OA 上，E 在射线 OB 上，当△CDE 的周长最小时，求∠DCE 的度数.A      O B     提示： C 点分别关于射线 OA、OB 对称.
◆ 题型三：对称路径问题【例 3】如图，台球桌面所示的长方形，小球从 A 沿 45°角度击出，恰好经过 5
次碰到 B
??处，求?? 的值.
 A                                                                                             DB                                                                                              C 提示：矩形关于直线 CD 对称.   ◆ 题型四：构造对称结构【例 4】如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D 是△ABC 内部一点， 且∠DBC＝10°，DCB＝30°，求∠BAD 的度数.A提示：根据等腰△的对称结构， 作出对称轴，构造有效的对称结构.  B C       ◆ 题型五：构造等边三角形结构【例 5】如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AC，∠ACB＝48°，∠ABD＝12°，∠ACD＝24°，求∠ADB 的度数. 提示：根据角度构造等边△结构. A D     B C
◆ 题型六：与坐标系有关的对称问题【例 6】在平面直角坐标系 xOy 中，A(1,2)，B(3,2).（1）   若 P(x,0)是 x 轴上的一个动点，当△PAB 周长最小时，求 x 的值；（2）   若 D(t,0)，E(t＋1,0)是 x 轴上的两个动点，若四边形 ABED 周长最小，求 t的值；（3）  设 M(m,0)、N(0,n)分别是 x、y 轴上的动点，四边形 ABMN 的周长是否存在最小值？若存在，求出 m、n 的值；若不存在，说明理由.
      【课后练习】 1、如图，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝20°，D 点在 AB 上，且 AD＝BC，连接CD，求∠ACD 的度数. A           B C
2、如图，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝92°，D 在△ABC 内部，∠DBC＝16°，∠DCB＝30°，求∠DAC 的度数.    A    B C  3、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，P(x,0)是 x 轴上动点，A(﹣1,﹣2)，B(3,﹣2)， 当 AP＋BP 最小时，求 x 的值.
 4、如图，等边△ABC 中，AD⊥BC 于 D，AD＝3，E 是 AB 中点，F 是 AD 上的动点，求 BF＋EF 的最小值.A     B D C   5、如图，矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝8，E、F 分别是 BC、AD 上的动点， 求折线 AEFC 的最小值.  A                                       F DB                    E C
6、如图，将矩形纸片 ABCD 向内折叠，恰好拼成一个无缝隙无重合的四边形，且EF＝4，FG＝3，求线段 AB、BC 的长.A H D    E G    B F C   7、如图，在△ABC 中，D 在 BC 边上，∠ABC＝40°，∠BAD＝30°，AB＝CD. 求∠ACB 的度数. A    B D C   8、如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝8，E、F 分别在 BC、AD 上，矩形沿 EF折叠，使得 C 与 A 重合，求折痕 EF 的长. A                                                           F DB                                  E C   9、如图，等腰 Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点 D、E 在 BC 边上，且∠DAE＝45°，求证：以 BD、DE、EC 为边的三角形是直角三角形.  A    B D E C
10、如图，在△ABC 中，∠ABC＞∠ACB，AD⊥BC 于 D，E 在 AD 上（E 不与A、D 重合），求证：AB＋EC＞AC＋BE.A    B D C 11、如图，菱形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 中点，DE＝3，G 是 AC 上一动点，求 BG＋CG 的最小值. A D     B F C 12、如图，在△ABC 中，D 在 BC 边上，CD＝2BD，∠ABC＝45°，∠ADC＝60°，将△ACD 沿直线 AD 对称得到△ADE，连接 EB.（1）   求证：BE⊥BC；（2）   求∠ACB 的度数. A E    B D C 13、小贝遇到一个有趣的问题：在矩形 ABCD 中，AD=8cm，AB=6cm.现有一动点 P 按下列方式在矩形内运动：它从 A 点出发，沿着 AB 边夹角为 45 的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角  为 45的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当 P 点碰到BC 边，沿着 BC 边夹角为 45的方向作直线运动，当 P 点碰到 CD 边，再沿着与CD 边夹角为 45的方向作直线运动，…，如图 1 所示，问 P 点第一次与 D 点重合前与边相碰几次，P 点第一次与 D 点重合时所经过的路线的总长是多少。 
A                           P3 D A  P2 B                                            P1 C B图 1
P3 D E A1    P1 C B1图 2
小贝的思考是这样开始的：如图 2，将矩形 ABCD 沿直线 CD 折迭，得到矩形A1B1CD，由轴对称的知识，发现 P2P3=P2E，P1A=P1E.请你参考小贝的思路解决下列问题：（1）P 点第一次与 D 点重合前与边相碰     次；P 点从 A 点出发到第一次与 D 点重合时所经过的路径的总长是     cm；（2）近一步探究：改变矩形 ABCD 中 AD、AB 的长，且满足 AD>AB，动点 P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD 相邻的两边上。若 P 点第一次与 B 点重合前与边相碰 7 次，则AB：AD 的值为               。         14、已知△ABD 和△CBD 关于直线 BD 对称（点 A 的对称点是点 C），点 E、F 分别是线段 BC、BD 上的点，且点 F 在线段 EC 的垂直平分线上，连接 AE、AF， AE 交 BD 于点 G.（1）   如图 1，求证：∠EAF＝∠ABD；（2）   如图 2，当 AB＝AD 时，H、M 分别在线段 CD、AG 上，BM 交 AD 于 N，且∠MBF＝?∠BAF，∠BND＝∠GHD，求证：∠AGD＝2∠HGD.A    B D B D    C C  图 1 图 2
15、在△ABC 中，AB＝BC，∠BAC＝α，M 是 AC 的中点，P 是线段 BM 上的动点，将线段 AP 绕点 P 顺时针旋转 2α 得到线段 PQ.（1）   若 α＝60°且点 P 与点 M 重合（如图 1），线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请补全图形，并写出∠CDB 的度数；（2）   在图 2 中，点 P 不与点 B、M 重合，线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点D，猜想∠CDB 的大小（用含 α 的代数式表示），并证明；（3）  对于适当大小的 α，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B，M 重合）时，能使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，且 PQ＝QD，请直接写出 α 的范围.  A A  B QC C图 1 图 2      16、在正方形 ABCD 外侧作直线 AP，点 B 关于直线 AP 的对称点为 E，连接 BE、DE，其中 DE 交直线 AP 于点 F.（1）   依题意补全图 1；（2）   若∠PAB＝20°，求∠ADF 的度数；（3）  如图 2，若 45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段 AB、EF、FD 之间的数量关系，并证明.  A D D    P P B C B C 图 1 图 2
17、如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，D 在边 BC 上，连接 AD，∠BAD＝α，D 关于 AB 的对称点为 E，E 关于 AC 的对称点为 F，EF 交 AB 于G，连接 DE、DG，AE、AF.（1）   求∠AEF 的度数（用含 α 的式子表示）；（2）   用等式表示线段 FG、AG、BD 之间的数量关系，并证明. A      E FB D C  18、如图，线段 AC、BD 在直线 AB 的同侧，E 是 AB 的中点，AC＝2，AB＝3，BD＝3，∠CED＝α.（1）   如图 1，若 α＝120°，求 CD 长度最大值；（2）   如图 2，若 α＝150°，求 CD 长度最大值.  D DC A E B A E B 图 1 图 2   19、如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，D、E 点分别在 BC、AC 边上，连接 DE，∠BAD＝20°，∠CAD＝30°，∠BCE＝10°，求∠ADE 的度数.  提示：对称△BCE，…   A C