新课标2022版高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系充分条件与必要条件练习含解析文

这是一份新课标2022版高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系充分条件与必要条件练习含解析文，共12页。试卷主要包含了理解命题的概念，“ln x<0”是“x<1”的等内容，欢迎下载使用。

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件
学习要求:
1.理解命题的概念.
2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题间的相互关系.
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.



　　1.命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的,可以①　判断真假　的陈述句叫做命题,其中②　判断为真　的语句叫做真命题,③　判断为假　的语句叫做假命题. 
2.四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系:

(2)四种命题的真假关系:
(i)两个命题互为逆否命题,它们有⑦　相同　的真假性; 
(ii)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性⑧　没有关系　. 
▶提醒　在判断命题之间的关系时,要先分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性.
3.充分条件与必要条件
(1)若p⇒q,则p是q的⑨　充分　条件,q是p的⑩　必要　条件. 
(2)若p⇒q,且q⇒/ p,则p是q的　充分不必要　条件. 
(3)若p⇒/ q,且q⇒p,则p是q的　必要不充分　条件. 
(4)若p⇔q,则p是q的　充要　条件. 
(5)若p⇒/ q,且q⇒/ p,则p是q的　既不充分也不必要　条件. 
▶提醒　不能将“若p,则q”与“p⇒q”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”.
知识拓展
　　从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为:
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;
(2)若A⊇B,则p是q的必要条件;
(3)若A=B,则p是q的充要条件;
(4)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件;
(5)若A⫌B,则p是q的必要不充分条件;
(6)若A⊈B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.


1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)“x2-3x+2=0”是命题. (　　)
(2)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系. (　　)
(3)命题“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.(　　)
(4)若p是q成立的充分条件,则q是p成立的必要条件. (　　)
(5)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则¬q”. (　　)
(6)一个命题非真即假. (　　)
答案　(1)✕　(2)✕　(3)√　(4)√
(5)✕　(6)√
2.“若x>1,则x>0”的否命题是 (　　)
A.若x>1,则x≥0　　　　B.若x≤1,则x>0
C.若x≤1,则x≤0　　　　D.若x<1,则x<0
答案　C　
3.当命题“若p,则q”为真时,下列命题中一定为真的是 (　　)
A.若q,则p　　　
B.若¬p,则¬q
C.若¬q,则¬p　　　
D.若p,则¬q
答案　C　
4.(新教材人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编)已知a>0,b>0,则“ab>1”是“a+b>2”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
5.(易错题)“ln x<0”是“x<1”的 (　　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B　因为ln x<0,所以0 故选B.
易错分析　本题容易忽视x的取值范围.


命题及其相互关系
　　典例1　有下列四个命题,其中真命题是 (　　)
①“若xy=1,则lg x+lg y=0”的逆命题;
②“若a·b=a·c,则a⊥(b-c)”的否命题;
③“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;
④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题.
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.①②　　　　B.①②③④　　　
C.②③④　　　　D.①③④
答案　B
名师点评
　　1.写一个命题的其他三种命题时,需注意:
(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;
(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.
2.(1)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.
(2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易时,可间接判断.

1.原命题:设a,b,c∈R,若“a>b,则ac2>bc2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有(　　)
A.0个　　　　B.1个　　　
C.2个　　　　D.4个
答案　C　原命题:若c=0,则不成立即为假命题,由等价命题同真同假知其逆否命题也为假;
逆命题:设a,b,c∈R,若“ac2>bc2,则a>b”.由ac2>bc2知c2>0,∴由不等式的基本性质得a>b,∴逆命题为真,由等价命题同真同假知否命题也为真,∴真命题共有2个.
故选C.
2.以下命题的说法正确的是　　　　　　　(填序号). 
①“若log2a>0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;
②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;
③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;
④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.
答案　②④
充分条件、必要条件的判断
1.(2020四川达州高三第三次诊断性测试)已知条件p:a>b,条件q:a2>b2,则p是q的 (　　)
A.充分必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案　D　当a=1,b=-2时,a2 当a2>b2时,a2-b2>0,
即(a-b)(a+b)>0,所以a>b且a+b>0或a 故选D.
2.(2020北京,9,4分)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的 (　　)
A.充分而不必要条件　　　
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件　　　
D.既不充分也不必要条件
答案　C　(1)充分性:已知存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,
(i)若k为奇数,则k=2n+1,n∈Z,此时α=(2n+1)π-β,n∈Z,
sin α=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sin β;
(ii)若k为偶数,则k=2n,n∈Z,此时α=2nπ+β,n∈Z,
sin α=sin(2nπ+β)=sin β.
由(i)(ii)知,充分性成立.
(2)必要性:若sin α=sin β成立,则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y轴对称,即α=β+2mπ或α+β=2mπ+π,m∈Z,
即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,必要性也成立,故选C.
3.(2020山东潍坊高三模拟)“a=2”是“∀x>0,x+1x≥a成立”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A　∵∀x>0时,x+1x≥2,
∴“∀x>0,x+1x≥a”等价于a≤2,
而a=2可以推出a≤2,但a≤2不能推出a=2,∴“a=2”是“∀x>0,x+1x≥a成立”的充分不必要条件,故选A.
4.集合A={x|x>1},B={x|x<2},则“x∈A或x∈B”是“x∈(A∩B)”的　　　　　　　条件. 
答案　必要不充分
名师点评
　　充要条件的三种判断方法
(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断.
(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,判断原命题的逆否命题的真假.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.

