华东师大版数学八年级上册 复习题（教案）

《全等三角形复习习题课——对“S.S.A”的深入探究》课堂实录与评析

一、教学目的

⒈进一步巩固全等三角形、等腰三角形的性质与判定，进一步熟悉尺规作图和反证法在解题中的应用；

⒉创设情境，引导学生观察、思考、转化发现解题的思路和方法，提高运用知识解决问题的能力；

⒊通过一题多解、一题多变,提高学生思维的严谨性、广阔性和深刻性,让学生体验研究数学的思想方法(分类、转化、选择等),品尝探究发现成功的喜悦,激发研究数学问题的热情,培养良好的学习习惯.

二、学情分析

⑴优势方面:所任教的班级学生基础较好,能力较高。在前面的学习中,已经熟悉掌握了等腰三角形、直角三角形、全等三角形、尺规作图、反证法等有关知识,具备一定的发现提出、独立思考及合作研究问题的能力,有合作交流的意识、科学探究的欲望,渴望进行更深一步的探究. 

⑵不足方面:学生的语言表达能力、自主发现提出新问题的能力、思维品质等有待加强培养和提高.

三、重点难点：实验发现、联想构造、把新问题转化为旧问题.

四、教学理念

数学习题课，不是题型模仿课，而是思维训练课；不是题海战术课，而是应用知识解决问题的探究课！

面向全体,巩固所学知识,建立有效的知识系统,形成良好的认知结构,提高发现、提出、分析、综合运用知识解决问题的能力和科学素养,培养交流合作和应用意识、创新精神和实践能力,发展思维能力和个性品质,激发学习兴趣,树立学习自信心,掌握科学的学习方法,养成良好的学习习惯.

一堂优质高效的数学复习习题课,既是学生回顾并应用所学知识,又是学生对数学知识认知的深化,更是方法的提炼与总结、数学思想的升华、思维能力的发展、数学素养的提高.

五、教学关键: 创设情景,启发引导.

六、教学方法:“启导·探究·发现”教学法.

七、教学过程:

㈠提出问题

师：探究是数学教学的生命线！学习数学的一个重要目的是学会探索研究，就是要象科学家那样，通过试验、观察、比较、发现、归纳、猜想，然后进行证明.今天我们来共同探究一个有趣的问题：满足“两边和一角分别对应(边角位置均对应)相等”的两个三角形是否全等? 对此问题你们有何想法？

设计说明：对这个问题，学生似乎熟悉但又不太清楚，虽不能立即解决，但符合学生的认知基础(最近发展区)，能激发探究欲望，巩固之前所学知识，培养推理论证能力。

㈡理解题意

生1：“两边和一角分别对应相等”没有指出两边和一角的位置关系，可分为：“两边和夹角”即“S.A.S”、“两边和其中一边的对角”即“S.S.A”这两种情况。若相等的角为对应相等两边的夹角，根据“S.A.S”可判定这两个三角形全等；若相等的角为对应相等两边其中一边的对角，则这两个三角形不一定全等.

师：“不一定全等”是什么意思？

生1：有时全等，有时不全等，要看具体情况。

设计说明：题目没有指出两边和一角的位置关系，需分类讨论，利于培养学生思维的严谨性。

师：请坐。“两边和其中一边的对角”分别对应相等的两个三角形即“S.S.A”，在什么情况下一定全等？什么情况下不一定全等？为什么？怎样研究？

㈢解决方法：分类讨论

生2：可按“这个角的大小”进行分类讨论，当这个角为直角时，根据“H.L”知这两个三角形全等，只要研究这个角为钝角和锐角的情况。

师：好！下面我们先研究这个角为钝角时是否全等！

已知：△ABC和△A1B1C1,∠A=∠A1>90°,AB=A1B1,BC=B1C1,△ABC与△A1B1C1全等吗？——屏幕显示

㈣启导学生发现解题思路一：把“钝角三角形”转化为“直角三角形”

生3：通过举例:取∠A=120°,AB=5cm,BC=7cm, 画图发现这两个三角形全等！

师：画图可帮助我们发现结论,但不能作为证明！怎样证明?(让学生思考1分钟后)新问题一般都是转化为与之有关的旧问题来解决,本题S.S.A与哪个旧问题(S.A.S、A.S.A、A.A.S、S.S.S、H.L)关系较密切?

设计说明：启导学生发现解题思路与方法,体会解题的基本思想——新问题转化为旧问题来解决。

生4：H.L.

