2021学年6.2 平面向量的运算课后复习题

四　向量的数乘运算

　【基础全面练】　(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．如图，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，那么向量＋等于(　　)

A.    B．    C．    D．

【解析】选A.因为E为CD的中点，所以，

则＋＝＋＝.

2．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa＋b与c共线，则实数λ＝(　　)

A.－2    B．－1    C．1    D．2

【解析】选D.根据图形可看出2a＋b＝c；

满足2a＋b与c共线，所以λ＝2.

3．在四边形ABCD中，若＝3e，＝－5e，且||＝||，则四边形ABCD是(　　)

A．平行四边形      B．菱形

C．等腰梯形      D．不等腰的梯形

【解析】选C.因为＝－，所以AB∥CD，且||≠||.而||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形．

4．(2021·新乡高一检测)已知＝a＋5b，＝－2(a－4b)，＝3(a－b)，则(　　)

A．M，N，P三点共线

B．M，N，Q三点共线

C．M，P，Q三点共线

D．N，P，Q三点共线

【解析】选B.＝＋＝a＋5b＝，所以M，N，Q三点共线．

【加固训练】

 已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)

A．A，B，D    B．A，B，C

C．B，C，D    D．A，C，D

【解析】选A.＋＋＝a＋2b＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝＝

3，所以A，B，D三点共线．

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．若|a|＝m，b与a方向相反，|b|＝2，则a＝______b.

【解析】因为2|a|＝m|b|，a与b方向相反，所以a＝－b.

答案：－

【加固训练】

 已知2a－b＝m，a＋3b＝n，那么a，b用m，n可以表示为a＝________，b＝________．

【解析】由2a－b＝m，可得2a－m＝b，

代入a＋3b＝n可得a＋3(2a－m)＝n，

解得a＝m＋n，代入2a－m＝b可得b＝－m＋n.

答案：m＋n　－m＋n

6．已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ等于________．

【解析】因为向量a＋λb与b＋λa的方向相反，所以(a＋λb)∥(b＋λa)，即存在一个负实数m，使得a＋λb＝m(b＋λa)，即(1－mλ)a＝(m－λ)b.

因为a与b不共线，所以1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ＜0，所以1－λ2＝0，所以λ＝－1.

答案：－1

三、解答题

7．(10分)如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.

【解析】由三角形中位线定理，知DE綊BC，故＝，即＝a.

＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.

＝＋＋＝＋＋

＝－a－b＋a＝a－b.

　【综合突破练】　(15分钟　30分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．如图，已知＝a，＝b，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则＝(　　)

A.a＋b　　    B．2a－3b

C．3a＝2b    D．2b－2a

【解析】选D.因为＝a，＝b，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，

所以AB是△MSN的中位线，

所以＝2＝2(－)＝2b－2a.

【加固训练】

 (2021·焦作高一检测)已知O是△ABC所在平面内一点，P为线段AB的中点，且－＋3＝0，那么(　　)

A．＝    B．＝

C．＝    D．＝

【解析】选A.O是△ABC所在平面内一点，因为P是AB边中点．

则＋－3＝0⇒＋＝3，

⇒2＝3⇒＝.

2．(多选题)(2021·德州高一检测)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　)

A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e

B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0

C．当x＋y＝0时，xa＋yb＝0

D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b

【解析】选AB.A.联立2a－3b＝4e和a＋2b＝－2e消去向量e可得出4a＋b＝0，所以b＝－4a，且a≠0，所以a，b共线；

B．因为a，b都是非零向量，且λ≠μ，λa－μb＝0，所以λ，μ都不为0，所以a＝b，所以a，b共线；

C．当x＝y＝0时，满足x＋y＝0，此时对任意的向量a，b都有xa＋yb＝0，所以得不出a，b共线；

D．因为AB与CD不一定平行，所以得不出a，b共线．

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．(2021·淄博高一检测)C在线段AB上，且＝，则＝____，＝____.

【解析】因为＝，

所以＝，＝－.

答案：　－

4．如图，四边形ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．

(1)＝____________；

(2)＝____________．

【解析】(1)因为∥，||＝2||，所以＝2，＝.＝＋＝e2＋e1.

(2)＝＋＋

＝－－＋＝－e1－e2＋e1

＝e1－e2.

答案：(1)e2＋e1　(2)e1－e2

【一题多变】

在本例中，若条件改为＝e1，＝e2，试用e1，e2表示向量.

【解析】因为＝＋＋，＝＋＋，所以2＝(＋)＋＋＋(＋).又因为M，N分别是DC，AB的中点，

所以＋＝0，＋＝0.

所以2＝＋，

所以＝(－－)＝－e2－e1.

三、解答题

5．(10分)(2021·忻州高一检测)已知△OAB中，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，设＝a，＝b.

(1)用向量a与b表示向量，；

(2)若＝，求证：C，D，E三点共线．

【解析】(1)因为＝a，＝b，

所以＝＋＝－a－b，

＝＋＝＋＝＋(＋)

＝2a＋(－a＋b)＝a＋b.

(2)因为＝－＝(－b)＋a＋b

＝a＋b＝，所以与共线，

又因为与有公共点C，所以C，D，E三点共线．