高考数学(文数)一轮复习考点测试23《正弦定理和余弦定理》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试23《正弦定理和余弦定理》（教师版），共9页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。

本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值5分、12分，中、低等难度
考纲研读
eq \a\vs4\al(掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题)
一、基础小题
1．在△ABC中，C＝60°，AB＝eq \r(3)，BC＝eq \r(2)，那么A等于( )
A．135° B．105° C．45° D．75°
答案 C
解析 由正弦定理知eq \f(BC,sinA)＝eq \f(AB,sinC)，即eq \f(\r(2),sinA)＝eq \f(\r(3),sin60°)，所以sinA＝eq \f(\r(2),2)，
又由题知0°2．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则eq \f(sinC,sinB)＝( )
A．eq \f(8,5) B．eq \f(5,8) C．eq \f(5,3) D．eq \f(3,5)
答案 C
解析 在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcsA，代入得49＝25＋AC2＋5AC，解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，所以eq \f(sinC,sinB)＝eq \f(AB,AC)＝eq \f(5,3)，故选C．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若(a2＋c2－b2)tanB＝eq \r(3)ac，则角B的值为( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,6) C．eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D．eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)
答案 C
解析 由余弦定理，知a2＋c2－b2＝2accsB，所以由(a2＋c2－b2)tanB＝eq \r(3)ac
可得2accsB·eq \f(sinB,csB)＝eq \r(3)ac，所以sinB＝eq \f(\r(3),2)，所以B＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)，故选C．
4．在△ABC中，若sin2A＋sin2BA．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
答案 C
解析 由正弦定理得a2＋b2故△ABC是钝角三角形．故选C．
5．已知△ABC中，csA＝eq \f(3,5)，csB＝eq \f(4,5)，BC＝4，则△ABC的面积为( )
A．6 B．12 C．5 D．10
答案 A
解析 因为csA＝eq \f(3,5)，csB＝eq \f(4,5)，所以sinA＝eq \f(4,5)，sinB＝eq \f(3,5)，则由正弦定理得eq \f(BC,sinA)＝eq \f(AC,sinB)，
所以AC＝eq \f(BC·sinB,sinA)＝3，则由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcsB，
即32＝AB2＋42－8×eq \f(4,5)AB，解得AB＝5，所以△ABC是以AC，BC为直角边的直角三角形，
所以其面积为eq \f(1,2)×3×4＝6，故选A．
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a∶b∶c＝6∶4∶3，则eq \f(sin2A,sinB＋sinC)＝( )
A．－eq \f(11,14) B．eq \f(12,7) C．－eq \f(11,24) D．－eq \f(7,12)
答案 A
解析 不妨设a＝6，b＝4，c＝3，由余弦定理可得csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq \f(11,24)，
则eq \f(sin2A,sinB＋sinC)＝eq \f(2sinAcsA,sinB＋sinC)＝eq \f(2acsA,b＋c)＝eq \f(12×－\f(11,24),4＋3)＝－eq \f(11,14)，故选A．
7．在△ABC中，“sinAA．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 根据正弦定理，“sinA8．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是( )
A．b＝10，A＝45°，C＝60° B．a＝6，c＝5，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝7，b＝5，A＝60°
答案 C
解析 由条件解三角形，其中有两解的是已知两边及其一边的对角．
C中，sinB＝eq \f(bsinA,a)＝eq \f(16×sin45°,14)＝eq \f(4\r(2),7)<1，b>a，B>A，角B有两个解，故选C．
二、高考小题
9．在△ABC中，cseq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4eq \r(2) B．eq \r(30) C．eq \r(29) D．2eq \r(5)
