浙江省丽水市高中发展共同体2021-2022学年高二下学期2月返校考试数学试题含答案

2022年2月高中发展共同体高二数学科目试卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。

选择题部分（共60分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ）

A． B．

C． D．

2．已知向量，，若与夹角为，则的值为（    ）

A． B． C．－1 D．1

3．两圆，的公切线共有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

4．若函数，则（    ）

A．

B．

C．

D．

5．已知点P在圆M：上，点，，则最小和最大时分别为（    ）

A．0°和60° B．15°和75° C．30°和90° D．45°和135°

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

7．已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数，数列满足，数列的前项和为，若，使得恒成立，则的最小值是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ）

A． B．

C． D．

10．已知抛物线：的焦点为，点，在上，则下列说法正确的是（    ）

A．若点，则的周长的最小值为

B．若点是上的一点，且，则，，成等差数列

C．若，，三点共线，则

D．若，则的中点到轴距离的最小值为3

11．已知，下列说法正确的是（    ）

A．在处的切线方程为 

B．的单调递减区间为

C．的极大值为 

D．方程有两个不同的解

12．在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的为（    ）

A．若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线

B．若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆

C．若点P到直线的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆

D．若点P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线

非选择题部分（共90分）

三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

13．椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值是   ▲    .

14．曲线在点处的切线方程为   ▲    .

15．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝   ▲    .

16．在四面体中，、分别是、的中点，若，则   ▲    .

17．天干地支纪年法源于中国，可对历史时间上推下推、顺推逆推，以致无穷．中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推．已知2020年为庚子年，那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年法为   ▲    .

18．已知函数在区间上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是   ▲    .

四、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19．已知圆.

（1）若不过原点的直线与圆相切，且直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；

（2）若圆F与圆和直线都相切,求圆F半径最小时所对应的圆方程.

20．如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，点在线段上，，．

（1）当为线段的中点时，求证：平面平面；

（2）当时，求锐二面角的余弦值．

21．已知数列的前项和为，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求前项和．

22．已知函数的图象在（为自然对数的底数）处取得极值.

（1）求实数的值；

（2）若不等式恒成立，求的取值范围.

23．已知椭圆：的长轴长为6，离心率为，长轴的左，右顶点分别为A，B．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过点的直线交椭圆于M、N两个不同的点，直线AM，AN分别交轴于点S、T，记，（为坐标原点），当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围．

2022年2月高中发展共同体高二数学科目答案

一．选择题

二．填空题

13.  1           14.          15. -63   

16.  1           17. 已巳                    18.

三．解答题

19．

（1）或；

（2）.

（1）因为直线不过原点，设直线的方程为，

圆的标准方程为，

若直线与圆相切，则，即，解得或者3，

所以直线的方程为或者；

（2）因为，所以直线与圆相离，

所以所求最小圆的圆心一定在圆的圆心到直线的垂线段上，

即最小圆的圆心在直线上，且最小圆的半径为，

设最小圆的圆心为，则圆心到直线的距离为，

所以，即，

解得(舍)或，

所以最小的圆的方程为.

20．（1）证明见解析；（2）.

【详解】

（1）∵四棱锥的底面是矩形，∴，

又∵平面平面ABCD，平面平面，平面，

∴平面，又平面，∴，

∵，∴，又为线段的中点，∴，

又，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（2）如图，连接，在平面内作的垂线，建立空间直角坐标系

设，，

∴，，，，，

，则，，

设平面的法向量为，

∴即令，则，，

∴是平面CAE的一个法向量，

设平面的法向量为，

∴即得

∴，

∴锐二面角的余弦值为

21

（1）；

（2）．

（1）①，当时，② ，①减去②得，，.可得数列是首项为1，公比为2的等比数列..

（2），①，

②

①减去②得

.

 ．

22．

（1）

（2）

（1）因为，所以，

因为函数的图像在点处取得极值，

所以，，

经检验，符合题意，所以；

（2）由（1）知，，

所以在恒成立，即在恒成立.

令，则.

设，易得是增函数，

又因为，

所以

所以，所以.

23

（1）

（2）

（1）

由题意可得：

解得：，所以椭圆的方程：

（2）

当直线l的倾斜角为锐角时，设，

设直线，

由得，

从而，又，得，

所以，

又直线的方程是：，令，

解得，所以点S为；

直线的方程是：，同理点T为·

所以，

因为，所以，

所以

．

∵，∴，

综上，所以的范围是．