新课标2022版高考数学总复习第二章函数第九节函数模型及其应用练习含解析文

这是一份新课标2022版高考数学总复习第二章函数第九节函数模型及其应用练习含解析文，共16页。试卷主要包含了了解函数模型的广泛应用，解函数应用题的步骤，84%　　　　B，5%　　　　D，5x,0 第九节　函数模型及其应用
学习要求:
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.



　　1.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a、b为常数,且a≠0)
反比例函数模型
f(x)=ax+b(a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c
(a,b,c为常数,且a≠0)
指数函数模型
f(x)=bax+c
(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)=blogax+c
(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)=axn+b(a,b,n为常数,且a≠0)





2.三种增长型函数模型的图象与性质
函数性质
y=ax
(a>1)
y=logax
(a>1)
y=xα
(α>0)
在(0,+∞)
上的增减性
①　增函数　 
②　增函数　 
③　增函数　 
增长速度
④　越来越快　 
⑤　越来越慢　 
相对平稳
图象的变化
随x增大逐渐表现为与⑥　y轴　平行 
随x增大逐渐表现为与⑦　x轴　平行 
随α值变化而不同
值的比较
存在一个x0,当x>x0时,有logax0时,在x=a处取最小值2a;当xf(x)>h(x). (　　)
(3)函数y=2x的函数值在(0,+∞)上一定比y=x2的函数值大.(　　)
(4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度. (　　)
答案　(1)✕　(2)√　(3)✕　(4)√
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
2.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
-0.99
0.01
0.98
2.00
则x,y最适合的拟合函数是 (　　)
A.y=2x　　　　B.y=x2-1
C.y=2x-2　　　　D.y=log2x
答案　D
3.前两年某商品的价格每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是 (　　)
A.减少7.84%　　　　B.增加7.84%
C.减少9.5%　　　　D.不增不减
答案　A
4.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元;销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为　　　　万元. 
答案　1 024
5.某城市客运公司确定客票价格的方法:如果行程不超过100 km,那么票价是0.5元/km,如果超过100 km,那么超过100 km的部分按0.4元/km定价,则客运票价y(元)与行程x(km)之间的函数关系式是　　　　　　　　. 
答案　y=0.5x,0100


利用函数模型解决实际问题
1.(2019北京,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为了增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　元; 
(2)在促销活动中,为了保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　. 
答案　(1)130　(2)15
解析　(1)x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题意得顾客需支付140-10=130元.
(2)设每笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况.
根据题意得(m-x)×80%≥m×70%,
所以x≤m8,m≥120,
为了保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x≤m8min,而m8min=15,所以x≤15.
所以x的最大值为15.
2.(2020河北衡水中学调研)为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层,体育馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=k3x+5(0≤x≤10,k为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求总费用的最小值.
解析　(1)当x=0时,C(0)=8,∴k=40,
∴C(x)=403x+5(0≤x≤10),
∴f(x)=6x+20×403x+5=6x+8003x+5(0≤x≤10).
(2)由(1)得f(x)=2×(3x+5)+8003x+5-10.
令3x+5=t,t∈[5,35],
则y=2t+800t-10≥22t·800t-10=70(当且仅当2t=800t,即t=20时,等号成立),
此时x=5, f(x)取得最小值,为70.
∴隔热层修建5 cm厚时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元.
方法技巧
　　利用所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该模型求解实际问题.
二次函数、分段函数模型
　　典例1　某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为1206t(0≤t≤24)吨.
(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?
(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张的现象,则在一天的24小时内约有几个小时出现供水紧张的现象?
解析　(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨,
则y=400+60t-1206t,0≤t≤24,
令6t=x,则x2=6t,0≤x≤12,
即y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,0≤x≤12,
所以当x=6,
即t=6时,ymin=40,
即从供水开始到第6小时时,蓄水池中的存水量最少,只有40吨.
(2)由(1)及题意得400+10x2-120xlg 200,
∴lg 130+(n-1)lg 1.12>lg 2+2,
∴2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12>lg 2+2,
∴0.11+(n-1)×0.05>0.30,
解得n>245,
又∵n∈N*,∴nmin=5,
∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2021年.故选D.



