江苏专用2022版高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第五节一元二次不等式及其解法课件

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学习要求:1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的 联系.3.会解一元二次不等式.
1.“三个二次”的关系
2.(x-a)(x-b)>0和(x-a)(x-b)<0型不等式的解集
知识拓展1.一元二次不等式的恒成立的问题(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔ (2)一元二次不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔ 
2.分式不等式的转化(1) >0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2) ≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)若不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为(x1,x2),则必有a>0.(　　)(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个 根是x1和x2. (　　)(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R. (　　)(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0. (　　)(5)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c<0的解集一定 不是空集. (　　)
2.已知A={x|-4解析    因为A={x|-43.|x|·(1-2x)>0的解集为 (　　)A.(-∞,0)∪ 　　　    B. C. 　　　     D. 
解析    原不等式等价于 解不等式组可得实数x的取值范围是(-∞,0)∪ .
4.设不等式ax2+bx+1>0的解集为 ,则ab的值为　　　    .
解析　由不等式ax2+bx+1>0的解集为 ,知a<0且ax2+bx+1=0的两根为x1=-1,x2= ,由根与系数的关系知 所以a=-3,b=-2,即ab=6.
5.若不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是　 　　　　        .
(-∞,-4)∪(4,+∞)
解析　因为不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,所以Δ=a2-4×4>0,即a2>16,所以a>4或a<-4.
  角度一　解不含参数的一元二次不等式典例1　(1)解不等式:-x2-2x+3≥0;(2)已知函数f(x)= 解不等式f(x)>3.
考点一　一元二次不等式的解法
解析　(1)不等式两边同乘-1,则原不等式可化为x2+2x-3≤0.方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1.而y=x2+2x-3的图象开口向上,所以原不等式-x2-2x+3≥0的解集是{x|-3≤x≤ 1}.(2)由题意得 或 解得x>1,故原不等式的解集为{x|x>1}.
角度二　解含参数的一元二次不等式典例2　解关于x的不等式:12x2-ax>a2(a∈R).
解析　因为12x2-ax>a2,所以12x2-ax-a2>0,即(4x+a)(3x-a)>0.令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=- ,x2= .①当a>0时,- < ,不等式的解集为 ;②当a=0时,x2>0,不等式的解集为{x|x∈R,且x≠0};③当a<0时,- > ,不等式的解集为 .综上所述,当a>0时,不等式的解集为 ;当a=0时,不等式的解集
为{x|x∈R,且x≠0};当a<0时,不等式的解集为 .
名师点评(1)解一元二次不等式的方法和步骤: 
(2)解含参数的一元二次不等式的步骤:①二次项系数若含有参数,应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式;②判断对应方程的根的个数,讨论判别式Δ与0的关系;③确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关 系,从而确定解集形式.
1.已知集合M={x|3x-x2>0},N={x|x2-4x+3>0},则M∩N= (　　)A.(0,1)　　　    B.(1,3)C.(0,3)　　　    D.(3,+∞)
解析    将M中不等式变形,得x(x-3)<0,解得00,解得x<1或x>3,即N=(-∞,1)∪(3,+∞),则M∩N=(0,1).故选 A.
2.解不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).
解析　因为a>0,所以原不等式等价于 (x-1)<0.①当a=1时, =1, (x-1)<0无解;②当a>1时, <1,解 (x-1)<0,得 1,解 (x-1)<0,得1当a>1时,不等式的解集为 .
  角度一　形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围典例3　若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围 是　　　    .
考点二　一元二次不等式恒成立问题
解析　当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0,对一切x∈R恒成立.当a≠2时,则 即 解得-2角度二　形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a,b])确定参数的范围典例4    (2019江苏海安高级中学调研)已知对于任意的x∈(-∞,1)∪(5,+∞),都 有x2-2(a-2)x+a>0,则实数a的取值范围是　　　    .
解析　设f(x)=x2-2(a-2)x+a.因为对于任意的x∈(-∞,1)∪(5,+∞),都有f(x)=x2-2(a-2)x+a>0,所以Δ<0或 解得1角度三　形如f(x)≥0(f(x)≤0)(参数m∈[a,b])确定x的范围典例5　 求使不等式x2+(a-6)x+9-3a>0,|a|≤1恒成立的x的取值范围.