师：为什么？

生4：因为H.L是S.S.A的特殊情况！

师：那就要把钝角转化为直角，如何转化？

生4：作垂线。

师：好，请大家试一试，怎样作垂线！谁上来展示？

生5：图1；

师：有不同作法的，请上来！

生6：图2；   生7：图3；

师：我们来分析一下他们的作法行不行？(屏幕显示).

生8：作高AD和A1D1虽得到两对直角△,但都无法证明它们全等。

师：是什么原因？

生8：原来的已知的条件∠A=∠A1,BC=B1C1被高AD和A1D1破坏掉，无法使用。

师：是的，作辅助线应尽量避免破坏原来的已知条件，否则将会影响解题. 那第二个呢？

生8：同样，已知条件被破坏，不行！

师：再看第三个，行吗？

生9：比前面两个好,辅助线没有破坏已知条件,但也无法证明全等。

师：为什么？

生9：∠1=∠2和相等的边不在同一个三角形中,无法合作。

师：怎办？

生9：因为相等的边在左边,所以作左边的高即可(屏幕显示).

师：这样，相等的角、相等的边在同一三角形中，

可推出△ABD≌△A1B1D1, 显然有效！请大家写出证明过程,一个同学上来展示。

设计说明：创设让学生充分展示的舞台，通过引导学生对3种方法的比较，体会选择辅助线的原则.

师：停下来！大多数同学已经做好，我们来看一下这位同学做的,

共3次全等，做得很好！还有其他方法吗？

㈤启导学生发现解题思路二：重合法、反证法

生10：重合法，把两个三角形重叠，看能否完全重合！

师：这是最原始的方法, 我们来试一下看能否完全重合。

几何画板动画演示发现完全重合! 这样能当作证明吗?

生11：不能！满足条件的两个三角形有无数多种，刚才这两个只是其中一种，再说画图、观察都会产生误差，因此不能当作证明，但可帮助我们发现结论:这两个三角形会全等！

设计说明：几何画板动态演示形象直观，再次强调数学的严谨性。

师：特殊不能代表一般！画图、观察可帮助我们发现结论，但不能当作证明。那应当怎样证明？会重合又不好证可想到什么方法？(1分钟后)

生12：反证法！假设BC与B1C1不重合，然后推出矛盾！（教师用屏幕显示“正难则反”——反证法）

师：因为∠A=∠A1，所以A、C、C1三点都在射线AC上，但有两种情况：C1在AC的延长线上或C在AC1的延长线上，这两种完全类似。不妨设C1在AC的延长线上，由BC=B1C1可得到什么结论？能推出矛盾吗？

生13：可得到∠2=∠C1>∠A>90°，则△BCC1的内角和>180°，这与△内角和等于180°矛盾！所以假设C1在AC的延长线上是错误的，同理C在AC1的延长线上也是错误的，所以C与C1重合, ∴△ABC≌△A1B1C1.

设计说明：启导学生想到反证法并发现：若C与C1 不重合就会推出矛盾,体会“正难则反”的思想.

师：请大家写出解答过程，一个同学上来板演。

简评：我们来看一下这位同学做的。不错,用数字表示角，简单明了！

㈥启导学生发现解题思路三：构造等腰三角形

师：还有新的证法吗？本题的题设有两组边相等，线段相等与什么知识有关？

生14：除了全等三角形还有等腰三角形。

师：但相等的线段不在同一个三角形中, 怎办?

生14：运动,使相等线段的一个端点重合,构造等腰三角形.

师：(先图片后几何画板)相等的线段只要有公共端点就可构造出等腰三角形! 比如这样(图6)行吗? 这样(图7)呢? 请看屏幕！

生15：不行！第一个图形虽然有2个等腰三角形，但没有效果，感觉这个图形太复杂！第二个图形结构比第一个好，成轴对称图形，但也难以证明三角形全等，感觉这个图形还是很复杂！

师：简约性是数学的重要原则，数学是用最简单的方法来表示一切的，简单利于解决问题！在构造等腰△时你认为应怎样使图形更简单？

生15：把相等的边BC与B1C1重合，B与B1重合——教师图片演示后屏幕显示。

师：大家看，这个图形简单明了，请大家写出解答过程，1人板演。

设计说明：先启导学生联想到等腰三角形，再引导学生如何构造等腰三角形，积累活动经验。

简评：请大家看黑板，我们来看一下这位同学做的怎样,简单规范，挺好！还有新的想法吗？

生16：也可把另一组相等的边AB与A1B1重合构造等腰三角形.

师：动手操作, 大家看(图9), 还有吗？       生17：构造平行四边形！

师：怎么构造？你来试一下！               生17：上台操作(图10)。

师：不错！还有吗？       生18：上台操作构造等腰梯形(图11).     生19：动手操作(图12).

