新课标2022版高考数学总复习第二章函数第九节函数模型及其应用课件文

这是一份新课标2022版高考数学总复习第二章函数第九节函数模型及其应用课件文，共40页。

学习要求:1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增 长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活 中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
1.几种常见的函数模型
2.三种增长型函数模型的图象与性质
3.解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学 知识建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:
知识拓展　　形如f(x)=x+ (a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型:(1)该函数在(-∞,- )和( ,+∞)上单调递增,在[- ,0)和(0, ]上单调递减.(2)当x>0时,在x= 处取最小值2 ;当x<0时,在x=- 处取最大值-2 .
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按 九折出售,则每件还能获利. (　　)(2)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=lg2x,当x∈(4,+∞)时,三个函数的增长速度大小为 g(x)>f(x)>h(x). (　　)(3)函数y=2x的函数值在(0,+∞)上一定比y=x2的函数值大.(　　)(4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α> 0)的增长速度. (　　)
2.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:
则x,y最适合的拟合函数是 (　　)A.y=2x　　　    B.y=x2-1C.y=2x-2　　　    D.y=lg2x
3.前两年某商品的价格每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格 与原来价格比较,变化的情况是 (　　)A.减少7.84%　　　    B.增加7.84%C.减少9.5%　　　    D.不增不减
4.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8 万元时,奖励1万元;销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为 y=alg4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为　　　    万元.
5.某城市客运公司确定客票价格的方法:如果行程不超过100 km,那么票价是 0.5元/km,如果超过100 km,那么超过100 km的部分按0.4元/km定价,则客运票 价y(元)与行程x(km)之间的函数关系式是　　　　　　　    .
考点一　利用函数模型解决实际问题 
1.(2019北京,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有 草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为了增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　    元;(2)在促销活动中,为了保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的 七折,则x的最大值为　　　    .
解析　(1)x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题意得顾客需支付140-10=130元.(2)设每笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况.根据题意得(m-x)×80%≥m×70%,所以x≤ ,m≥120,为了保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x≤ ,而 =15,所以x≤15.所以x的最大值为15.
2.(2020河北衡水中学调研)为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔 热层,体育馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万 元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足 关系:C(x)= (0≤x≤10,k为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求总费用的最小值.
解析　(1)当x=0时,C(0)=8,∴k=40,∴C(x)= (0≤x≤10),∴f(x)=6x+ =6x+ (0≤x≤10).(2)由(1)得f(x)=2×(3x+5)+ -10.令3x+5=t,t∈[5,35],则y=2t+ -10≥2 -10=70(当且仅当2t= ,即t=20时,等号成立),此时x=5, f(x)取得最小值,为70.∴隔热层修建5 cm厚时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元.
方法技巧利用所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.
考点二　二次函数、分段函数模型  
典例1　某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60 吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120 (0≤t≤24)吨.(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张的现象,则在一天的24小 时内约有几个小时出现供水紧张的现象?
解析　(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨,则y=400+60t-120 ,0≤t≤24,令 =x,则x2=6t,0≤x≤12,即y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,0≤x≤12,所以当x=6,即t=6时,ymin=40,即从供水开始到第6小时时,蓄水池中的存水量最少,只有40吨.(2)由(1)及题意得400+10x2-120x<80⇒x2-12x+32<0,解得4因为 - =8,所以每天约有8个小时供水紧张.
典例2    (2020陕西西安中学模拟)某景区提供自行车出租服务,该景区有50辆 自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每 辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每超过1 元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(单位:元, 只取整数)并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y (单位:元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管 理费用后得到的部分).(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?
解析　(1)当x≤6时,y=50x-115,令50x-115>0,解得x>2.3,∵x为整数,∴3≤x≤6,x∈Z.当x>6时,y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115.令-3x2+68x-115>0,得3x2-68x+115<0,∵x为整数,∴6(2)对于y=50x-115(3≤x≤6,x∈Z),显然当x=6时,ymax=185;对于y=-3x2+68x-115=-3 + (6185,∴当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多.
1.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同 的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解.
2.构造分段函数时,要力求准确、简捷,做到分段合理、不重不漏.
3.分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者.
1.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻 关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每 月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(单位:元)与月处理量x (单位:吨)之间的函数关系可近似地表示为y= x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元.则该单位每月能否获利?如 果获利,求出最大利润;如果不获利,那么国家至少需要补贴多少元才能使该 单位不亏损?
解析　设该单位每月获利为S元,则S=100x-y=100x- =- x2+300x-80 000=- (x-300)2-35 000(400≤x≤600),因为400≤x≤600,所以当x=400时,S取得最大值,为-40 000.故该单位不获利, 需要国家每月至少补贴40 000元,才能不亏损.
2.(2020云南昆明第三中学模拟)某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进 智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x台机器人 的总成本p(x)= x2+x+150(单位:万元).(1)若使每台机器人的平均成本最低,则应买多少台?(2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将 邮件送达指定落袋格口即完成分拣,经试验知,每台机器人的日平均分拣量q(m)= (单位:件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件,则引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机
器人前的用人数量最多可减少百分之几?
解析　(1)由总成本p(x)= x2+x+150,可得每台机器人的平均成本y= = = x+ +1≥2 +1=2(万元),当且仅当 x= ,即x=300时,取等号.所以若使每台机器人的平均成本最低,应买300台.(2)引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量q(m)= 当1≤m≤30时,300台机器人的日平均分拣量为160m(60-m)=-160m2+9 600m=-160(m-30)2+144 000,
所以当m=30时,日平均分拣量取得最大值,为144 000件.当m>30时,日平均分拣量为480×300=144 000件.所以300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件.当传统人工分拣144 000件时,需要的人数为 =120.所以日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可 减少 =75%.
考点三　指数函数、对数函数模型 
典例3　某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监 测,服药后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与时间t(单位:小时)之间近似 满足如图所示的曲线. 
(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式;(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服 药一次后治疗疾病有效的时间.
解析　(1)由题图,设y=kt,0≤t≤1,当t=1时,由y=4得k=4,则y=4t.由 =4得a=3.所以y= (2)由y≥0.25得 或 
解得 ≤t≤5,故服药一次后治疗疾病有效的时间是5- = (小时).
典例4　候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专 家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+ blg3 (其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.(1)求出a,b的值;(2)若这种鸟类为了赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多 少个单位?
解析　(1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m /s,此时耗氧量为30 个单位,则a+blg3 =0,即a+b=0;当耗氧量为90个单位时,速度为1 m /s,则a+blg3 =1,即a+2b=1.联立方程 解得 (2)由(1)知,v=a+blg3 =-1+lg3 .所以要使飞行速度不低于2 m/s,则v≥2,
所以-1+lg3 ≥2,即lg3 ≥3,解得Q≥270.所以若这种鸟类为了赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要270个单位.
规律总结构建数学模型解决实际问题时,要正确理解题意,分清条件和结论,理清数量 关系,将文字语言转化为数学语言,建立适当的函数模型,求解过程中不要忽 略实际问题对变量的限制.
1.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b (e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是     (     )A.16小时　　　    B.20小时C.24小时　　　    D.28小时
解析　由已知得192=eb,①48=e22k+b=e22k·eb,②将①代入②得e22k= ,则e11k= ,当x=33时,y=e33k+b=e33k·eb= ×192=24,所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时.故选C.
2.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入 研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该 公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 (　　)(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)A.2018年　　　    B.2019年C.2020年　　　    D.2021年