答案 A
解析 因为csC＝2cs2eq \f(C,2)－1＝2×eq \f(\r(5),5)2－1＝－eq \f(3,5)，所以AB2＝BC2＋AC2－2BC×ACcsC＝1＋25－2×1×5×－eq \f(3,5)＝32，∴AB＝4eq \r(2)．故选A．
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为eq \f(a2＋b2－c2,4)，则C＝( )
A．eq \f(π,2) B．eq \f(π,3) C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,6)
答案 C
解析 由题可知S△ABC＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(a2＋b2－c2,4)，所以a2＋b2－c2＝2absinC．
由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcsC，所以sinC＝csC．∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,4)，故选C．
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2csC)＝2sinAcsC＋csAsinC，则下列等式成立的是( )
A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A
答案 A
解析 解法一：因为sinB(1＋2csC)＝2sinAcsC＋csAsinC，
所以sinB＋2sinBcsC＝sinAcsC＋sin(A＋C)，所以sinB＋2sinBcsC＝sinAcsC＋sinB，
即csC(2sinB－sinA)＝0，
所以csC＝0或2sinB＝sinA，即C＝90°或2b＝a，
又△ABC为锐角三角形，所以0°＜C＜90°，故2b＝a．
故选A．
解法二：由正弦定理和余弦定理得b1＋eq \f(a2＋b2－c2,ab)＝2a·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
所以2b21＋eq \f(a2＋b2－c2,ab)＝a2＋3b2－c2，
即eq \f(2b,a)(a2＋b2－c2)＝a2＋b2－c2，即(a2＋b2－c2)eq \f(2b,a)－1＝0，所以a2＋b2＝c2或2b＝a，
又△ABC为锐角三角形，所以a2＋b2＞c2，故2b＝a．故选A．
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝eq \r(7)，b＝2，A＝60°，则sinB＝________，c＝________．
答案 eq \f(\r(21),7) 3
解析 由eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)得sinB＝eq \f(b,a)sinA＝eq \f(\r(21),7)，由a2＝b2＋c2－2bccsA，得c2－2c－3＝0，
解得c＝3(舍去负值)．
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
答案 eq \f(2\r(3),3)
解析 根据题意，结合正弦定理可得sinBsinC＋sinC·sinB＝4sinAsinBsinC，
即sinA＝eq \f(1,2)，结合余弦定理可得2bccsA＝8，所以A为锐角，且csA＝eq \f(\r(3),2)，
从而求得bc＝eq \f(8\r(3),3)，所以△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(1,2)×eq \f(8\r(3),3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2\r(3),3)．
三、模拟小题
14．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcsC＝c(1－3csB)，则sinC∶sinA＝( )
A．2∶3 B．4∶3 C．3∶1 D．3∶2
答案 C
解析 由正弦定理得3sinBcsC＝sinC－3sinCcsB，3sin(B＋C)＝sinC，
因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sinA＝sinC，
所以sinC∶sinA＝3∶1，故选C．
15．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(C－A)＝eq \f(1,2)sinB，且b＝4，则c2－a2＝( )
A．10 B．8 C．7 D．4
答案 B
解析 依题意，有sinCcsA－csCsinA＝eq \f(1,2)sinB，由正弦定理得ccsA－acsC＝eq \f(1,2)b；
再由余弦定理可得c·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)－a·eq \f(b2＋a2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)b，将b＝4代入整理，得c2－a2＝8，故选B．
16．在△ABC中，已知角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝eq \r(13)，则△ABC的面积为________．
答案 eq \r(3)
解析 根据余弦定理，有a2＋b2－2abcsC＝c2，即16b2＋b2－8b2×eq \f(1,2)＝13，所以b2＝1，