师：很好，有创新，的确是4种新的思路！但这4种思路能证明△ABC≌△A1B1C1吗? 因时间关系, 留给大家课后去思考。

设计说明：让学生充分交流，产生联想，孕育创新。

㈦解决第二种情况：这个角为锐角时是否全等？

师：最后我们来研究这个角为锐角时是否全等！

生20：以前我们已经通过画图发现这两个△不全等！

师：真的不全等吗? 若不全等, 是什么原因? 我们再来探究一下。请大家用圆规按要求画△ABC：

使∠A=30°,AB=4, BC分别等于：⑴=1.5; ⑵BC=2; ⑶3; ⑷BC=4; ⑸BC=5. 一人上来展示.

师：根据画图，发现什么结论？(学生回答，教师用屏幕显示)

生21：当BC=1.5时,无交点,三角形不存在；当BC=2时BC刚好垂直AC,只有一个交点,三角形只能画出一个,即满足条件的△是唯一确定的；当BC=3时有2个交点,三角形可画出2个,即满足条件的三角形不唯一确定；当BC=4或5时只有一个交点,三角形只能画出一个,即满足条件的三角形是唯一确定的。

师：我们可以把刚才的问题一般化(屏幕显示)：△ABC，∠A=α<90°，AB=m，BC=n，B到AC的距离为h。当 n=h 或 n≥m 时，三角形只能画出一个(唯一确定)，满足条件的两个三角形一定全等；当 h<n<m 时，三角形可画出两个(不唯一确定)，满足条件的两个三角形不一定全等！

设计说明：让学生动手画图，通过数值的变化，顺利帮助学生发现规律和结论。

㈧总结研究成果

师：下面来总结一下今天的研究成果.

⒈研究的结论: 已知：△ABC和△A1B1C1,∠A=∠A1=α, AB=A1B1=m,BC=B1C1=n,B到AC的距离为h，△ABC与△A1B1C1在什么条件下一定全等，在什么条件下不一定全等！谁来总结一下(学生回答，教师用屏幕显示).

生22：若α≥90°,则一定全等；若α<90°,则当n=h或n≥m时一定全等；当h<n<m时不一定全等.

师：请大家注意：若α≥90°，则n必大于m，因此不必讨论α是锐角还是钝角！

所以，最终的结论是：当n=h或n≥m时一定全等；当h<n<m时不一定全等.

⒉数学思想、方法和原则(屏幕显示).

转化——数学的重要思想：一般→特殊,新问题→旧问题；分类讨论——严谨性，数学的重要方法；选择与简约——科学性，数学的重要原则。

设计说明：通过归纳总结，让学生对研究的结论和思想方法都有更清晰的认识，

㈨课后作业

⒈整理本节课的研究成果，以《有趣的“S.S.A”》为题目

(也可自拟题目),写一篇小论文,一周后交上(可以2至4人合作).

⒉如图,已知:∠1=∠2,为使△ABC≌△ABD,必须补充一个条件,

请补上这个条件.要求写4至6种不同情况,并给予证明.

设计说明：作业设计遵循“少而精、开放性、多样性、发展性”原则，让各类学生灵活选择，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需求，让不同层次的学生都得到应有的发展。

八、教学评析

数学复习课是重要且最难上的一种课型,目前大多是知识点的简单再现和面面俱到地讲解大量的类型题,这种题型复习法走入“对号入座、机械模仿”的误区,造成教师辛苦、学生痛苦、高分低质、厌恶数学等不良后果。执教者采取“精心设计探究性问题、巧妙引导学生探究”的探究式复习法,打造出优质高效的数学复习课,有效改变了传统题型复习法“只为考试而复习”的教学现状,在实践中取得显著成效.

也许有人认为：解决“SSA”这个问题只要直接让学生画图即可得到结论,何必绕一个大圈子？其实,本节课的目的并不是为了解决“SSA”,而是引导学生运用知识在解决SSA的过程中培养能力、提高素养。

本节课围绕一个主题,以问题研究和学生活动为中心,通过:⑴创设思维情境启导学生自然地联想到与之有关的知识,独立发现解题的思路;⑵一题多解和一题多变;⑶师生合作交流;⑷鼓励学生提问题;⑸让学生总结和反思,撰写小论文等把本章的有关知识(全等三角形、等腰三角形、直角三角形)、思想方法(拼图、反证法、转化、分类讨论、选择与简约)融入到一个探究性问题的解决过程中,为学生的发展搭建了一个广阔的舞台,学生善于发现提出问题,能突破思维定势,从不同角度进行大胆探索,课堂换发生命活力！体现学生是学习的主人,教师是引导者、合作者、激励者的理念。