高考数学(文数)一轮复习考点测试18《同角三角函数基本关系与诱导公式》（教师版）

考点测试18　同角三角函数基本关系与诱导公式

高考概览

考纲研读

1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα

2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式

一、基础小题

1．计算：sin600°＝(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　D

解析　sin600°＝－sin60°＝－.故选D.

2．若x是第四象限角，且sinx＝－，则cosx＝(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　C

解析　x是第四象限角，cosx＞0，cosx＝＝＝.故选C.

3．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是(　　)

A．sinθ<0，cosθ>0  B．sinθ>0，cosθ<0

C．sinθ>0，cosθ>0  D．sinθ<0，cosθ<0

答案　B

解析　∵sin(θ＋π)<0，∴－sinθ<0，sinθ>0.∵cos(θ－π)>0，∴－cosθ>0，∴cosθ<0.故选B.

4．点A(sin2013°，cos2013°)在直角坐标平面上位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限

答案　C

解析　2013°＝360°×5＋(180°＋33°)，因此2013°角的终边在第三象限，sin2013°<0，cos2013°<0，所以点A位于第三象限．故选C.

5．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　B

解析　sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.故选B.

6．已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)

A．{1，－1，2，－2}  B．{－1，1}  C．{2，－2}  D．{1，－1，0，2，－2}

答案　C

解析　当k为偶数时，A＝＋＝2；当k为奇数时，

A＝－－＝－2.故选C.

7.＝(　　)

A．sin2－cos2  B．sin2＋cos2    C．±(sin2－cos2)  D．cos2－sin2

答案　A

解析　＝＝

＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.故选A.

8．若sinθ＋cosθ＝，则tanθ＋＝(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　D

解析　由sinθ＋cosθ＝，得1＋2sinθcosθ＝，即sinθcosθ＝－，

则tanθ＋＝＋＝＝－，故选D.

9．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两个根，则m的值为(　　)

A．1＋  B．1－  C．1±  D．－1－

答案　B

解析　由题意得sinθ＋cosθ＝－，sinθcosθ＝，又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，所以＝1＋，解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，解得m≤0或m≥4，所以m＝1－ .故选B.

10．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ＝(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　D

解析　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－cosθ，∴tanθ＝，

∵|θ|<，∴θ＝.故选D.

11．化简：＝________.

答案　1

解析　原式＝＝＝1.

12．若sinθcosθ＝，θ∈，则cosθ－sinθ＝________.

答案　－

解析　(cosθ－sinθ)2＝cos2θ＋sin2θ－2sinθcosθ＝1－＝，

∵θ∈，∴cosθ<sinθ，∴cosθ－sinθ＝－.

二、高考小题

13．若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝(　　)

A.  B.  C．1  D.

答案　A

解析　当tanα＝时，原式＝cos2α＋4sinαcosα＝

＝＝＝.故选A.

14．设α∈，β∈，且tanα＝，则(　　)

A．3α－β＝  B．2α－β＝   C．3α＋β＝  D．2α＋β＝

答案　B

解析　由条件得＝，即sinαcosβ＝cosα(1＋sinβ)，

sin(α－β)＝cosα＝sin，因为－<α－β<，0<－α<，

所以α－β＝－α，所以2α－β＝.故选B.

15．sin750°＝________.

答案　

解析　sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝.

三、模拟小题

16．已知sinθ＝，θ∈，π，则tanθ＝(　　)

A．－2  B．－  C．－  D．－

答案　C

解析　因为θ∈，π，所以cosθ<0，tanθ<0，又sinθ＝，

则cosθ＝－＝－，进而有tanθ＝＝－，故选C.

17．若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，α，β∈0，，则＝(　　)

A．2  B.  C．3  D.

答案　A

解析　∵sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，∴sinαcosβ＝2cosαsinβ，

∴tanα＝2tanβ，即＝2，故选A.

18．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2018)的值为(　　)

A．－1  B．1  C．3  D．－3

答案　C

解析　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，

∴f(2018)＝asin(2018π＋α)＋bcos(2018π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3.故选C.

19．已知cos＋α＝，且－π<α<－，则cos－α＝(　　)

A.  B.  C．－  D．－

答案　D

解析　因为＋α＋－α＝，所以cos－α＝sin－－α＝sin＋α.

因为－π<α<－，所以－<α＋<－.又cos＋α＝>0，

所以－<α＋<－，

所以sin＋α＝－＝－＝－.故选D.

20．已知2sinα＝1＋cosα，则tanα的值为(　　)

A．－  B.  C．－或0  D.或0

答案　D

解析　由2sinα＝1＋cosα得sinα≥0，且4sin2α＝1＋2cosα＋cos2α，

因而5cos2α＋2cosα－3＝0，解得cosα＝或cosα＝－1，那么tanα＝或0，故选D.

21．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0，可解得tanα＝3，

又α为锐角，故sinα＝.故选C.

22．已知tanθ＝2，则＋sin2θ的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　原式＝1＋＋＝1＋＋＝＋＝.故选C.

23．若tanα＝cosα，则＋cos4α＝________.

答案　2

解析　解法一：∵tanα＝cosα，∴＝cosα，∴sinα＝cos2α，

∴＋cos4α＝＋sin2α＝＋sin2α＝tan2α＋1＋sin2α

＝cos2α＋1＋sin2α＝2.

解法二：∵tanα＝cosα，∴＝cosα，∴sinα＝cos2α＝1－sin2α，

即sin2α＋sinα－1＝0，解得sinα＝或sinα＝(舍去)．∴cos2α＝，∴＋cos4α＝＋(cos2α)2＝＋2＝＋＝2.

一、高考大题

本考点在近三年高考中未独立命题．

二、模拟大题

1．已知＝－1，求下列各式的值：

(1)；

(2)1－3sinαcosα＋3cos2α.

解　由＝－1，得tanα＝3.

(1)＝＝－.

(2)1－3sinαcosα＋3cos2α＝

＝

＝＝＝.

2．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根为sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求：

(1)＋的值；

(2)m的值；

(3)方程的两根及θ的值．

解　(1)

＋＝＋

＝＝sinθ＋cosθ＝.

(2)将①式两边平方得1＋2sinθcosθ＝.∴sinθcosθ＝.

由②式得＝，∴m＝.

(3)由(2)可知原方程变为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝.

∴或

又θ∈(0，2π)，∴θ＝或θ＝.

3．已知－<α<0，且函数f(α)＝cos－sinα－1.

(1)化简f(α)；

(2)若f(α)＝，求sinαcosα和sinα－cosα的值．

解　(1)f(α)＝sinα－sinα－1

＝sinα＋sinα·－1＝sinα＋cosα.

(2)解法一：由f(α)＝sinα＋cosα＝，

两边平方可得sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝，

即2sinαcosα＝－，∴sinαcosα＝－，

∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，

又－<α<0，∴sinα<0，cosα>0，

∴sinα－cosα<0，∴sinα－cosα＝－.

解法二：联立方程

解得或∵－<α<0，∴

∴sinαcosα＝－，sinα－cosα＝－.

4．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．

解　假设存在角α，β满足条件，

则由已知条件可得

由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.

∴sin2α＝，∴sinα＝±.

∵α∈，∴α＝±.

当α＝时，由②式知cosβ＝，

又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；

当α＝－时，由②式知cosβ＝，

又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．

∴存在α＝，β＝满足条件．