解得b＝1，所以a＝4，所以S△ABC＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)×4×1×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)．
17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB＝eq \r(3)bcsA，a＝4，若△ABC的面积为4eq \r(3)，则b＋c＝________．
答案 8
解析 由asinB＝eq \r(3)bcsA得eq \f(b,sinB)＝eq \f(a,\r(3)csA)，再由正弦定理eq \f(b,sinB)＝eq \f(a,sinA)，
所以eq \f(a,sinA)＝eq \f(a,\r(3)csA)，即tanA＝eq \r(3)，又A为△ABC的内角，所以A＝eq \f(π,3)．
由△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(1,2)bc×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3)，得bc＝16．
再由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccsA，得b2＋c2＝32，
所以b＋c＝eq \r(b＋c2)＝eq \r(b2＋c2＋2bc)＝eq \r(32＋2×16)＝8．
18．已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S＝b2sinA，角A的平分线AD交BC于点D，AD＝eq \f(2\r(3),3)，a＝eq \r(3)，则b＝________．
答案 1
解析 由S＝eq \f(1,2)bcsinA＝b2sinA，可知c＝2b，由角平分线定理可知，eq \f(BD,CD)＝eq \f(AB,AC)＝eq \f(c,b)＝2．
又BD＋CD＝a＝eq \r(3)，所以BD＝eq \f(2\r(3),3)，CD＝eq \f(\r(3),3)．
在△ABD中，因为BD＝AD＝eq \f(2\r(3),3)，AB＝c＝2b，所以cs∠ABD＝eq \f(\f(1,2)AB,BD)＝eq \f(\r(3),2)b，
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs∠ABD，
所以b2＝4b2＋3－4eq \r(3)bcs∠ABD＝3＋4b2－6b2，解得b＝1．
一、高考大题
1．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．
(1)求cs∠ADB；
(2)若DC＝2eq \r(2)，求BC．
解 (1)在△ABD中，由正弦定理，得eq \f(BD,sinA)＝eq \f(AB,sin∠ADB)．
由题设知，eq \f(5,sin45°)＝eq \f(2,sin∠ADB)，所以sin∠ADB＝eq \f(\r(2),5)．
由题设知，∠ADB<90°，所以cs∠ADB＝eq \r(1－\f(2,25))＝eq \f(\r(23),5)．
(2)由题设及(1)知，cs∠BDC＝sin∠ADB＝eq \f(\r(2),5)．
在△BCD中，由余弦定理，得
BC2＝BD2＋DC2－2BD×DCcs∠BDC＝25＋8－2×5×2eq \r(2)×eq \f(\r(2),5)＝25，所以BC＝5．
2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为eq \f(a2,3sinA)．
(1)求sinBsinC；
(2)若6csBcsC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
解 (1)由题设得eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(a2,3sinA)，即eq \f(1,2)csinB＝eq \f(a,3sinA)．
由正弦定理得eq \f(1,2)sinCsinB＝eq \f(sinA,3sinA)．故sinBsinC＝eq \f(2,3)．
(2)由题设及(1)得csBcsC－sinBsinC＝－eq \f(1,2)，
即cs(B＋C)＝－eq \f(1,2)，所以B＋C＝eq \f(2π,3)，故A＝eq \f(π,3)．
由题设得eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(a2,3sinA)，即bc＝8．
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，
即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝eq \r(33)．
故△ABC的周长为3＋eq \r(33)．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csC(acsB＋bcsA)＝c．
(1)求C；
(2)若c＝eq \r(7)，△ABC的面积为eq \f(3\r(3),2)，求△ABC的周长．
解 (1)由已知及正弦定理得，2csC(sinAcsB＋sinBcsA)＝sinC，
2csCsin(A＋B)＝sinC．故2sinCcsC＝sinC．因sinC≠0，
可得csC＝eq \f(1,2)，因为C∈(0，π)，所以C＝eq \f(π,3)．
(2)由已知，得eq \f(1,2)absinC＝eq \f(3\r(3),2)．
又C＝eq \f(π,3)，所以ab＝6．
由已知及余弦定理，得a2＋b2－2abcsC＝7．
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，a＋b＝5．