解析　将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x-3)a+x2-6x+9>0.令f(a)=(x-3)a+x2-6x+9,-1≤a≤1.因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立,所以①若x=3,则f(a)=0,不符合题意,舍去.②若x≠3,则由一次函数的单调性,可得 即 解得x<2或x>4.故实数x的取值范围为(-∞,2)∪(4,+∞).
名师点评形如f(x)≥0(f(x)≤0)恒成立问题的求解思路(1)x∈R的不等式确定参数的范围时,结合二次函数的图象,利用判别式来求解.(2)x∈[a,b]的不等式确定参数的范围时,①根据函数的单调性求其最值,让最 值大于等于或小于等于0,从而求出参数的范围;②数形结合,利用二次函数在 端点a,b处的取值特点确定不等式,求参数的取值范围.(3)已知参数m∈[a,b]的不等式确定x的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁 的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.▶提醒    解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元,谁是参数.
1.若函数y= 的定义域为R,则m的取值范围是　　　    .
解析    y= 的定义域为R,即mx2-(1-m)x+m≥0对任意x∈R恒成立,则 解得m≥ .
2.设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于任意x∈[1,3], f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.
解析　要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,即m + m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.令g(x)=m + m-6,x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,所以g(x)max=g(3)⇒7m-6<0,所以m< ,所以0所以m<6,所以m<0.综上所述,m的取值范围是 .
  典例6　(1)不等式 ≥1的解集为 (　　)A.(-∞,-1]∪[2,+∞)　　　    B.(-∞,-1]∪ C.(-∞,-1]∪ 　　　    
考点三　其他不等式的解法
D. ∪[2,+∞)(2)解关于x的不等式:|x-1|<|5-2x|.(3)解关于x的不等式:3<|2x-3|<5.
解析　(1)由题意得 -1≥0,所以 ≥0,所以 ≥0,所以 解得-1≤x< 或x≥2,所以不等式的解集为 ∪[2,+∞).
(2)由原不等式得(x-1)2<(5-2x)2,∴(x-1)2-(5-2x)2<0,∴(x-2)(x-4)>0,∴x<2或x>4,∴原不等式的解集是{x|x<2或x>4}.(3)原不等式的解集是{x|-1名师点评1.去绝对值的方法(1)分类讨论(通过绝对值的定义);(2)数形结合(通过绝对值的几何意义);(3)平方去绝对值.2.分式不等式的解法解分式不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法将分式不等式转化 为整式不等式或不等式组来解决.
3.高次不等式的解法高次不等式通常是化为不等式组或用列表法或用数轴标根法求解.
1.不等式 解析    不等式 0,等价于x(x+3)(x+2)>0,如图,把x(x+3)(x+2)=0的各个根排列在数轴上, 用穿根法求得不等式的解集为(-3,-2)∪(0,+∞).
2.解关于x的不等式:|x-2|+|x+3|>7.
解析　当x<-3时,原不等式变成-(x-2)-(x+3)>7,解得x<-4.当-3≤x<2时,原不等式变成-(x-2)+(x+3)>7,解集为⌀.当x≥2时,原不等式变成(x-2)+(x+3)>7,解得x>3.综上,原不等式的解集是(-∞,-4)∪(3,+∞).
微专题——转化与化归思想在不等式中的应用 典例    (2020福清模考)已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|20的解集为(　　)A. 　　　    B. C. 　　　 D.     
解析　一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|20化为10ax2-7ax+a>0,即10x2-7x+1<0,解得 本例利用了转化思想,其思路为(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标. (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象在x轴上方的部分,是由不等式ax2+bx+c> 0的x的值构成的;图象在x轴下方的部分,是由不等式ax2+bx+c<0的x的值构成 的,三者之间相互依存、相互转化.
设a,b是关于x的一元二次方程x2-2mx+m+6=0的两个实根,则(a-1)2+(b-1)2的 最小值是 (　　)A.- 　　　    B.18　　　    C.8　　　    D.-6