福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测数学试题

莆田市2021届高中毕业班第二次教学质量检测试卷

数学

本试卷共5页．22小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，写在答题纸相应的位置上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

2. 是虚数单位，复数满足，则（    ）

A. 10 B.  C. 8 D.

【答案】B

3. “平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即．下图是我国年数据根据图中数据，年我国的平均增长量为（    ）

A. 4.60万亿元 B. 5.39万亿元 C. 6.74万亿元 D. 8.99万亿元

【答案】C

4. 已知抛物线准线与圆相切，则（    ）

A.  B. 或 C. 或 D. 或

【答案】D

5. 已知等差数列满足，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

6. 甲、乙两位同学到莆田市湄洲岛当志愿者，他们同时从“妈祖祖庙”站上车，乘坐开往“黄金沙滩”站方向的路公交车（线路图如下）．甲将在“供水公司”站之前的任意一站下车，乙将在“鹅尾神化石”站之前的任意一站下车．假设每人自“管委会”站开始在每一站点下车是等可能的，则甲比乙后下车的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

7. 已知函数的定义域为，其图象大致如图所示，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

8. 若非零实数满足，则与最接近的整数是（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 在直三棱柱中，各棱长均为2，分别为线段的中点，则（    ）

A. 平面平面 B.

C. 直线和所成角的余弦值为 D. 该棱柱外接球的表面积为

【答案】ABD

10. 设为坐标原点，是双曲线的左、右焦点．在双曲线的右支上存在点满足，且线段的中点在轴上，则（    ）

A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的方程可以是

C.  D. 的面积为

【答案】AC

11. 若函数，则（    ）

A. 是周期函数 B. 在上有4个零点

C. 在上是增函数 D. 的最小值为

【答案】BC

12. 若连续函数在其定义区间上的任意个点，恒有，则称在上满足性质．设函数在区间上满足性质，且过点，的图象与线段围成封闭图形的面积记为，则（    ）

A.  B. 可以

C.  D.

【答案】AC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设、、为单位向量，且，则与夹角的余弦值是________．

【答案】

14. 在的展开式中，若的奇数次幂项的系数之和为64，则______．

【答案】

15. “敕勒川，阴山下．天似穹庐，笼盖四野．”的特征，诗中的“穹庐”即“毡帐”，屋顶近似圆锥，为了烘托节日气氛，计划在屋顶安装灯光带．某个屋顶的圆锥底面直径长8米，母线长6米，其中一条灯光带从该圆锥一条母线的下端点开始，沿侧面经过与该母线在同一轴截面的另一母线的中点，环绕一圈回到起点，则这条灯光带的最短长度是______米．

【答案】

16. 已知函数，当_____时，的最小值为_____

【答案】    ①.     ②.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在中，角所对的边分别为．

（1）求的值；

（2）求的周长．

【答案】（1）；（2）28

18. 在①，且；②成等差数列，且；③（为常数）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．

问题：已知数列的前项和为，________，其中．

（1）求的通项公式；

（2）记，数列的前项和为，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

19. 已知正方形的边长为2，沿将折起至位置（如图），为的重心，点在边上，且．

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）

20. 某工厂生产一种精密仪器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有两个等级．三道工序的加工结果直接决定该仪器的产品等级：三道工序的加工结果均为级时，产品为一等品；第三工序的加工结果为级，且第一、第二工序至少有一道工序加工结果为级时，产品为二等品；其余均为三等品．每一道工序加工结果为级的概率如表一所示，一件产品的利润（单位：万元）如表二所示：

表一

表二

（1）用表示一件产品的利润，求的分布列和数学期望；

（2）因第一工序加工结果为级概率较低，工厂计划通过增加检测成本对第一工序进行改良，假如改良过程中，每件产品检测成本增加万元（即每件产品利润相应减少万元）时，第一工序加工结果为级的概率增加．问该改良方案对一件产品利润的期望是否会产生影响？并说明理由．

【答案】（1）分布列见解析，；（2）不产生影响，理由见解析

21. 曲线上任意一点到点的距离与它到直线的距离之比等于，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点．

（1）求的方程；

（2）求证：内切圆的圆心在定直线上．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

22. 设函数．

（1）若在上存在零点，求实数的取值范围；

（2）证明：当时，．

【答案】（1），（2）证明见解析