数学选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.3 离散型随机变量的数字特征综合训练题

7.3.2 离散型随机变量的方差

一、选择题

1．（2021·全国高二课时练）甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品件，表示甲机床生产件产品中的次品数，表示乙机床生产件产品中的次品数，经过一段时间的考察，，的分布列分别如表一，表二所示．据此判断（   ）

表一

表二

A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好

C．甲与乙质量相同 D．无法判定

【答案】B

【详解】由分布列可求甲的次品数期望为，乙的次品数期望为，

，

，

，，乙比甲质量好.

2．（2021·云南昆明高二月考）已知随机变量X的分布列如下：

若随机变量Y满足，则Y的方差（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题意可知，，则，

则，又，所以．

3．（2021·浙江高二期末）设，，随机变量X的分布列是（    ）

则方差（    ）

A．既与有关，也与有关 B．与有关，但与无关

C．与有关，但与无关 D．既与无关，也与无关

【答案】B

【详解】由分布列可得，

故.故选：B

4．（2021·浙江丽水市高二月考）已知随机变量的分布列如下：

则的最大值（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解:有题得，即，所以，

故，

因为，故，

所以由二次函数性质得，当，的最大值.

5．（多选题）（2021·全国高二课时练）已知X的分布列为

则下列说法正确的有（    ）

A．P(X＝0)＝ B．E(X)＝－

C．D(X)＝ D．P(X＞－1)＝

【答案】ABD

【详解】由分布列的性质可知＝1，即a＝.∴P(X＝0)＝，故A正确；

E(X)＝，故B正确；

D(X)＝，故C错误；

P(X＞－1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝，故D正确．故选：ABD.

6．（多选题）（2021·浙江杭州市高二月考）已知，随机变量的分布列如下表所示，若，则下列结论中可能成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【详解】由题意得，

．

因为，所以，

所以，又，所以，

故不可能成立，而选项A，B，C均有可能成立.

二、填空题

7．（2021·福建莆田一中高二期末）随机变量的分布列如下表：

且，则______.

【答案】

【详解】因为，又，
所以，.
8．（2021·广东高二期末）已知离散型随机变量的取值为0，1，2，且，，；若，则___________.

【答案】

【详解】由题意知：，解得，

所以.

9．（2021·山西朔州市·应县一中高二）随机变量的分布列如下表：

其中，，成等差数列，若，则的值是________.

【答案】

【详解】因为，又因为，，成等差数列，所以

所以,又因为，所以

所以.

10．（2021·江苏常州市高二期中）设随机变量的概率分布列如下表所示：

其中，，成等差数列，若随机变量的均值为，则的方差为_________．

【答案】

【详解】因为，，成等差数列，则，其在分布列中，

所以，又因为机变量的均值，

且,故

所以的方差为

三、解答题

11．（2021·全国高二单元测）甲､乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别如下，试评定这两个保护区的管理水平.

甲保护区：

乙保护区：

【详解】解：甲保护区违规次数X的数学期望和方差为

E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3，

D(X)=(01.3)2×0.3+(11.3)2×0.3+(21.3)2×0.2+(31.3)2×0.2=1.21.

乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为

E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3，

D(Y)=(01.3)2×0.1+(11.3)2×0.5+(21.3)2×0.4=0.41.

因为E(X)=E(Y)，D(X)>D(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定，所以乙保护区的管理水平比甲高.

12．（2021·北京大兴高二期末））根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表：历年气象资料表明，该工程施工期间降水量小于、、的概率分别为、、．求：

（1）工期延误天数的均值与方差；

（2）在降水量至少是的条件下，工期延误不超过天的概率．

【答案】（1）的均值为，方差为；（2）．

【详解】

（1）由已知条件和概率的加法公式有：，，

，，

所以的分布列为：

于是，，

.

故工期延误天数的均值为，方差为；

（2）由对立事件的概率公式可得，

又，

由条件概率得，

故在降水量至少是的条件下，工期延误不超过天的概率是．