所以△ABC的周长为5＋eq \r(7)．
二、模拟大题
4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B为锐角，且acsB＋bsinB＝c．
(1)求C的大小；
(2)若B＝eq \f(π,3)，延长线段AB至点D，使得CD＝eq \r(3)，且△ACD的面积为eq \f(3\r(3),4)，求线段BD的长度．
解 (1)由已知及正弦定理可得sinAcsB＋sin2B＝sinC．
因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcsB＋csAsinB，所以sin2B＝csAsinB．
因为B∈0，eq \f(π,2)，所以sinB>0，所以sinB＝csA，即cseq \f(π,2)－B＝csA．
因为A∈(0，π)，eq \f(π,2)－B∈0，eq \f(π,2)，
所以eq \f(π,2)－B＝A，即A＋B＝eq \f(π,2)，所以C＝eq \f(π,2)．
(2)设BD＝m，CB＝n．因为B＝eq \f(π,3)，C＝eq \f(π,2)，
所以A＝eq \f(π,6)，∠DBC＝eq \f(2π,3)，且AC＝eq \r(3)n，AB＝2n，AD＝2n＋m．
所以S△ACD＝eq \f(1,2)AC·AD·sinA＝eq \f(1,2)×eq \r(3)n×(2n＋m)×eq \f(1,2)＝eq \f(3\r(3),4)，即n(2n＋m)＝3 ①，
在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcs∠DBC，即m2＋n2＋mn＝3 ②，
联立①②解得m＝n＝1，即BD＝1．
5．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2＝c(a－c)＋b2．
(1)求角B的大小；
(2)设m＝2a－c，若b＝eq \r(3)，求m的取值范围．
解 (1)因为a2＝c(a－c)＋b2，所以a2＋c2－b2＝ac，
所以csB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1,2)．
又因为0(2)由正弦定理得eq \f(a,sinA)＝eq \f(c,sinC)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(\r(3),sin\f(π,3))＝2，所以a＝2sinA，c＝2sinC．
所以m＝2a－c＝4sinA－2sinC＝4sinA－2sineq \f(2π,3)－A
＝4sinA－2×eq \f(\r(3),2)csA＋eq \f(1,2)sinA＝3sinA－eq \r(3)csA
＝2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)sinA－eq \f(1,2)csA＝2eq \r(3)sinA－eq \f(π,6)．
因为A，C都为锐角，则0所以06．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eq \r(3)bcsC－csinB＝eq \r(3)a．
(1)求角B的大小；
(2)若a＝3，b＝7，D为边AC上一点，且sin∠BDC＝eq \f(\r(3),3)，求BD．
解 (1)由正弦定理及eq \r(3)bcsC－csinB＝eq \r(3)a，
得eq \r(3)sinBcsC－sinCsinB＝eq \r(3)sinA，
所以eq \r(3)sinBcsC－sinCsinB＝eq \r(3)sin(B＋C)，
所以eq \r(3)sinBcsC－sinCsinB＝eq \r(3)sinBcsC＋eq \r(3)csBsinC，
即－sinCsinB＝eq \r(3)csBsinC．
因为sinC≠0，所以－sinB＝eq \r(3)csB，所以tanB＝－eq \r(3)．
又B∈(0，π)，解得B＝eq \f(2π,3)．
(2)解法一：在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accsB，且a＝3，b＝7，
所以72＝32＋c2－2×3c×－eq \f(1,2)，解得c＝5．
在△ABC中，由正弦定理eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)，得eq \f(7,\f(\r(3),2))＝eq \f(5,sinC)，解得sinC＝eq \f(5\r(3),14)．
在△BCD中，由正弦定理eq \f(BD,sinC)＝eq \f(a,sin∠BDC)，得eq \f(BD,\f(5\r(3),14))＝eq \f(3,\f(\r(3),3))，解得BD＝eq \f(45,14)．
解法二：在△ABC中，由正弦定理eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，
及a＝3，b＝7，得sinA＝eq \f(3\r(3),14)．
又因为B＝eq \f(2π,3)，所以0则sinC＝sin(A＋B)＝sineq \f(2π,3)csA＋cseq \f(2π,3)sinA＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(13,14)－eq \f(1,2)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(5\r(3),14)．
在△BCD中，由正弦定理eq \f(BD,sinC)＝eq \f(a,sin∠BDC)，
得eq \f(BD,\f(5\r(3),14))＝eq \f(3,\f(\r(3),3))，解得BD＝eq \f(45,14)．