北师大版数学 必修第2册 第5章综合检测题课件PPT

第五章综合检测题

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知复数z满足(2＋i)z＝1－2i(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数＝(　A　)

A．i B．－i

C． D．

[解析]　z＝＝－i，则＝i.

2．已知复数z＝i，则＝(　C　)

A．1＋i B．1－i

C． D．1

[解析]　已知复数z＝i，则＝＝1－i⇒|1－i|＝.

3．设i是虚数单位，则复数z＝3在复平面内对应的点位于(　C　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[解析]　因为1＋＝1＋＝1－i，

所以z＝3＝(1－i)3＝1－3i＋3i2－i3＝－2－2i，

所以复数z＝3在复平面内对应的点为(－2，－2)，位于第三象限．

4．已知(a＋2i)2(a∈R)是纯虚数，则|a＋i|＝(　B　)

A． B．

C．3 D．5

[解析]　(a＋2i)2＝a2－4＋4ai，因为(a＋2i)2为纯虚数，所以即a＝±2，则|a＋i|＝|±2＋i|＝.

5．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋4i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　B　)

A．3＋2i B．3－2i

C．－3－i D．－3＋i

[解析]　由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋4i＝0.

即解得所以z＝3－2i.

6．若复数z1，z2满足z1＝2，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2(　A　)

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称

C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称

[解析]　复数z1，z2满足z1＝2，可得z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点关于x轴对称．

7．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a－i，z·＝4，则a＝(　A　)

A．1或－1 B．或－

C．－ D．

[解析]　由题意，复数z＝a－i，则＝a＋i，

所以z·＝(a－i)(a＋i)＝a2＋3＝4，

所以a2＝1，

即a＝1或a＝－1．

8．欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ(e为自然对数的底数，i为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发明的，eiπ＋1＝0是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数ei的虚部为(　B　)

A．－ B．

C．－i D．i

[解析]　根据欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ，可得ei＝cos＋isin＝＋i，

所以ei的虚部为.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

9．若θ∈，则复数cos θ＋isin θ在复平面内对应的点不可能在(　ABC　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[解析]　∵θ∈，∴cos θ＞0，sin θ<0，∴复数cos θ＋isin θ在复平面内对应的点在第四象限，故选ABC．

10．已知i是虚数单位，与复数2相同的选项为(　BD　)

A．－i B．－1

C．1 D．i2

[解析]　2＝＝－1．

11．设1，z2是复数，给出四个命题：

①若|z1－z2|＝0，则1＝2

②若z1＝2，则1＝z2

③若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2

④若|z1|＝|z2|，则z＝z

其中真命题的有(　ABC　)

A．① B．②

C．③ D．④

[解析]　由z1，z2是复数，得：

在①中，若|z1－z2|＝0，则z1，z2的实部和虚部都相等，所以1＝2，故①正确；

在②中，若z1＝2，则z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，所以1＝z2，故②正确；

在③中，若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2＝|z1|2，故③正确；

在④中，若|z1|＝|z2|，则由复数的模的性质得z≠z，

如|1－i|＝|1＋i|＝，但(1－i)2＝－2i≠(1＋i)2＝2i，故④不正确．

12．若复数z＝(a－i)·i，a是下列区间内的任意实数，则可以使|z|≤2恒成立的是(　AB　)

A．[－1,0)

B．[－1,1]

C．(－∞，－]∪[，＋∞)

D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

[解析]　因为z＝(a－i)·i＝1＋ai，所以|z|＝≤2，解得－≤a≤.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.2 019＝ －i .

[解析]　＝＝i，

所以2 019＝i2 019＝i4×504＋3＝i3＝－i.

14．已知i为虚数单位，则复数z＝在复平面内对应的点的坐标为 (1，－1) .

[解析]　复数z＝＝＝＝1－i，

则z在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．

15．已知a，b∈R，复数z＝a－i且＝1＋bi(i为虚数单位)，则ab＝ －6 .

[解析]　因为z＝a－i，所以＝＝1＋bi，

即a－i＝(1＋i)(1＋bi)＝1＋bi＋i－b

＝(b＋1)i＋1－b，

根据左右两边对应相等有⇒

所以ab＝－6.

16．已知复数z满足z＝(i是虚数单位)，则z2＝ 2i ；|z|＝  .

[解析]　由题意，根据复数的运算，化简得z＝＝＝－1－i，

所以z2＝(－1－i)2＝2i，|z|＝.

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)设复数z＝a2－a－(a－1)i，(a∈R)．

(1)若z为纯虚数，求|3＋z|；

(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围．

[解析]　(1)若z为纯虚数，则

所以a＝0，故z＝i，

所以|3＋z|＝.

(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，则

解得a>1．

18．(本小题满分12分)计算：

(1)；

(2)＋.

[解析]　(1)＝

＝＝＝＝－－i.

(2)＋＝－＝＝－1．

19．(本小题满分12分)已知i为虚数单位，复数z＝3＋

bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．

(1)求复数z及；

(2)若ω＝，求复数ω的模．

[解析]　(1)由题可得(1＋3i)·z＝(1＋3i)(3＋bi)

＝(3－3b)＋(9＋b)i，

因为(1＋3i)·z为纯虚数，所以3－3b＝0且9＋b≠0，解得b＝1，

所以z＝3＋i，＝3－i.

(2)由(1)可得ω＝＝＝

＝＝－i，

所以|ω|＝＝＝.

20．(本小题满分12分)已知复数z＝(2＋i)(i－3)＋4－2i.

(1)求复数z的共轭复数及|z|；

(2)若复数z1＝z＋(a2－2a)＋ai(a∈R)是纯虚数，求实数a的值．

[解析]　(1)复数z＝(2＋i)(i－3)＋4－2i

＝2i＋i2－6－3i＋4－2i＝－3－3i，

＝－3＋3i，

|z|＝＝3.

(2)因为复数z1＝z＋(a2－2a)＋ai＝(a2－2a－3)＋(a－3)i是纯虚数，所以

解得a＝－1．

所以实数a＝－1．

21．(本小题满分12分)已知复数ω满足ω－4＝(3－2ω)i(i为虚数单位)，z＝＋|－2|.

(1)求z；

(2)若(1)中的z是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．

[解析]　(1)因为ω－4＝(3－2ω)i，所以ω(1＋2i)＝4＋3i，

所以ω＝＝＝2－i，

所以z＝＋|i|＝＋1＝3＋i.

(2)因为z＝3＋i是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，所以(3＋i)2－p(3＋i)＋q＝0，

(8－3p＋q)＋(6－p)i＝0，

因为p，q为实数，所以

解得p＝6，q＝10.

解方程x2－6x＋10＝0，得x＝3±i.

所以实数p＝6，q＝10，方程的另一个根为x＝3－i.

22．(本小题满分12分)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求

(1)|z|的最大值和最小值；

(2)|z－1|2＋|z＋1|2的最大值和最小值．

[解析]　(1)满足条件|z＋＋i|≤1的复数z的几何意义为圆心为(－，－1)，半径为1的圆及其内部，|z|则表示圆面上一点到原点的距离，易求得圆心到原点的距离为＝2，所以|z|max＝3，|z|min＝1．

(2)∵|z－1|2＋|z＋1|2＝2|z|2＋2，

∴|z－1|2＋|z＋1|2最大值为20，最小值为4.