A组　基础达标

1.下列函数中,随x的增大y的增大速度最快的是 (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.y=0.001·ex　　　　B.y=1 000ln x
C.y=x1 000　　　　D.y=1 000·2x
答案　A
2.用长度为24米的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为 (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.3米　　　　B.4米　　　　C.6米　　　　D.12米
答案　A
3.(2020广西柳州高级中学期中)某电视新产品投放市场后第一个月销售量为100台,第二个月销售量为200台,第三个月销售量为400台,第四个月销售量为790台,则下列函数模型中能较好地反映销售量y与投放市场的月数x之间关系的是 (　　)
A.y=100x　　　　B.y=50x2-50x+100
C.y=50×2x　　　　D.y=100log2x+100
答案　C
4.(2020海南嘉积中学调研)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是 (　　)

A.40万元　　　　B.60万元
C.120万元　　　　D.140万元
答案　C
5.(2020陕西西安中学期中)某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为 (　　)
A.略有盈利　　　　B.略有亏损
C.没有盈利也没有亏损　　　　D.无法判断盈亏情况
答案　B
6.(2020湖南岳阳一中期末)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与MN最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48) (　　)
A.1033　　　　B.1053　　　　C.1073　　　　D.1093
答案　D

B组　能力拔高

7.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两邻边长x,y应为 (　　)

A.x=15,y=12　　　　B.x=12,y=15
C.x=14,y=10　　　　D.x=10,y=14
答案　A　如图,由三角形相似得24-y24-8=x20⇒x=54(24-y),所以S=xy=-54(y-12)2+180,
所以当y=12时,S有最大值,此时x=15.
经检验符合题意.

8.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若开始时溶液中含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少13,该溶液至少过滤　　　次才能达到市场要求.(参考数据:lg 2≈
0.301 0,lg 3≈0.477 1) 
答案　8
解析　设该溶液的过滤次数为n,则2%1-13n≤0.1%,
即23n≤120,
所以nlg23≤-1-lg 2,
所以n≥7.39,所以n=8.
9.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速率v的平方成正比,且比例系数为k,除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/小时时,每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里,当这艘轮船的速度为　　　海里/小时时,总费用最小. 
答案　40
解析　设该轮船每小时的总费用为y元,则y=kv2+96,
当v=10时,k×102=6,
解得k=0.06,
所以该轮船每小时的总费用y=0.06v2+96,因为匀速行驶10海里所用的时间为10v小时,所以总费用W=10vy=10v(0.06v2+96)=0.6v+960v≥20.6v×960v=48,
当且仅当0.6v=960v,即v=40时等号成立.
故总费用最小时,轮船的速度为40海里/小时.
10.某产品原来的成本为1 000元/件,售价为1 200元/件,年销售量为1万件,由于市场饱和,顾客要求提高,公司计划投入资金进行产品升级.据市场调查,若投入x万元,每件产品的成本将降低34x元,在售价不变的情况下,年销售量将减少2x万件,按上述方式进行产品升级和销售,扣除产品升级资金后的纯利润记为f(x)(单位:万元).
(1)求f(x)的函数解析式;
(2)求f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的值.
解析　(1)依题意,产品升级后,每件的成本为1 000-3x4元,利润为200+3x4元,年销售量为1-2x万件,则纯利润f(x)=200+3x41-2x-x=198.5-400x-x4.
(2)f(x)=198.5-400x-x4≤198.5-2×400x×x4=178.5,当且仅当400x=x4,即x=40时等号成立.所以f(x)取最大值178.5时,x的值为40.

C组　思维拓展

11.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入资金200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入资金20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P,种黄瓜的年收入Q与投入资金a(单位:万元)满足P=80+42a,Q=14a+120,设甲大棚的投入资金为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).
(1)求f(50)的值;
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入资金,才能使总收益f(x)最大?
解析　(1)由题意知甲大棚投入资金50万元,则乙大棚投入资金150万元,
故f(50)=80+4×2×50+14×150+120=277.5(万元).
(2)f(x)=80+42x+14(200-x)+120=-14x+42x+250,
依题意得x≥20,200-x≥20,解得20≤x≤180,
故f(x)=-14x+42x+250(20≤x≤180).
令t=x,则t∈[25,65],
y=-14t2+42t+250=-14(t-82)2+282,
当t=82,即x=128时, f(x)取得最大值, f(x)max=282.
所以甲大棚投入资金128万元,乙大棚投入资金72万元时,总收益最大,且最大总收益为282万元.