充分、必要条件的应用
典例2　(1)设α:1≤x≤3,β:m+1≤x≤2m+4,m∈R,若α是β的充分条件,则m的取值范围是　　　　. 
(2)已知条件p:2x2-3x+1≤0,条件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p是¬q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是　　　　. 
答案　(1)-12,0
(2)0,12


名师点评
　　1.解题“2关键”:
(1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.
(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.
名师点评
　　2.解题“1注意”:
求参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求参数的取值范围时,不等式能否取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.

1.(2020陕西山阳城区中学高三月考)已知集合A=x|2xx-2<1,集合B={x|x2-(2m+1)x+m2+m<0},p:x∈A,q:x∈B,若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是　　　　. 
答案　[-2,1]
解析　集合A=x|2xx-2<1
=x|x+2x-2<0={x|-2 集合B={x|x2-(2m+1)x+m2+m<0}
={x|m 因为p是q的必要不充分条件,
所以B⫋A,得m≥-2,m+1≤2,
解得-2≤m≤1,
所以m的取值范围为[-2,1].
2.(2020河南高三月考)已知p:|x-1|≤2,q:x2-2x+1-a2≥0(a>0),若p是¬q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是　　　　. 
答案　(0,2]
解析　∵|x-1|≤2,∴-1≤x≤3,即p:-1≤x≤3;
∵x2-2x+1-a2≥0(a>0),
∴x≤1-a或x≥1+a,
∴¬q:1-a ∵p是¬q的必要不充分条件,
∴a>0,1-a≥-1,1+a≤3,解得0 ∴实数a的取值范围是(0,2].


A组　基础达标

1.命题“若x≥a2+b2,则x≥2ab”的逆命题是 (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.若x B.若x≥a2+b2,则x<2ab
C.若x<2ab,则x D.若x≥2ab,则x≥a2+b2
答案　D
2.(2020河北邯郸月考)下列命题是真命题的为 (　　)
A.若1x=1y,则x=y　　　　B.若x2=1,则x=1
C.若x=y,则x=y　　　　D.若x 答案　A
3.(2020浙江高三开学考)“x=1”是“lg2x-lg x=0”成立的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
4.(2019河北承德月考)命题“若两个整数a,b都是奇数,则它们的和a+b是偶数”的逆否命题是 (　　)
A.若两个整数a与b的和a+b是偶数,则a,b都是奇数
B.若两个整数a,b不都是奇数,则a+b不是偶数
C.若两个整数a与b的和a+b不是偶数,则a,b都不是奇数
D.若两个整数a与b的和a+b不是偶数,则a,b不都是奇数
答案　D
5.若p是q的充分不必要条件,则下列判断正确的是 (　　)
A.¬p是q的必要不充分条件
B.¬q是p的必要不充分条件
C.¬p是¬q的必要不充分条件
D.¬q是¬p的必要不充分条件
答案　C
6.(2020浙江高三模拟)已知a,b为正实数,则“a+1b>b+2a”是“a>b”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
7.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的 (　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
答案　B
8.(2020浙江湖州模拟)已知a,b∈R,则“log3a>log3b”是“12a<12b”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A　由log3a>log3b得a>b>0,因为y=12x是减函数,所以12a<12b成立;当12a<12b时,a>b成立,因为正负不确定,所以不能推出log3a>log3b,故“log3a>log3b”是“12a<12b”的充分不必要条件,故选A.



B组　能力拔高

9.圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充分不必要条件是 (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.k≤-22或k≥22　　　
B.k≤-22
C.k≥2　　　
D.k≤-22或k>2
答案　B　若直线与圆有公共点,则圆心(0,0)到直线kx-y-3=0的距离d=|-3|k2+1≤1,即k2+1≥3,∴k2+1≥9,即k2≥8,∴k≥22或k≤-22,∴由选项知圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充分不必要条件是k≤-22,故选B.
10.已知条件p:|x-4|≤6;条件q:(x-1)2-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是 (　　)
A.[21,+∞)　　　　B.[9,+∞)
C.[19,+∞)　　　　D.(0,+∞)
答案　B　由题意知,条件p:-2≤x≤10,条件q:1-m≤x≤m+1,又p是q的充分不必要条件,故有1-m≤-2,1+m≥10,m>0,解得m≥9.
11.(2020江苏扬州月考)“a>b”是“3a>3b”的　　　条件(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”). 
答案　充要
解析　因为y=3x在R上是增函数,
所以当a>b时,3a>3b,故充分性成立;
当3a>3b时,a>b,故必要性成立.
故“a>b”是“3a>3b”的充要条件.
12.(2020黑龙江鹤岗期末)下列命题中为真命题的是　　　　.(填序号) 
①命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题;
②命题“若x>1,则x2>1”的否命题;
③命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题;
④“若x2<4,则-2 答案　①④
解析　对于①,命题的逆命题为“若x>|y|,则x>y”,为真命题,
对于②,命题的否命题为“若x≤1,则x2≤1”,为假命题,
对于③,命题的否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,为假命题,
对于④,命题“若x2<4,则-2 综上,①④为真命题.

C组　思维拓展

13.(2020河南高三模拟)若关于x的不等式(x-a)(x-3)<0成立的充要条件是2 答案　2
解析　因为2 因为2 故a=2.
14.设集合A={x|x(x-1)<0},B={x|0 答案　充分不必要
解析　由m∈B不能推出m∈A,如x=2,故必要性不成立.
由x∈A能推出x∈B,
所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件.
15.在熟语“水滴石穿”中,“石穿”是“水滴”的　　　　条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”). 
答案　必要不充分
解析　“水滴”可以推出“石穿”,但“石穿”推不出“水滴”,有可能是“化学腐蚀”,故“石穿”是“水滴”的必要不充分条件.